Урок 25 Бесплатно Длина окружности и площадь круга

На этом уроке мы рассмотрим одни из самых древнейших геометрических фигур: окружность и круг.

Определим, какими элементами характеризуются круг и окружность, в чем сходство и различие этих фигур.

Узнаем, как рассчитать длину окружности и площадь круга.

Окружность и круг

Мы часто встречаем такие понятия, как окружность и круг.

Давайте попробуем разобраться, что называют окружностью, а что кругом.

Окружность - это замкнутая плоская кривая, все точки которой удалены на одинаковые расстояния от заданной точки, называемой центром окружности.

Центр окружности- это точка, которая находится на одинаковом расстоянии (равноудаленная) от любой точки окружности, ее обозначают обычно заглавной буквой О.

По сути, окружность - это изогнутая линия. Наглядно представить данную геометрическую фигуру можно, обведя стакан или блюдце карандашом, - оставшийся нарисованный след и будет окружностью.

Круг - это часть плоскости, ограниченная окружностью. Можно также сказать что это часть плоскости, которая находится внутри линии окружности.

Круг - плоская фигура, ее можно получить, закрасив окружность или вырезав его из бумаги по контуру окружности.

Свои имена окружность и круг приобрели не сразу.

В древние времена специальных названий для этих фигур не существовало. Люди пытались описать различные геометрические формы, сравнивая объекты. Например, говоря про что-то круглое, говорили: «такой, как солнце» или «такой, как орех» и т.п.

Только в Древней Греции окружность и круг приобрели себе свои названия.

Круг всегда привлекал к себе внимание как самая простая фигура из кривых, но самая загадочная.

У меня есть дополнительная информация к этой части урока!

Закрыть

Древние греки считали круг и окружность символом бесконечности и совершенства. Поражало то, что в каждой своей точке окружность устроена одинаково, представляя собой бесконечную линию, которая движется сама по себе.

У древних славян еще за долго до христианства круг был символом солнца.

В Древнем Египте и Греции круг изображали в виде змея Уробороса, который кусает свой хвост, образуя тем самым, окружность - этот символ обозначал бесконечность и цикличность во всей вселенной (смена дня и ночи, жизни и смерти т.д.).

Символика круга в различных религиях сопоставляется с целостностью, вечностью и бесконечной мудростью.

Например, в масонских учениях круг как форма без начала и конца - это источник бесконечного времени и пространства, в котором заключена тайна творения.

У буддистов круг символизирует единство внутреннего и внешнего мира.

В дзен-буддизме круг - это символ высшей степени просветления и совершенства. На основе этого представления построены принципы инь и янь (в виде круга, разделенного на две части, - символа взаимодействия и борьбы двух начал).

В христианстве круг служит эталоном божественного и духовного совершенства.

В живой и неживой природе круги и окружности встречаются как на макроуровнях, так и на микроуровнях. Например, движение электронов вокруг атомного ядра; вращение планет вокруг солнца; распространение волн на воде от упавшего груза; образование солнечного и лунного гало; срез дерева; зрачок глаза у человека и многое другое.

Рассмотрим подробней элементы, характерные для окружности.

Радиус окружности- это отрезок, соединяющий центр окружности и любую другую точку, расположенную на линии окружности.

С латинского радиус (radius)- луч, спица колеса. Радиус не сразу приобрел себе такое название.

Слово радиус впервые встречается в 1569 году у французского ученого П. Рамуса, а общепризнанным становится к концу XVII века.

Радиус обозначается маленькой латинской буквой (r) или заглавной (R).

В окружности можно провести столько же радиусов, сколько точек имеет линия окружности; все эти радиусы равны.

Диаметр - это отрезок прямой, проходящий через центр окружности и соединяющий две точки на этой окружности.

Диаметр в переводе с греческого (diametros) - поперечник.

Обычно диаметр обозначают латинской маленькой буквой d или заглавной D.

По величине диаметр равен двум радиусам, лежащим на одной прямой.

d = 2r

Следовательно, радиус- это половина диаметра.

r = d: 2

 

Пример 1

Радиус окружности равен 6 см.

Чему равен диаметр окружности?

Дано:

r = 6 см

Найти:

d - ?

Решение:

d = 2r

d = 2r= 2*6 = 12 (см) диаметр окружности

Ответ: d= 12 см

 

Пример 2

Диаметр окружности равен 12 см.

Чему равен радиус окружности?

Дано:

d = 12 см

Найти:

r - ?

Решение:

r = d : 2

r = 12 : 2 = 6 (см) радиус окружности

Ответ: r = 6 см

У меня есть дополнительная информация к этой части урока!

Закрыть

Секущая окружности - это прямая, пересекающая окружность в двух точках. В результате окружность делится на дуги.

Секущая окружности

 

Точки А и В - точки пересечения секущей с окружностью.

Образовались две дуги: \(\mathbf{\cup AB\ и\ \cup BA}\)

Отрезок, который соединяет любые две точки на окружности (отрезок секущей), называется хордой.

Отрезок АВ (отрезок секущей) на рисунке - хорда окружности.

Хорда в переводе с греческого - струна, тетива.

Хорда

На рисунке отрезок MN является хордой.

Если хорда проходит через центр окружности, то она является самой большой хордой для этой окружности. По своей сути она является диаметром для данной окружности и делит окружность на две равные дуги.

По мере удаления хорды от центра размеры ее уменьшаются, а дуги делятся на большую и малую.

дуга

АВ- самая большая хорда окружности- диаметр окружности.

CD, N1M1, NM, FE- хорды окружности.

Хорды окружности, удаленные на равные расстояния от центра, равны.

Хорды NM и N1M1 равны.

Если две хорды пересекаются в точке, то их отрезки пропорциональны.

Хорды

\(\mathbf{AK \cdot KB = CK \cdot KD}\)

 

Важно отметить, что все рассмотренные элементы окружности одинаковы и для круга.

Пройти тест
Закрыть тест

Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации

Длина окружности и площадь круга

Давайте выясним, что такое длина окружности и как ее определить.

Представьте, что окружность обернута нитью.

Если разрезать эту нить в некоторой точке и размотать ее, то длина нитки будет равна длине окружности.

Обычно длина окружности обозначается заглавной буквой С

Длина окружности (С) зависит от длины ее диаметра (d)

Обратите внимание на рисунок.

Вы можете заметить, что чем больше диаметр, тем больше длина окружности.

Из этого следует, что длина окружности прямо пропорционально зависит от диаметра окружности.

А значит, для любых окружностей отношение длины окружности (С) к длине диаметра (d) является числом постоянным.

Это число (коэффициент пропорциональности) обозначают греческой буквой \(\mathbf{\pi}\), читается «пи».

Зная, что:

С- это длина окружности

d- диаметр окружности

запишем отношение \(\mathbf{C \div d = \pi}\)

отсюда следует, что длина окружности равна

\(\mathbf{C = \pi d}\)

Так как диаметр окружности вдвое больше радиуса d = 2r, получим еще одну формулу для вычисления длины окружности

\(\mathbf{C = \pi 2r = 2\pi r}\)

Выясним, чему равна постоянная величина - число \(\mathbf{\pi}\)

Число \(\mathbf{\pi}\)- это иррациональное число, т.е. число, которое представлено в виде бесконечной непериодической десятичной дроби.

У меня есть дополнительная информация к этой части урока!

Закрыть

История числа \(\mathbf{ \pi}\) насчитывает около 4 тысячелетий.

Одно из первых доказательств древнего существования этого числа \(\mathbf{ \pi}\) заключено в папирусе Ахмеса, в одном из старейших задачников (1650 год до н.э.), найденного в Древнем Египте.

В папирусе дано достаточно точное, особенного для того времени, значение числа, равного 3,1605.

Точнее число \(\mathbf{ \pi}\) рассчитал древнегреческий математик Архимед. Он приближенно представил значение константы в виде обыкновенной дроби  \(\mathbf{\frac {22}{7}}\)

Архимеду удалось найти точное приближение числа \(\mathbf{ \pi}\) (т.е. узкий числовой промежуток к которому принадлежит число \(\mathbf{ \pi}\)).

Это приближение выглядело так \(\mathbf{3,140909 < \pi < 3,1428265}\)

С течением времени находили все более точные значения постоянной.

И спустя восемь веков математиком Людольфом ван Цейленом были определены точно 36 знаков после запятой.

Кстати, число существовало, велись его подсчеты и уточнения, а конкретного имени эта постоянная не имела.

Буквенное значение, такое, какое оно сейчас есть (\(\mathbf{ \pi}\)), константа получила в начале XVIII века.

Название предложил ученый Джонс, и, спустя тридцать лет, имя этой постоянной стало общепризнанным.

К числу \(\mathbf{ \pi}\)  до сих пор не потерян интерес.

Точность значения постоянной уже составляет десять триллионов символов после запятой.

Открываются клубы интересов, математические сообщества по изучению числа \(\mathbf{ \pi}\)

Придуманы различные методики запоминания числа \(\mathbf{ \pi}\) с точностью до десятков тысяч знаков после запятой.

Мы с вами не будем оперировать настолько точными данными.

Для вычислений и решения задач нам будет хватать округления числа \(\mathbf{ \pi}\) до сотых.

И будем принимать число \(\mathbf{ \pi}\) приблизительно равным 3,14.

Число \(\mathbf{ \pi}\) используют во многих математических и физических формулах.

 

Площадь круга

Так как круг - это часть плоскости, то одной из его характеристик является площадь.

Площадь круга равна произведению квадрата радиуса на число \(\mathbf{ \pi}\).

Где S- это площадь круга

r- радиус круга

\(\mathbf{ \pi}\) - постоянная величина

Так как \(\mathbf{r = \frac {d}{2} = \frac {1}{2}d}\), то получаем еще одну формулу для определения площади круга

\(\mathbf{S = \pi (\frac{1}{2} d)^2 = \frac {1}{4} \pi d^2}\)

Пройти тест
Закрыть тест

Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации

Решения задач по теме «Длина окружности и площадь круга»

Рассмотрим примеры решения задач

 

Задача 1

Найдите длину окружности, если ее радиус равен 4 см.

Число \(\mathbf{{\pi}}\) округлите до сотых.

Дано:

r = 4 см

\(\mathbf{{\pi} \approx 3,14}\)

Найти:

Длину окружности С - ?

Решение:

\(\mathbf{C = 2{\pi}r}\)

Подставив в формулу известные значения радиуса и постоянной \(\mathbf{\pi}}\), получим:

\(\mathbf{C = 2{\cdot}3,14{\cdot}4=25,12}\)(см) длина окружности

Ответ: \(\mathbf{C=25,12}\)(см)

 

Задача 2

Длина окружности надувного бассейна 15,7м.

Найдите диаметр этого бассейна.

Число \(\mathbf{\pi}\) округлите до сотых.

Дано:

C = 15,7 м

\(\mathbf{\pi\approx 3,14}\)

Найти:

Диаметр d - ?

Решение:

\(\mathbf{C = \pi d}\)

\(\mathbf{d = \frac {c}{\pi}}\)

Подставив в формулу известные значения длины окружности и постоянной \(\mathbf{\pi}\), получим:

\(\mathbf{d = \frac {15,7}{3,14}}=5\) (м) диаметр бассейна

Ответ: \(\mathbf{d = 5}\) (м)

 

Задача 3

Диаметр окружности равен 6 см.

Найдите площадь круга, ограниченного этой окружностью.

Значение числа \(\mathbf{\pi}\) округлить до сотых.

Дано:

d = 6 cм

\(\mathbf{{\pi} \approx 3,14}\)

Найти:

Площадь круга S - ?

Решение:

\(\mathbf{S = \frac {1}{4}{\pi}d^2}\)

Подставим в формулу известные значения диаметра окружности и постоянной , получим:

\(\mathbf{S = \frac {1}{4}{\cdot}3,14{\cdot}6^2 = \frac {3,14{\cdot}36}{4} } = 3,14{\cdot}9=28,26\) (cм2) площадь круга

Ответ: \(\mathbf{S = 28,26}\) (см2)

 

Задача 4

Вычислите площадь полукруга, если радиус круга равен 5 см.

Значение \(\mathbf{\pi }\) округлить до целых.

Дано:

r = 5 cм

\(\mathbf{{\pi} \approx 3}\)

Найти:

Площадь полукруга Sп - ?

Решение:

Площадь круга найдем по формуле:

\(\mathbf{S = {\pi} r^2}\)

Площадь полукруга будет равна половине площади всего круга.

Следовательно, формула для расчета площади полукруга получится вида:

\(\mathbf{S_п = \frac{\pi r^2}{2}}\)

Подставим в формулу известные значения радиуса круга и постоянной \(\mathbf{\pi}\), получим:

\(\mathbf{S_п = \frac{3 \cdot 25}{2} =37,5}\) (cм2) площадь полукруга

Ответ: \(\mathbf{S_п =37,5}\) (см2)

 

Задача 5

Найдите площадь круга, если известна длина окружности С.

Дано:

Длина окружности С

Найти:

Площадь круга S - ?

Решение:

Длина окружности выражается формулой:

\(\mathbf{C = 2{\pi}r}\)

Выразим неизвестный радиус окружности через длину окружности:

\(\mathbf{r = \frac{C}{2{\pi}}}\)

Площадь круга определяем по формуле:

\(\mathbf{S ={\pi}r^2}\)

Подставим, полученные выражения для радиуса окружности, в формулу площади круга, получим:

\(\mathbf{S ={\pi}(\frac{C}{2{\pi}})^2 = {\pi}\frac {C^2}{4{\pi}^2} = \frac{{\pi}C^2}{4{\pi}^2}}\)

Сократим полученную дробь:

\(\mathbf{S=\frac{C^2}{4{\pi}}}\)площадь круга

Ответ: \(\mathbf{S=\frac{C^2}{4{\pi}}}\)

У меня есть дополнительная информация к этой части урока!

Закрыть

Кроме вычислительных задач, существуют задачи на построение окружности и круга.

Окружность и круг можно начертить с помощью чертежного инструмента, который называется циркуль.

циркуль

В переводе с латинского языка circulus означает «окружность», «круг».

Циркуль использовали еще с древности, много тысяч лет назад, об этом свидетельствуют найденные на раскопках находки, изображения.

Циркуль представляет собой две одинаковые по длине «ножки». На конце одной из них игла, а на второй- грифель.

Есть циркуль, у которого вместо «ножки» с грифелем помещается карандаш.

Рассмотрим, как построить окружность (круг) на бумаге с помощью циркуля и линейки.

Если задан радиус окружности (круга), то в нулевую отметку на линейке ставим иголку циркуля, другая «ножка» циркуля с грифелем в точку на линейке, равной по значению заданному радиусу.

Ставим точку на листе бумаги - это будет центр окружности (круга), в эту точку ставим иголку циркуля.

Не отрывая грифеля второй «ножки» циркуля от бумаги проводим окружность с заданным радиусом.

Если в задаче задан диаметр, то, прежде чем совершать замер по линейке, необходимо диаметр разделить пополам.

Таким образом, устанавливаем раствор циркуля по линейке на расстояние d:2 = r и чертим окружность по выше изложенной схеме.

Чтобы начертить окружность на местности, пользуются колышком и веревкой. Колышек вбивают в землю - предполагаемый центр окружности; веревка одним концом закрепляется к этому колышку, второй конец веревки туго натягивается; далее очерчивают окружность.

Данный способ построения окружности (круга) может быть применен и на бумаге, если под рукой не оказалось циркуля.

В качестве колышка берется кнопка, к ней привязывается нить определенной длинны (длина нити равна значению заданного радиуса), ко второму концу привязывается карандаш

Пройти тест
Закрыть тест

Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации

Заключительный тест

Пройти тест