Урок 25 Получить доступ за 50 баллов Длина окружности и площадь круга

На этом уроке мы рассмотрим одни из самых древнейших геометрических фигур: окружность и круг.

Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipisicing elit. Adipisci autem beatae consectetur corporis dolores ea, eius, esse id illo inventore iste mollitia nemo nesciunt nisi obcaecati optio similique tempore voluptate!

Adipisci alias assumenda consequatur cupiditate, ex id minima quam rem sint vitae? Animi dolores earum enim fugit magni nihil odit provident quaerat. Aliquid aspernatur eos esse magnam maiores necessitatibus, nulla?

Эта информация доступна зарегистрированным пользователям

Определим, какими элементами характеризуются круг и окружность, в чем сходство и различие этих фигур.

Узнаем, как рассчитать длину окружности и площадь круга.

Окружность и круг

Мы часто встречаем такие понятия, как окружность и круг.

Давайте попробуем разобраться, что называют окружностью, а что кругом.

Окружность - это замкнутая плоская кривая, все точки которой удалены на одинаковые расстояния от заданной точки, называемой центром окружности.

Центр окружности- это точка, которая находится на одинаковом расстоянии (равноудаленная) от любой точки окружности, ее обозначают обычно заглавной буквой О.

По сути, окружность - это изогнутая линия. Наглядно представить данную геометрическую фигуру можно, обведя стакан или блюдце карандашом, - оставшийся нарисованный след и будет окружностью.

Круг - это часть плоскости, ограниченная окружностью. Можно также сказать что это часть плоскости, которая находится внутри линии окружности.

Круг - плоская фигура, ее можно получить, закрасив окружность или вырезав его из бумаги по контуру окружности.

Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipisicing elit. Adipisci autem beatae consectetur corporis dolores ea, eius, esse id illo inventore iste mollitia nemo nesciunt nisi obcaecati optio similique tempore voluptate!

Adipisci alias assumenda consequatur cupiditate, ex id minima quam rem sint vitae? Animi dolores earum enim fugit magni nihil odit provident quaerat. Aliquid aspernatur eos esse magnam maiores necessitatibus, nulla?

Эта информация доступна зарегистрированным пользователям

Свои имена окружность и круг приобрели не сразу.

В древние времена специальных названий для этих фигур не существовало. Люди пытались описать различные геометрические формы, сравнивая объекты. Например, говоря про что-то круглое, говорили: «такой, как солнце» или «такой, как орех» и т.п.

Только в Древней Греции окружность и круг приобрели себе свои названия.

Круг всегда привлекал к себе внимание как самая простая фигура из кривых, но самая загадочная.

Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipisicing elit. Adipisci autem beatae consectetur corporis dolores ea, eius, esse id illo inventore iste mollitia nemo nesciunt nisi obcaecati optio similique tempore voluptate!

Adipisci alias assumenda consequatur cupiditate, ex id minima quam rem sint vitae? Animi dolores earum enim fugit magni nihil odit provident quaerat. Aliquid aspernatur eos esse magnam maiores necessitatibus, nulla?

Эта информация доступна зарегистрированным пользователям

В живой и неживой природе круги и окружности встречаются как на макроуровнях, так и на микроуровнях. Например, движение электронов вокруг атомного ядра; вращение планет вокруг солнца; распространение волн на воде от упавшего груза; образование солнечного и лунного гало; срез дерева; зрачок глаза у человека и многое другое.

Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipisicing elit. Adipisci autem beatae consectetur corporis dolores ea, eius, esse id illo inventore iste mollitia nemo nesciunt nisi obcaecati optio similique tempore voluptate!

Adipisci alias assumenda consequatur cupiditate, ex id minima quam rem sint vitae? Animi dolores earum enim fugit magni nihil odit provident quaerat. Aliquid aspernatur eos esse magnam maiores necessitatibus, nulla?

Эта информация доступна зарегистрированным пользователям

Рассмотрим подробней элементы, характерные для окружности.

Радиус окружности- это отрезок, соединяющий центр окружности и любую другую точку, расположенную на линии окружности.

С латинского радиус (radius)- луч, спица колеса. Радиус не сразу приобрел себе такое название.

Слово радиус впервые встречается в 1569 году у французского ученого П. Рамуса, а общепризнанным становится к концу XVII века.

Радиус обозначается маленькой латинской буквой (r) или заглавной (R).

Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipisicing elit. Adipisci autem beatae consectetur corporis dolores ea, eius, esse id illo inventore iste mollitia nemo nesciunt nisi obcaecati optio similique tempore voluptate!

Adipisci alias assumenda consequatur cupiditate, ex id minima quam rem sint vitae? Animi dolores earum enim fugit magni nihil odit provident quaerat. Aliquid aspernatur eos esse magnam maiores necessitatibus, nulla?

Эта информация доступна зарегистрированным пользователям

В окружности можно провести столько же радиусов, сколько точек имеет линия окружности; все эти радиусы равны.

Диаметр - это отрезок прямой, проходящий через центр окружности и соединяющий две точки на этой окружности.

Диаметр в переводе с греческого (diametros) - поперечник.

Обычно диаметр обозначают латинской маленькой буквой d или заглавной D.

По величине диаметр равен двум радиусам, лежащим на одной прямой.

Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipisicing elit. Adipisci autem beatae consectetur corporis dolores ea, eius, esse id illo inventore iste mollitia nemo nesciunt nisi obcaecati optio similique tempore voluptate!

Adipisci alias assumenda consequatur cupiditate, ex id minima quam rem sint vitae? Animi dolores earum enim fugit magni nihil odit provident quaerat. Aliquid aspernatur eos esse magnam maiores necessitatibus, nulla?

Эта информация доступна зарегистрированным пользователям

d = 2r

Следовательно, радиус- это половина диаметра.

r = d: 2

 

Пример 1

Радиус окружности равен 6 см.

Чему равен диаметр окружности?

Дано:

r = 6 см

Найти:

d - ?

Решение:

d = 2r

d = 2r= 2*6 = 12 (см) диаметр окружности

Ответ: d= 12 см

 

Пример 2

Диаметр окружности равен 12 см.

Чему равен радиус окружности?

Дано:

d = 12 см

Найти:

r - ?

Решение:

r = d : 2

r = 12 : 2 = 6 (см) радиус окружности

Ответ: r = 6 см

Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipisicing elit. Adipisci autem beatae consectetur corporis dolores ea, eius, esse id illo inventore iste mollitia nemo nesciunt nisi obcaecati optio similique tempore voluptate!

Adipisci alias assumenda consequatur cupiditate, ex id minima quam rem sint vitae? Animi dolores earum enim fugit magni nihil odit provident quaerat. Aliquid aspernatur eos esse magnam maiores necessitatibus, nulla?

Эта информация доступна зарегистрированным пользователям

Важно отметить, что все рассмотренные элементы окружности одинаковы и для круга.

Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipisicing elit. Adipisci autem beatae consectetur corporis dolores ea, eius, esse id illo inventore iste mollitia nemo nesciunt nisi obcaecati optio similique tempore voluptate!

Adipisci alias assumenda consequatur cupiditate, ex id minima quam rem sint vitae? Animi dolores earum enim fugit magni nihil odit provident quaerat. Aliquid aspernatur eos esse magnam maiores necessitatibus, nulla?

Эта информация доступна зарегистрированным пользователям

Длина окружности и площадь круга

Давайте выясним, что такое длина окружности и как ее определить.

Представьте, что окружность обернута нитью.

Если разрезать эту нить в некоторой точке и размотать ее, то длина нитки будет равна длине окружности.

Обычно длина окружности обозначается заглавной буквой С

Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipisicing elit. Adipisci autem beatae consectetur corporis dolores ea, eius, esse id illo inventore iste mollitia nemo nesciunt nisi obcaecati optio similique tempore voluptate!

Adipisci alias assumenda consequatur cupiditate, ex id minima quam rem sint vitae? Animi dolores earum enim fugit magni nihil odit provident quaerat. Aliquid aspernatur eos esse magnam maiores necessitatibus, nulla?

Эта информация доступна зарегистрированным пользователям

Длина окружности (С) зависит от длины ее диаметра (d)

Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipisicing elit. Adipisci autem beatae consectetur corporis dolores ea, eius, esse id illo inventore iste mollitia nemo nesciunt nisi obcaecati optio similique tempore voluptate!

Adipisci alias assumenda consequatur cupiditate, ex id minima quam rem sint vitae? Animi dolores earum enim fugit magni nihil odit provident quaerat. Aliquid aspernatur eos esse magnam maiores necessitatibus, nulla?

Эта информация доступна зарегистрированным пользователям

Обратите внимание на рисунок.

Вы можете заметить, что чем больше диаметр, тем больше длина окружности.

Из этого следует, что длина окружности прямо пропорционально зависит от диаметра окружности.

А значит, для любых окружностей отношение длины окружности (С) к длине диаметра (d) является числом постоянным.

Это число (коэффициент пропорциональности) обозначают греческой буквой \(\mathbf{\pi}\), читается «пи».

Зная, что:

С- это длина окружности

d- диаметр окружности

запишем отношение \(\mathbf{C \div d = \pi}\)

отсюда следует, что длина окружности равна

\(\mathbf{C = \pi d}\)

Так как диаметр окружности вдвое больше радиуса d = 2r, получим еще одну формулу для вычисления длины окружности

\(\mathbf{C = \pi 2r = 2\pi r}\)

Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipisicing elit. Adipisci autem beatae consectetur corporis dolores ea, eius, esse id illo inventore iste mollitia nemo nesciunt nisi obcaecati optio similique tempore voluptate!

Adipisci alias assumenda consequatur cupiditate, ex id minima quam rem sint vitae? Animi dolores earum enim fugit magni nihil odit provident quaerat. Aliquid aspernatur eos esse magnam maiores necessitatibus, nulla?

Эта информация доступна зарегистрированным пользователям

Выясним, чему равна постоянная величина - число \(\mathbf{\pi}\)

Число \(\mathbf{\pi}\)- это иррациональное число, т.е. число, которое представлено в виде бесконечной непериодической десятичной дроби.

Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipisicing elit. Adipisci autem beatae consectetur corporis dolores ea, eius, esse id illo inventore iste mollitia nemo nesciunt nisi obcaecati optio similique tempore voluptate!

Adipisci alias assumenda consequatur cupiditate, ex id minima quam rem sint vitae? Animi dolores earum enim fugit magni nihil odit provident quaerat. Aliquid aspernatur eos esse magnam maiores necessitatibus, nulla?

Эта информация доступна зарегистрированным пользователям

Мы с вами не будем оперировать настолько точными данными.

Для вычислений и решения задач нам будет хватать округления числа \(\mathbf{ \pi}\) до сотых.

И будем принимать число \(\mathbf{ \pi}\) приблизительно равным 3,14.

Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipisicing elit. Adipisci autem beatae consectetur corporis dolores ea, eius, esse id illo inventore iste mollitia nemo nesciunt nisi obcaecati optio similique tempore voluptate!

Adipisci alias assumenda consequatur cupiditate, ex id minima quam rem sint vitae? Animi dolores earum enim fugit magni nihil odit provident quaerat. Aliquid aspernatur eos esse magnam maiores necessitatibus, nulla?

Эта информация доступна зарегистрированным пользователям

Число \(\mathbf{ \pi}\) используют во многих математических и физических формулах.

 

Площадь круга

Так как круг - это часть плоскости, то одной из его характеристик является площадь.

Площадь круга равна произведению квадрата радиуса на число \(\mathbf{ \pi}\).

Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipisicing elit. Adipisci autem beatae consectetur corporis dolores ea, eius, esse id illo inventore iste mollitia nemo nesciunt nisi obcaecati optio similique tempore voluptate!

Adipisci alias assumenda consequatur cupiditate, ex id minima quam rem sint vitae? Animi dolores earum enim fugit magni nihil odit provident quaerat. Aliquid aspernatur eos esse magnam maiores necessitatibus, nulla?

Эта информация доступна зарегистрированным пользователям

Где S- это площадь круга

r- радиус круга

\(\mathbf{ \pi}\) - постоянная величина

Так как \(\mathbf{r = \frac {d}{2} = \frac {1}{2}d}\), то получаем еще одну формулу для определения площади круга

\(\mathbf{S = \pi (\frac{1}{2} d)^2 = \frac {1}{4} \pi d^2}\)

Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipisicing elit. Adipisci autem beatae consectetur corporis dolores ea, eius, esse id illo inventore iste mollitia nemo nesciunt nisi obcaecati optio similique tempore voluptate!

Adipisci alias assumenda consequatur cupiditate, ex id minima quam rem sint vitae? Animi dolores earum enim fugit magni nihil odit provident quaerat. Aliquid aspernatur eos esse magnam maiores necessitatibus, nulla?

Эта информация доступна зарегистрированным пользователям

Решения задач по теме «Длина окружности и площадь круга»

Рассмотрим примеры решения задач

 

Задача 1

Найдите длину окружности, если ее радиус равен 4 см.

Число \(\mathbf{{\pi}}\) округлите до сотых.

Дано:

r = 4 см

\(\mathbf{{\pi} \approx 3,14}\)

Найти:

Длину окружности С - ?

Решение:

\(\mathbf{C = 2{\pi}r}\)

Подставив в формулу известные значения радиуса и постоянной \(\mathbf{\pi}}\), получим:

\(\mathbf{C = 2{\cdot}3,14{\cdot}4=25,12}\)(см) длина окружности

Ответ: \(\mathbf{C=25,12}\)(см)

 

Задача 2

Длина окружности надувного бассейна 15,7м.

Найдите диаметр этого бассейна.

Число \(\mathbf{\pi}\) округлите до сотых.

Дано:

C = 15,7 м

\(\mathbf{\pi\approx 3,14}\)

Найти:

Диаметр d - ?

Решение:

\(\mathbf{C = \pi d}\)

\(\mathbf{d = \frac {c}{\pi}}\)

Подставив в формулу известные значения длины окружности и постоянной \(\mathbf{\pi}\), получим:

\(\mathbf{d = \frac {15,7}{3,14}}=5\) (м) диаметр бассейна

Ответ: \(\mathbf{d = 5}\) (м)

 

Задача 3

Диаметр окружности равен 6 см.

Найдите площадь круга, ограниченного этой окружностью.

Значение числа \(\mathbf{\pi}\) округлить до сотых.

Дано:

d = 6 cм

\(\mathbf{{\pi} \approx 3,14}\)

Найти:

Площадь круга S - ?

Решение:

\(\mathbf{S = \frac {1}{4}{\pi}d^2}\)

Подставим в формулу известные значения диаметра окружности и постоянной , получим:

\(\mathbf{S = \frac {1}{4}{\cdot}3,14{\cdot}6^2 = \frac {3,14{\cdot}36}{4} } = 3,14{\cdot}9=28,26\) (cм2) площадь круга

Ответ: \(\mathbf{S = 28,26}\) (см2)

 

Задача 4

Вычислите площадь полукруга, если радиус круга равен 5 см.

Значение \(\mathbf{\pi }\) округлить до целых.

Дано:

r = 5 cм

\(\mathbf{{\pi} \approx 3}\)

Найти:

Площадь полукруга Sп - ?

Решение:

Площадь круга найдем по формуле:

\(\mathbf{S = {\pi} r^2}\)

Площадь полукруга будет равна половине площади всего круга.

Следовательно, формула для расчета площади полукруга получится вида:

\(\mathbf{S_п = \frac{\pi r^2}{2}}\)

Подставим в формулу известные значения радиуса круга и постоянной \(\mathbf{\pi}\), получим:

\(\mathbf{S_п = \frac{3 \cdot 25}{2} =37,5}\) (cм2) площадь полукруга

Ответ: \(\mathbf{S_п =37,5}\) (см2)

 

Задача 5

Найдите площадь круга, если известна длина окружности С.

Дано:

Длина окружности С

Найти:

Площадь круга S - ?

Решение:

Длина окружности выражается формулой:

\(\mathbf{C = 2{\pi}r}\)

Выразим неизвестный радиус окружности через длину окружности:

\(\mathbf{r = \frac{C}{2{\pi}}}\)

Площадь круга определяем по формуле:

\(\mathbf{S ={\pi}r^2}\)

Подставим, полученные выражения для радиуса окружности, в формулу площади круга, получим:

\(\mathbf{S ={\pi}(\frac{C}{2{\pi}})^2 = {\pi}\frac {C^2}{4{\pi}^2} = \frac{{\pi}C^2}{4{\pi}^2}}\)

Сократим полученную дробь:

\(\mathbf{S=\frac{C^2}{4{\pi}}}\)площадь круга

Ответ: \(\mathbf{S=\frac{C^2}{4{\pi}}}\)

Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipisicing elit. Adipisci autem beatae consectetur corporis dolores ea, eius, esse id illo inventore iste mollitia nemo nesciunt nisi obcaecati optio similique tempore voluptate!

Adipisci alias assumenda consequatur cupiditate, ex id minima quam rem sint vitae? Animi dolores earum enim fugit magni nihil odit provident quaerat. Aliquid aspernatur eos esse magnam maiores necessitatibus, nulla?

Эта информация доступна зарегистрированным пользователям

В бесплатной версии урока недоступны:

  • Видео
  • Изображения
  • Дополнительная информация
  • Таблицы
  • Тесты
Получить доступ