Урок 1 Бесплатно Делители и кратные

Операция деления известна с давних времен.

Привычные нам сегодня обозначения операции деления появлялись постепенно, в более древние времена люди использовали другие знаки.

Первый из символов ( / ), в обиходе косая черта, впервые был применен в 1631 году в одной из работ англичанина Уильяма Отреда.

Со временем в математике стали использовать и знак ( : ). Его в своих работах использовал немецкий математик Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646—1716)

При выполнении операции деления используют три математических составляющих:

• делимое
• делитель
• частное

Сегодня мы познакомимся с делителями и со связанными с ними понятиями кратных.

Допустим, у вас есть 30 конфет и их надо разделить поровну шести друзьям.

В этом случае 6 друзей получат по 5 конфет, потому что 30 : 6  = 5

Если натуральное число делится без остатка на второе натуральное число, то первое называется кратным, а второе называют делителем.

Другими словами, 30 кратно 6, а 6 это делитель 30.

Могут быть и другие варианты решения задачи, которые зависят от данного нам условия.

Если друзей будет 7, тогда раздать всем равное количество конфет не получится, так как 30 без остатка на 7 не делится.

Значит, 30 не кратно 7, и 7 не является делителем 30

Натуральное число, на которое делится без остатка другое число, называется его делителем.

Например, 3 - делитель числа 45, так как 45=3\(\cdot \)15

Само число 15 имеет четыре делителя: 1; 3; 5; 15, так как на каждое из этих чисел оно делится без остатка.

Натуральное число, которое делится на другое без остатка, называется его кратным.

Любое натуральное число имеет бесконечно много кратных.

Наименьшим из кратных натурального числа является само это число.

Например, кратными 4 будут числа: 4; 8; 12; 16; 20 и т.д.

Любые математические понятия используются при решении примеров и задач, ответах на вопросы из жизни.

Разберем некоторые из них подробнее.

Пример 1

На сколько равных кучек можно разделить 24 ореха?

Решение:

Нужно выяснить все делители числа 24

Такими будут числа: 1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 24

Каждое из этих чисел будет являться ответом на поставленный вопрос, таким образом: 

1 кучка из 24 орехов

2 кучки по 12 орехов

3 кучки по 8 орехов и т.д.

Пример 2

Напишите все двузначные числа, кратные 44

Решение:

Кратные - это те числа, которые делятся на данное, без остатка.

Еще нам дано условие, что такие числа должны быть двузначными.

Значит, это два числа 44 и 88.

Оба они делятся на 44 без остатка, в чем можно легко убедиться: 44 : 44 = 1;   88 : 44 = 2

Пример 3

Какое число и кратно 15, и является делителем 15?

Решение:

Вспомнив, что называется делителем и кратным, определяем, что такое число - это само число 15.

Оно кратно самому себе и является для себя делителем.

Пример 4

В строю 300 солдат. Можно ли их разделить на 7 равных групп для проведения физической подготовки?

Решение:

Чтобы проверить, можно ли разделить 300 солдат на 7 равных групп, поделим число 300 на 7.

Имеем: 300 : 7 = 42 и в остатке 6. То есть 300 не делится нацело на 7.

Значит, разбить 300 солдат на 7 равных групп не получится.

Пример 5

Докажите, что число 70525 кратно числу 217.

Доказательство: 

Выполним деление 70525 на 217 уголком.

$$\begin{matrix}
\textbf {70525} \vert \underline{\textbf{217}} \quad\; \\
\underline{\textbf{651}} \;\;\;\; \vert \textbf{325} \;\;\;\;\\
\textbf{542} \quad\quad\;\;\; \\
\underline{\textbf{434}}\quad \quad\;\;\; \\
\textbf{1085} \qquad\;\; \\
\underline{\textbf{1085}} \qquad\;\; \\
\textbf0\quad\;\\
\end{matrix}$$

Видим, что деление выполнено без остатка, значит, число 70525 кратно числу 217.

Раньше алгоритм деления в России выглядел совершенно иначе и не имел ничего общего с современным видом.

Например, деление могло получиться в виде полумесяца или по форме напоминать геометрическую фигуру- ромб.

Пусть требуется разделить 598432 на 678

Вот как выглядела запись деления:

          436

       1792

     5603

   5984/

   882

 678

5424

5424

   1356

      436

        598432 верно разделено

Или разделить 9649378 на 5634:

                                                  3

                                                 14

                                               259

                                                10

                                             59417

                                          4015530

                                          9649378

                                           5634444

                                             56333

                                               566

                                                 5