Урок 18 Получить доступ за 75 баллов Деление

В прошлых уроках мы разобрали операции сложения, вычитания и умножения над дробями, а также над смешанными числами.

В этом уроке мы будем разбирать, как можно делить одну дробь на другую, как разделить дробь на натуральное число, а также поработаем с делением смешанных чисел.

Дробь по своей сути является делением числителя на знаменатель, но записанное в таком виде, что мы это считаем это одним числом.

По такой аналогии деление дроби на натуральное число - это как если поделить сначала числитель на знаменатель, а потом полученное значение еще раз поделить на данное натуральное число.

Пример:

Если одно яблоко разделить на двоих, то каждый получит по \(\mathbf{\frac{1}{2}}\) яблока.

Теперь представим, что одну половинку мы еще раз разделили на троих. Понятно, что каждая треть половинки будет представлять из себя \(\mathbf{\frac{1}{6}}\) исходного яблока.

Из сказанного становится ясно, что если мы хотим поделить дробь на натуральное число, то результатом будет дробь с таким же числителем, а знаменателем будет произведение знаменателя исходной дроби и натурального числа.

Рассмотрим еще пару примеров для понимания:

Пример 1

Разделите \(\mathbf{\frac{3}{7}}\) на 5

\(\mathbf{\frac{3}{7}\div5=\frac{3}{7\cdot5}=\frac{3}{35}}\)

В этом примере мы просто воспользовались правилом: в знаменатель ответа записали произведение знаменателя исходной дроби и натурального числа, а числитель оставили, как у исходной дроби.

Пример 2

Разделите \(\mathbf{\frac{12}{13}}\) на 6

\(\mathbf{\frac{12}{13}\div6=\frac{2\cdot6}{13\cdot6}=\frac{2}{13}}\)

Как мы видим, в процессе деления появляются новые возможности для сокращения дробей.

Мы разобрались с простым случаем деления дроби на натуральное число, теперь разберем деление дроби на другую дробь.

Здесь также можно прибегнуть к логике перед тем, как посмотреть на готовое правило.

Мы определенно хотим уменьшить первое число.

Поэтому нужно разделить имеющуюся дробь на числитель второй дроби так, как мы это делали с натуральными числами.

Но в таком случае мы уменьшим число слишком сильно, значит, нужно умножить результат ровно на столько, на сколько вторая дробь меньше значения числителя этой самой второй дроби.

Иными словами, нам нужно разделить исходную дробь на числитель второй дроби и домножить на ее знаменатель.

Если вы сейчас не до конца поняли смысл этого правила и почему оно именно такое, можете не переживать, после рассмотрения примеров и самостоятельного решения тестов понимание улучшится.

Рассмотрим примеры:

Пример 1

Разделим \(\mathbf{\frac{2}{3}}\) на \(\mathbf{\frac{4}{7}}\):

\(\mathbf{\frac{2}{3}\div\frac{4}{7}=\frac{2\cdot7}{3\cdot4}=\frac{7}{3\cdot2}=\frac{7}{6}=1\frac{1}{6}}\)

Заметим, что при делении правильной дроби на натуральное число невозможно получить неправильную дробь, так как мы уменьшаем число и так меньшее единицы.

Здесь же мы имеем деление на правильную дробь, что, по сути своей, является умножением на неправильную, то есть увеличением.

Поэтому мы можем получать в результате неправильную дробь, которую нужно будет привести в вид смешанного числа.

Пример 2

Разделим \(\mathbf{\frac{5}{6}}\) на \(\mathbf{\frac{2}{9}}\):

\(\mathbf{\frac{5}{6}\div\frac{2}{9}=\frac{5\cdot9}{6\cdot2}=\frac{5\cdot3}{2\cdot2}=\frac{15}{4}=3\frac{3}{4}}\)

В этом случае у нас также получилось число, большее единицы, и мы выделяли целую часть.

Также мы можем заметить, насколько удобно в таких случаях делать сокращения до того, как посчитан результат, так как числитель и знаменатель расписаны как произведения меньших чисел.

Также важный момент состоит в том, что деление на какую-то дробь - это, по сути, умножение на дробь, обратную ей.

После того как мы расписали деление, мы можем спокойно разбить одну дробь на две и получится именно то, что мы утверждали.

Как и для других действий, для деления смешанных чисел их можно преобразовать в неправильные дроби и пользоваться правилами для дробей.

Так, чтобы разделить смешанное число на натуральное, мы умножаем целую часть смешанного числа на его знаменатель и прибавляем это к числителю дробной части смешанного числа, а дальше умножаем знаменатель на натуральное число.

Пример

Разделим \(\mathbf{1\frac{3}{4}}\) на 14:

\(\mathbf{1\frac{3}{4}\div14=\frac{1\cdot4+3}{4}\div14=\frac{7}{4}\div14=\frac{7}{4\cdot14}=\frac{1}{4\cdot2}=\frac{1}{8}}\)

Для деления так же, как и для сложения, работает распределительное свойство.

Это вполне резонно, учитывая, что как мы выяснили, деление - это умножение на обратное число.

Другой вопрос, что, пользуясь распределительным свойствам для деления смешанного числа на натуральное, вы с высокой вероятностью получите две дроби, которые потом еще надо будет складывать, и вы потеряете на этом время.

Но иногда могут быть «красивые» случаи, когда распределительное свойство может помочь.

Например, поделим \(\mathbf{16\frac{1}{9}}\) на 2

\(\mathbf{16\frac{1}{9}\div2=16\div2+\frac{1}{9}\div2=8+\frac{1}{9\cdot2}=8+\frac{1}{18}=8\frac{1}{18}}\)

Поэтому всегда имеет смысл смотреть на числа и прикидывать, каким способом решать будет быстрее.

Другой вопрос, что решение, каким способом решать задачу, нужно принимать достаточно быстро, чтобы осталось время собственно решить задачу.

Аналогично деление смешанного числа на натуральное. Для того чтобы поделить смешанное число на дробь, его нужно представить в виде неправильной дроби.

А если числа достаточно велики, то может быть удобнее представить деление как умножение на обратное число и воспользоваться распределительным свойством умножения относительно сложения.

Рассмотрим какой-нибудь пример и решим его двумя способами.

Разделим \(\mathbf{14\frac{2}{9}}\) на \(\mathbf{\frac{2}{3}}\).

Первый способ (с представлением смешанного числа в виде неправильной дроби):

\(\mathbf{14\frac{2}{9}\div\frac{2}{3}=\frac{14\cdot9+2}{9}\div\frac{2}{3}=\frac{126+2}{9}\div\frac{2}{3}=\frac{128}{9}\div\frac{2}{3}=\frac{128\cdot3}{9\cdot2}=\frac{64\cdot3}{9}=\frac{64}{3}=21\frac{1}{3}}\)

Второй способ (применяя распределительное свойство умножения относительно сложения):

\(\mathbf{14\frac{2}{9}\div\frac{2}{3}=(14+\frac{2}{9})\div\frac{2}{3}=(14+\frac{2}{9})\cdot\frac{3}{2}=(14\cdot\frac{3}{2})+(\frac{2}{9}\cdot\frac{3}{2})=}\)

\(\mathbf{=\frac{14\cdot3}{2}+\frac{2\cdot3}{9\cdot2}=7\cdot3+\frac{3}{9}=21+\frac{1}{3}=21\frac{1}{3}}\)

Как и ожидалось, во втором случае в процессе подсчета числа были меньше, но, как это обычно бывает в случае применения распределительного свойства умножения относительно сложения, самих действий стало больше.

Ну, и в заключение надо упомянуть про деление одного смешанного числа на другое.

Представим вторую дробь как неправильную дробь, а дальше заменим деление на неправильную дробь умножением на число, обратное ей.

Заметим, что обратное число к неправильной дроби будет меньше единицы, то есть дробью правильной.

А это значит, что сложность деления одного смешанного числа на другое смешанное отличается от умножения смешанного числа на правильную дробь исключительно взятием обратного числа от второго смешанного числа.

Также разберем один пример, используя оба способа, и сделаем выводы.

Разделим \(\mathbf{13\frac{3}{5}}\) на \(\mathbf{12\frac{1}{2}}\):

Первый способ (с представлением обоих чисел в виде неправильных дробей):

\(\mathbf{13\frac{3}{5}\div12\frac{1}{2}=\frac{13\cdot5+3}{5}\div\frac{12\cdot2+1}{2}=\frac{65+3}{5}\div\frac{24+1}{2}=\frac{68}{5}\div\frac{25}{2}=\frac{68\cdot2}{5\cdot25}=\frac{136}{125}=1\frac{11}{125}}\)

Не надо пугаться того, что в ответе в знаменателе стоит трехзначное число.

В учебниках и задачниках нередко получаются компактные ответы, но в реальных случаях экономики или физики никто не подгоняет числа, и ответы могут получаться куда более страшными.

Второй способ (применяя распределительное свойство):

\(\mathbf{13\frac{3}{5}\div12\frac{1}{2}=(13+\frac{3}{5})\div\frac{25}{2}=(13+\frac{3}{5})\cdot\frac{2}{25}=(13\cdot\frac{2}{25})+(\frac{3}{5}\cdot\frac{2}{25})=}\)

\(\mathbf{=\frac{13\cdot2}{25}+\frac{3\cdot2}{5\cdot25}=\frac{26}{25}+\frac{6}{125}=\frac{26\cdot5}{25}+\frac{6}{125}=\frac{130}{125}+\frac{6}{125}= \frac{136}{125}=1\frac{11}{125}}\)

В данном случае сложно сказать, какой из способов оказался удобнее. В данном примере они приблизительно одинаковы по простоте, поэтому вы можете выбирать тот способ, который удобен именно вам.

21 сентября 1997 года на американском военном корабле USS Yorktown (CG-48) отключились все системы и двигатели.

Естественно началась паника. Были версии странной атаки или чего-то подобного, но все оказалось значительно проще.

В компьютерной системе произошло деление на ноль, из-за чего случилась ошибка и все остановилось.

Собственно, поэтому, работая с математическими формулами, надо избегать ситуаций, которые могут привести к делению на ноль, а занимаясь программированием, надо обрабатывать такие места специальными способами.