Урок 32 Получить доступ за 75 баллов Сложение чисел с помощью координатной прямой

В прошлых уроках мы узнали, что такое координатная прямая и из чего она состоит.

Сегодня мы разберемся, как можно применить ее на практике, а именно, как с помощью нее складывать и вычитать числа.

Нам довольно хорошо знакомо сложение двух положительных чисел, с него и начнем.

Опять же, удобна аналогия с градусником.

Если вчера температура была 20ºС, а сегодня она увеличилась на 3ºС по сравнению со вчерашними показателями, то это значит, что сегодня температура равняется 23ºС.

Нарисуем координатную прямую, соответствующую этой ситуации.

Точке А будет соответствовать вчерашняя температура, точке В - сегодняшняя.

В данном случае мы подписали над стрелкой ту величину, которой соответствуют единицы на координатной прямой, - так тоже иногда делают.

Данный пример иллюстрирует, что при прибавлении к одному положительному числу другого положительного числа координата точки сдвигается на величину прибавляемого числа.

В данном случае по направлению направо, но, как мы уже обсуждали в уроке про координатную прямую, к понятиям «право» и «лево» лучше не привязываться.

Рассмотрим еще один пример:

Прибавим с помощью координатной прямой к 5-ти 4.

Числа положительные, а значит, координата результата будет лежать дальше по направлению, чем координаты данных нам чисел.

То есть отступаем от 5-ти 4 единицы по направлению - получаем 9, успех!

Что удобно, так это то, что знак первого числа нам на самом деле неважен.

Так что, если надо прибавить положительное число к отрицательному, мы воспользуемся тем же самым правилом.

Смотреть лучше как всегда на примере:

Прибавим к \(\mathbf{-11\ 7}\)

Определяем точку, соответствующую первому числу. На рисунке это точка А.

Дальше отступаем от нее 7 единичных отрезков и получаем сумму - координату точки В, то есть \(\mathbf{-4}\), что и является ответом.

Правило: чтобы прибавить к числу положительное число с помощью координатной прямой необходимо:

1. Определить точку с координатой, равной первому числу
2. Отступить от нее по направлению координатной прямой величину второго числа

Точка, в которой мы окажемся, и будет ответом.

Теперь посмотрим, что делать, когда надо вычесть из одного положительного числа другое положительное и как здесь помогает координатная прямая.

Опять же, обратимся к градуснику.

Если сказать, что вчера температура была равная 10 градусам, а сегодня опустилась на 5 градусов, то мы легко поймем, что сегодня она равна 5-ти градусам.

На градуснике это будет видно по тому, что точка, по которой мы смотрим, сместилась на 5 единичных отрезков вниз, то есть в сторону, противоположную направлению.

Изобразим это сразу на координатной прямой.

На рисунке точка А соответствует изначальному состоянию и 10-ти градусам, а точка В соответствует состоянию, где температура на 5 градусов ниже. 

Сформулируем правило: чтобы вычесть из числа положительное число, необходимо найти точку с координатой, равной уменьшаемому, и отступить в сторону, противоположную направлению, на количество единичных отрезков, равное величине вычитаемого.

Посмотрим еще парочку примеров, чтобы точно понять, о чем говорится.

Вычтем из 7-ми 9 с помощью координатной прямой.

Находим точку с координатой 7, это будет точка А. Теперь от нее в сторону от направления отступаем количество отрезков, соответствующее вычитаемому, то есть отступаем 9 единичных отрезков.

Попадаем в точку В с координатой \(\mathbf{-2}\).

\(\mathbf{-2}\) и является результатом вычитания из 7-ми 9-ти.

 Вычтем из 2-х 6 с помощью координатной прямой.

Точно также первым делом мы отмечаем точку с координатой, равной уменьшаемому.

В данном случае это точка A с координатой 2.

Далее осознаем, что вычитаемое равно 6-ти и отступать надо будет на 6 единичных отрезков.

Помня, что мы делаем вычитание положительного числа, отступаем эти самые 6 единичных отрезков против направления координатной прямой.

И оказываемся в точке В с координатой \(\mathbf{-4}\).

Получается \(\mathbf{2-6=-4}\)

Как вы видите, вы нигде не использовали тот факт, что уменьшаемое положительно, а значит, тоже самое правило работает с нулем и отрицательными числами.

Посмотрим на следующем примере, вычтем из -3 4 с помощью координатной прямой.

Отмечаем точку с координатой, равной уменьшаемому.

На рисунке это точка А с координатой -3.

Теперь мы отступаем от нее на 4 единичных отрезка против направления координатной прямой и приходим в точку В с координатой -7, что и является результатом вычитания.

Таким образом: \(\mathbf{-3-4=-7}\)

Теперь вы умеете прибавлять и вычитать положительные числа с помощью координатной прямой и сможете пройти следующий тест.

Сформулируем правила и рассмотрим их на примерах.

Чтобы прибавить к числу отрицательное число, нужно определить точку с координатой, равной первому слагаемому, а затем отступить от нее на число единичных отрезков, равное модулю второго слагаемого, против направления координатной прямой.

Пример: прибавим к 2-м \(\mathbf{-3}\)

Отмечаем точку А с координатой 2, далее понимаем, на сколько нам надо отступить.

Модуль от \(\mathbf{-3}\) равен 3-м, значит, и отступать будем на 3 единичных отрезка.

Зная, что мы прибавляем отрицательное число, мы решаем, что отступать будем против направления координатной прямой.

Таким образом, мы приходим в точку В с координатой \(\mathbf{-1}\).

Получается \(\mathbf{2+(-3)=-1}\)

 Чтобы вычесть из числа отрицательное число, нужно определить точку с координатой, равной уменьшаемому, а затем отступить от нее на число единичных отрезков, равное модулю вычитаемого, по направлению координатной прямой.

Пример: вычтем из 3-х \(\mathbf{-4}\)

Отмечаем точку А с координатой 3.

Модуль от \(\mathbf{-4}\) равняется 4-м, значит- отступаем на 4 единичных отрезка.

Так как мы делаем вычитание отрицательного числа, отступать будем по направлению координатной прямой.

Таким образом, оказываемся в точке В с координатой 7.

Имеем: \(\mathbf{3-(-4)=7}\)

Заметьте, что направления «сдвигов» в случае вычитания положительного числа и в случае прибавления отрицательного.

Также совпадают направления «сдвигов» между случаями прибавления положительного и вычитанием отрицательного.

Здесь мы наблюдаем, как последовательно записанные \(\mathbf{+}\) и \(\mathbf{-}\) превращаются в минус, причем вне зависимости от порядка, а записанные подряд два минуса эквивалентны плюсу.

Можно интуитивно это понимать так:

Допустим мы хотим посчитать выражение \(\mathbf{2-(-3)}\)

Мы прочитали минус, обозначающий вычитание, и уже собираемся отступать против направления координатной прямой, потом мы видим, что число отрицательное, это меняет направление отступа, и таким образом, мы снова смотрим по направлению координатной прямой.

Сходу это может показаться не очень понятным, поэтому есть четко сформулированные формальные правила, которые всегда работают.

На уроках математики вы сталкиваетесь с числами и формулами. Это вызвано тем, что в первую очередь обычно изучают арифметику и алгебру.

Но есть еще один огромный и сложный раздел математики под названием математическая логика.

Мы не будет углубляться в него - получится слишком долгий рассказ. Но посмотрим на известнейшие парадоксы, которые заставляют математиков задумываться о правилах в логике.

Парадокс брадобрея: Брадобрей бреет всех, кто не бреется сам. Тогда вопрос, кто бреет брадобрея?

Парадоксальность в том, что мы можем рассмотреть все варианты ответа на вопрос и ни один из них не будет верным.

В данном случае, если брадобрей бреет себя сам, то это значит, что его бреет брадобрей, противоречие.

И наоборот, если брадобрей себя не бреет, значит, он не бреется сам и его бреет брадобрей - снова противоречие с изначальным предположением.

Перечислим еще некоторые парадоксы уже без разбора, но если Вы захотите, то довольно легко обнаружите, в чем их парадоксальность.

Парадокс лжеца: Скажите фразу «я вру». Будет ли это фраза правдой или ложью? 

Парадокс Эпименида: Эпинимид был критянином и говорил, что все критяне врут. Врал ли при этом он сам?

Парадокс Платона и Сократа: Платон сказал, что следующее высказывание Сократа будет ложным, после этого Сократ сказал, что Платон сказал правду. Кто из них врет, а кто нет?