Урок 32 Получить доступ за 50 баллов Сложение чисел с помощью координатной прямой

В прошлых уроках мы узнали, что такое координатная прямая и из чего она состоит.

Сегодня мы разберемся, как можно применить ее на практике, а именно, как с помощью нее складывать и вычитать числа.

Сложение положительных чисел с помощью координатной прямой

Нам довольно хорошо знакомо сложение двух положительных чисел, с него и начнем.

Опять же, удобна аналогия с градусником.

Если вчера температура была 20ºС, а сегодня она увеличилась на 3ºС по сравнению со вчерашними показателями, то это значит, что сегодня температура равняется 23ºС.

Нарисуем координатную прямую, соответствующую этой ситуации.

Точке А будет соответствовать вчерашняя температура, точке В - сегодняшняя.

Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipisicing elit. Adipisci autem beatae consectetur corporis dolores ea, eius, esse id illo inventore iste mollitia nemo nesciunt nisi obcaecati optio similique tempore voluptate!

Adipisci alias assumenda consequatur cupiditate, ex id minima quam rem sint vitae? Animi dolores earum enim fugit magni nihil odit provident quaerat. Aliquid aspernatur eos esse magnam maiores necessitatibus, nulla?

Эта информация доступна зарегистрированным пользователям

В данном случае мы подписали над стрелкой ту величину, которой соответствуют единицы на координатной прямой, - так тоже иногда делают.

Данный пример иллюстрирует, что при прибавлении к одному положительному числу другого положительного числа координата точки сдвигается на величину прибавляемого числа.

В данном случае по направлению направо, но, как мы уже обсуждали в уроке про координатную прямую, к понятиям «право» и «лево» лучше не привязываться.

Рассмотрим еще один пример:

Прибавим с помощью координатной прямой к 5-ти 4.

Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipisicing elit. Adipisci autem beatae consectetur corporis dolores ea, eius, esse id illo inventore iste mollitia nemo nesciunt nisi obcaecati optio similique tempore voluptate!

Adipisci alias assumenda consequatur cupiditate, ex id minima quam rem sint vitae? Animi dolores earum enim fugit magni nihil odit provident quaerat. Aliquid aspernatur eos esse magnam maiores necessitatibus, nulla?

Эта информация доступна зарегистрированным пользователям

Числа положительные, а значит, координата результата будет лежать дальше по направлению, чем координаты данных нам чисел.

То есть отступаем от 5-ти 4 единицы по направлению - получаем 9, успех!

Что удобно, так это то, что знак первого числа нам на самом деле неважен.

Так что, если надо прибавить положительное число к отрицательному, мы воспользуемся тем же самым правилом.

Смотреть лучше как всегда на примере:

Прибавим к \(\mathbf{-11\ 7}\)

Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipisicing elit. Adipisci autem beatae consectetur corporis dolores ea, eius, esse id illo inventore iste mollitia nemo nesciunt nisi obcaecati optio similique tempore voluptate!

Adipisci alias assumenda consequatur cupiditate, ex id minima quam rem sint vitae? Animi dolores earum enim fugit magni nihil odit provident quaerat. Aliquid aspernatur eos esse magnam maiores necessitatibus, nulla?

Эта информация доступна зарегистрированным пользователям

Определяем точку, соответствующую первому числу. На рисунке это точка А.

Дальше отступаем от нее 7 единичных отрезков и получаем сумму - координату точки В, то есть \(\mathbf{-4}\), что и является ответом.

Правило: чтобы прибавить к числу положительное число с помощью координатной прямой необходимо:

  1. Определить точку с координатой, равной первому числу
  2. Отступить от нее по направлению координатной прямой величину второго числа

Точка, в которой мы окажемся, и будет ответом.

Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipisicing elit. Adipisci autem beatae consectetur corporis dolores ea, eius, esse id illo inventore iste mollitia nemo nesciunt nisi obcaecati optio similique tempore voluptate!

Adipisci alias assumenda consequatur cupiditate, ex id minima quam rem sint vitae? Animi dolores earum enim fugit magni nihil odit provident quaerat. Aliquid aspernatur eos esse magnam maiores necessitatibus, nulla?

Эта информация доступна зарегистрированным пользователям

Вычитание положительных чисел с помощью координатной прямой

Теперь посмотрим, что делать, когда надо вычесть из одного положительного числа другое положительное и как здесь помогает координатная прямая.

Опять же, обратимся к градуснику.

Если сказать, что вчера температура была равная 10 градусам, а сегодня опустилась на 5 градусов, то мы легко поймем, что сегодня она равна 5-ти градусам.

На градуснике это будет видно по тому, что точка, по которой мы смотрим, сместилась на 5 единичных отрезков вниз, то есть в сторону, противоположную направлению.

Изобразим это сразу на координатной прямой.

Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipisicing elit. Adipisci autem beatae consectetur corporis dolores ea, eius, esse id illo inventore iste mollitia nemo nesciunt nisi obcaecati optio similique tempore voluptate!

Adipisci alias assumenda consequatur cupiditate, ex id minima quam rem sint vitae? Animi dolores earum enim fugit magni nihil odit provident quaerat. Aliquid aspernatur eos esse magnam maiores necessitatibus, nulla?

Эта информация доступна зарегистрированным пользователям

На рисунке точка А соответствует изначальному состоянию и 10-ти градусам, а точка В соответствует состоянию, где температура на 5 градусов ниже. 

Сформулируем правило: чтобы вычесть из числа положительное число, необходимо найти точку с координатой, равной уменьшаемому, и отступить в сторону, противоположную направлению, на количество единичных отрезков, равное величине вычитаемого.

Посмотрим еще парочку примеров, чтобы точно понять, о чем говорится.

Вычтем из 7-ми 9 с помощью координатной прямой.

Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipisicing elit. Adipisci autem beatae consectetur corporis dolores ea, eius, esse id illo inventore iste mollitia nemo nesciunt nisi obcaecati optio similique tempore voluptate!

Adipisci alias assumenda consequatur cupiditate, ex id minima quam rem sint vitae? Animi dolores earum enim fugit magni nihil odit provident quaerat. Aliquid aspernatur eos esse magnam maiores necessitatibus, nulla?

Эта информация доступна зарегистрированным пользователям

Находим точку с координатой 7, это будет точка А. Теперь от нее в сторону от направления отступаем количество отрезков, соответствующее вычитаемому, то есть отступаем 9 единичных отрезков.

Попадаем в точку В с координатой \(\mathbf{-2}\).

\(\mathbf{-2}\) и является результатом вычитания из 7-ми 9-ти.

 Вычтем из 26 с помощью координатной прямой.

Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipisicing elit. Adipisci autem beatae consectetur corporis dolores ea, eius, esse id illo inventore iste mollitia nemo nesciunt nisi obcaecati optio similique tempore voluptate!

Adipisci alias assumenda consequatur cupiditate, ex id minima quam rem sint vitae? Animi dolores earum enim fugit magni nihil odit provident quaerat. Aliquid aspernatur eos esse magnam maiores necessitatibus, nulla?

Эта информация доступна зарегистрированным пользователям

Точно также первым делом мы отмечаем точку с координатой, равной уменьшаемому.

В данном случае это точка A с координатой 2.

Далее осознаем, что вычитаемое равно 6-ти и отступать надо будет на 6 единичных отрезков.

Помня, что мы делаем вычитание положительного числа, отступаем эти самые 6 единичных отрезков против направления координатной прямой.

И оказываемся в точке В с координатой \(\mathbf{-4}\).

Получается \(\mathbf{2-6=-4}\)

Как вы видите, вы нигде не использовали тот факт, что уменьшаемое положительно, а значит, тоже самое правило работает с нулем и отрицательными числами.

Посмотрим на следующем примере, вычтем из -3 4 с помощью координатной прямой.

Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipisicing elit. Adipisci autem beatae consectetur corporis dolores ea, eius, esse id illo inventore iste mollitia nemo nesciunt nisi obcaecati optio similique tempore voluptate!

Adipisci alias assumenda consequatur cupiditate, ex id minima quam rem sint vitae? Animi dolores earum enim fugit magni nihil odit provident quaerat. Aliquid aspernatur eos esse magnam maiores necessitatibus, nulla?

Эта информация доступна зарегистрированным пользователям

Отмечаем точку с координатой, равной уменьшаемому.

На рисунке это точка А с координатой -3.

Теперь мы отступаем от нее на 4 единичных отрезка против направления координатной прямой и приходим в точку В с координатой -7, что и является результатом вычитания.

Таким образом: \(\mathbf{-3-4=-7}\)

Теперь вы умеете прибавлять и вычитать положительные числа с помощью координатной прямой и сможете пройти следующий тест.

Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipisicing elit. Adipisci autem beatae consectetur corporis dolores ea, eius, esse id illo inventore iste mollitia nemo nesciunt nisi obcaecati optio similique tempore voluptate!

Adipisci alias assumenda consequatur cupiditate, ex id minima quam rem sint vitae? Animi dolores earum enim fugit magni nihil odit provident quaerat. Aliquid aspernatur eos esse magnam maiores necessitatibus, nulla?

Эта информация доступна зарегистрированным пользователям

Прибавление и вычитание отрицательных чисел с помощью координатной прямой

Сформулируем правила и рассмотрим их на примерах.

Чтобы прибавить к числу отрицательное число, нужно определить точку с координатой, равной первому слагаемому, а затем отступить от нее на число единичных отрезков, равное модулю второго слагаемого, против направления координатной прямой.

Пример: прибавим к 2-м \(\mathbf{-3}\)

Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipisicing elit. Adipisci autem beatae consectetur corporis dolores ea, eius, esse id illo inventore iste mollitia nemo nesciunt nisi obcaecati optio similique tempore voluptate!

Adipisci alias assumenda consequatur cupiditate, ex id minima quam rem sint vitae? Animi dolores earum enim fugit magni nihil odit provident quaerat. Aliquid aspernatur eos esse magnam maiores necessitatibus, nulla?

Эта информация доступна зарегистрированным пользователям

Отмечаем точку А с координатой 2, далее понимаем, на сколько нам надо отступить.

Модуль от \(\mathbf{-3}\) равен 3-м, значит, и отступать будем на 3 единичных отрезка.

Зная, что мы прибавляем отрицательное число, мы решаем, что отступать будем против направления координатной прямой.

Таким образом, мы приходим в точку В с координатой \(\mathbf{-1}\).

Получается \(\mathbf{2+(-3)=-1}\)

 Чтобы вычесть из числа отрицательное число, нужно определить точку с координатой, равной уменьшаемому, а затем отступить от нее на число единичных отрезков, равное модулю вычитаемого, по направлению координатной прямой.

Пример: вычтем из 3-х \(\mathbf{-4}\)

Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipisicing elit. Adipisci autem beatae consectetur corporis dolores ea, eius, esse id illo inventore iste mollitia nemo nesciunt nisi obcaecati optio similique tempore voluptate!

Adipisci alias assumenda consequatur cupiditate, ex id minima quam rem sint vitae? Animi dolores earum enim fugit magni nihil odit provident quaerat. Aliquid aspernatur eos esse magnam maiores necessitatibus, nulla?

Эта информация доступна зарегистрированным пользователям

Отмечаем точку А с координатой 3.

Модуль от \(\mathbf{-4}\) равняется 4-м, значит- отступаем на 4 единичных отрезка.

Так как мы делаем вычитание отрицательного числа, отступать будем по направлению координатной прямой.

Таким образом, оказываемся в точке В с координатой 7.

Имеем: \(\mathbf{3-(-4)=7}\)

Заметьте, что направления «сдвигов» в случае вычитания положительного числа и в случае прибавления отрицательного.

Также совпадают направления «сдвигов» между случаями прибавления положительного и вычитанием отрицательного.

Здесь мы наблюдаем, как последовательно записанные \(\mathbf{+}\) и \(\mathbf{-}\) превращаются в минус, причем вне зависимости от порядка, а записанные подряд два минуса эквивалентны плюсу.

Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipisicing elit. Adipisci autem beatae consectetur corporis dolores ea, eius, esse id illo inventore iste mollitia nemo nesciunt nisi obcaecati optio similique tempore voluptate!

Adipisci alias assumenda consequatur cupiditate, ex id minima quam rem sint vitae? Animi dolores earum enim fugit magni nihil odit provident quaerat. Aliquid aspernatur eos esse magnam maiores necessitatibus, nulla?

Эта информация доступна зарегистрированным пользователям

Можно интуитивно это понимать так:

Допустим мы хотим посчитать выражение \(\mathbf{2-(-3)}\)

Мы прочитали минус, обозначающий вычитание, и уже собираемся отступать против направления координатной прямой, потом мы видим, что число отрицательное, это меняет направление отступа, и таким образом, мы снова смотрим по направлению координатной прямой.

Сходу это может показаться не очень понятным, поэтому есть четко сформулированные формальные правила, которые всегда работают.

Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipisicing elit. Adipisci autem beatae consectetur corporis dolores ea, eius, esse id illo inventore iste mollitia nemo nesciunt nisi obcaecati optio similique tempore voluptate!

Adipisci alias assumenda consequatur cupiditate, ex id minima quam rem sint vitae? Animi dolores earum enim fugit magni nihil odit provident quaerat. Aliquid aspernatur eos esse magnam maiores necessitatibus, nulla?

Эта информация доступна зарегистрированным пользователям

Дополнительная информация

На уроках математики вы сталкиваетесь с числами и формулами. Это вызвано тем, что в первую очередь обычно изучают арифметику и алгебру.

Но есть еще один огромный и сложный раздел математики под названием математическая логика.

Мы не будет углубляться в него - получится слишком долгий рассказ. Но посмотрим на известнейшие парадоксы, которые заставляют математиков задумываться о правилах в логике.

Парадокс брадобрея: Брадобрей бреет всех, кто не бреется сам. Тогда вопрос, кто бреет брадобрея?

Парадоксальность в том, что мы можем рассмотреть все варианты ответа на вопрос и ни один из них не будет верным.

В данном случае, если брадобрей бреет себя сам, то это значит, что его бреет брадобрей, противоречие.

И наоборот, если брадобрей себя не бреет, значит, он не бреется сам и его бреет брадобрей - снова противоречие с изначальным предположением.

Перечислим еще некоторые парадоксы уже без разбора, но если Вы захотите, то довольно легко обнаружите, в чем их парадоксальность.

Парадокс лжеца: Скажите фразу «я вру». Будет ли это фраза правдой или ложью? 

Парадокс Эпименида: Эпинимид был критянином и говорил, что все критяне врут. Врал ли при этом он сам?

Парадокс Платона и Сократа: Платон сказал, что следующее высказывание Сократа будет ложным, после этого Сократ сказал, что Платон сказал правду. Кто из них врет, а кто нет?

В бесплатной версии урока недоступны:

  • Видео
  • Изображения
  • Дополнительная информация
  • Таблицы
  • Тесты
Получить доступ