Урок 13 Получить доступ за 75 баллов Сложение и вычитание смешанных чисел

В этом уроке мы научимся складывать два смешанных числа.

Также мы узнаем, как вычесть из одного смешанного числа другое, а еще разберемся со сложением и вычитанием десятичных дробей и смешанных чисел.

Для начала давайте вспомним само понятие смешанного числа.

Смешанное число - это такое число, которое состоит из целого числа и дробной части, выраженной в виде правильной дроби.

Для начала важно знать, как прибавлять к натуральному числу дробь.

Например, задача состоит в том, чтобы прибавить к числу 5 дробь \(\mathbf{\frac{2}{3}}\).

В этом случае результатом сложения будет по сути приписывание к натуральному числу дробной части, то есть \(\mathbf{5\frac{2}{3}}\)

Отдельно стоит отметить, что если дробь больше единицы, то есть неправильная, то после прибавления надо выделить целую часть.

Для этого надо поделить нацело числитель на знаменатель, частное прибавить к целой части, а остаток записать в дробную часть.

Рассмотрим такой пример:

\(\mathbf{6+\frac{4}{3}}\)

Для начала просто приписываем дробную часть:

\(\mathbf{6+\frac{4}{3}=6\frac{4}{3}}\)

4 при делении на 3 дает частное 1 и остаток, тоже равный 1.

Тогда по описанному алгоритму новая целая часть будет равна 7, а дробная \(\mathbf{\frac{1}{3}}\):

\(\mathbf{6\frac{4}{3}=7\frac{1}{3}}\)

Примеры:

\(\mathbf{5+\frac{2}{5}=5\frac{2}{5}}\)

\(\mathbf{3+\frac{7}{4}=3\frac{7}{4}=4\frac{3}{4}}\)

Представим, что надо сложить два смешанных числа: \(\mathbf{5\frac{1}{3}}\) и \(\mathbf{2\frac{2}{5}}\).

Алгоритм заключается в том, чтобы работать с целой и дробной частью смешанных чисел по отдельности.

Сначала сложим целые части: 5 и 2 в сумме дают 7.

Дробные части \(\mathbf{\frac{1}{3}}\) и \(\mathbf{\frac{4}{5}}\) сложим, как в предыдущем уроке: найдем наименьшее общее кратное чисел 3 и 5 -им будет являться число 15 - и домножим числители дробей на недостающие множители:

1 домножим на 5

4 домножим на 3

Получилась сумма, равная \(\mathbf{\frac{17}{15}}\)

\(\mathbf{\frac{1}{3}+\frac{4}{5}=\frac{1\cdot5}{3\cdot5}+\frac{4\cdot3}{5\cdot3}=\frac{5}{15}+\frac{12}{15}=\frac{17}{15}}\)

Теперь прибавим к ней сумму целых частей и получим ответ на этот пример:

\(\mathbf{7+\frac{17}{15}=7\frac{17}{15}}\)

Остается избавиться от появившейся в дробной части неправильной дроби: поделим 17 нацело на 15, частное прибавим к целой части, остаток запишем в числителе дробной части:

\(\mathbf{7\frac{17}{15}=8\frac{2}{15}}\)

На основе проделанных действий, сформулируем алгоритм сложения двух смешанных чисел.

Алгоритм:

1. складываем целые части чисел
2. складываем дробные части чисел
3. складываем полученные результаты
4. если надо, сокращаем дробную часть, если необходимо, делаем число правильным

Примеры:

\(\mathbf{3\frac{3}{8}+2\frac{5}{6}=(3+2)+(\frac{3}{8}+\frac{5}{6})=5+(\frac{3\cdot3}{8\cdot3}+\frac{5\cdot4}{6\cdot4})=5+(\frac{9}{24}+\frac{20}{24})=5+\frac{29}{24}=5\frac{29}{24}=6\frac{5}{24}}\)

\(\mathbf{4\frac{3}{7}+7\frac{2}{9}=(4+7)+(\frac{3}{7}+\frac{2}{9})=(4+7)+(\frac{3\cdot9}{7\cdot9}+\frac{2\cdot7}{9\cdot7})=11+(\frac{27}{63}+\frac{14}{63})=11+\frac{27+14}{63}=11+\frac{41}{63}=11\frac{41}{63}}\)

Теперь рассмотрим два более простых случая.

В этом случае у одного из чисел нет целой части и надо просто сложить дробные части, а результат этого сложения прибавить к целой части того числа, у которого она есть.

Например, нам надо сложить \(\mathbf{5\frac{1}{6}}\) и \(\mathbf{\frac{2}{3}}\)

Сумма дробных частей будет равна \(\mathbf{\frac{5}{6}}\):

\(\mathbf{\frac{1}{6}+\frac{2}{3}=\frac{1}{6}+\frac{4}{6}=\frac{5}{6}}\)

Дальше прибавляем полученную сумму к имеющейся целой части:

\(\mathbf{5+\frac{5}{6}=5\frac{5}{6}}\)

Пример:

\(\mathbf{4\frac{1}{7}+\frac{5}{6}=4+(\frac{1}{7}+\frac{5}{6})=4+(\frac{1\cdot6}{7\cdot6}+\frac{5\cdot7}{6\cdot7})=4+(\frac{6}{42}+\frac{35}{42})=4+\frac{41}{42}=4\frac{41}{42}}\)

Здесь все делается аналогично: разбиваем смешанное число на целочисленную часть и дробную.

Целую часть складываем с натуральным числом.

К полученному результату прибавляем дробную часть от смешанного числа.

Пример:

\(\mathbf{7\frac{2}{3}+2=(7+2)+\frac{2}{3}=9+\frac{2}{3}=9\frac{2}{3}}\)

После того, как мы разобрались со сложением смешанных чисел, возникает естественное любопытство: как делать вычитание смешанных чисел.

Разберемся с этим.

Вычитание смешанных чисел можно разделить на два случая: в одном дробная часть уменьшаемого больше или равна дробной части вычитаемого, во втором наоборот.

Рассмотрим первый случай.

Допустим, мы хотим вычесть из числа \(\mathbf{6\frac{3}{4}}\) число \(\mathbf{2\frac{2}{3}}\)

Как и в случае со сложением, будем отдельно работать с целыми и дробными частями смешанного числа.

Вычтем из целой части первого числа - 6 целую часть второго - 2, получим 4.

Теперь вычтем из дробной части первого числа- \(\mathbf{\frac{3}{4}}\) дробную часть второго- \(\mathbf{\frac{2}{3}}\).

Делаем это по уже знакомому алгоритму вычитания дробей:

1. находим наименьшее общее кратное знаменателей - 12
2. домножаем числитель и знаменатель первой дроби на дополнительный множитель 3, второй дроби - на 4
3. вычитаем из числителя первой дроби числитель второй

Получаем \(\mathbf{\frac{1}{12}}\).

Осталось сложить результат действий над целыми и дробными частями.

\(\mathbf{4+\frac{1}{12}=4\frac{1}{12}}\)

Это и есть решение нашего примера.

Во втором случае (когда дробная часть первого числа меньше дробной части второго числа) перед тем как выполнять алгоритм, для дробной части первого числа необходимо «занять» единицу из целой части.

Например, мы хотим вычесть из числа \(\mathbf{3\frac{1}{3}}\) число \(\mathbf{1\frac{2}{3}}\).

Тогда уменьшим целую часть первого числа на единицу, а к числителю прибавим знаменатель.

\(\mathbf{3\frac{1}{3}=2\frac{1+3}{3}=2\frac{4}{3}}\)

Дальше проделаем все шаги, что описаны выше:

1. вычитаем из целой части первого числа целую часть второго числа
2. вычитаем из дробной части первого числа дробную часть второго числа
3. складываем результаты этих двух действий

\(\mathbf{2\frac{4}{3}-1\frac{2}{3}=(2-1)+(\frac{4}{3}-\frac{2}{3})=1+\frac{2}{3}=1\frac{2}{3}}\)

Подведем итог проделанным действиям и сформулируем алгоритм:

1. если дробная часть первого числа меньше дробной части второго числа, «занимаем» единицу в первом слагаемом
2. считаем разность целых частей
3. считаем разность дробных частей
4. складываем результаты
5. если необходимо, сокращаем дробную часть, выделяем целую часть из дробной

Примеры:

\(\mathbf{9\frac{3}{8}-8\frac{5}{9}=8\frac{11}{8}-8\frac{5}{9}=(8-8)+(\frac{11}{8}-\frac{5}{9})=0+(\frac{11\cdot9}{8\cdot9}-\frac{5\cdot8}{9\cdot8})=\frac{99}{72}-\frac{40}{72}=\frac{59}{72}}\)

\(\mathbf{7\frac{1}{3}-3\frac{4}{8}=6\frac{4}{3}-3\frac{1}{2}=(6-3)+(\frac{4}{3}-\frac{1}{2})=3+(\frac{4\cdot2}{3\cdot2}-\frac{1\cdot3}{2\cdot3})=3+(\frac{8}{6}-\frac{3}{6})=3+\frac{5}{6}=3\frac{5}{6}}\)

Первый пример иллюстрирует случай, когда надо «занимать» единицу в уменьшаемом.

Также он показывает, что если целые части получились одинаковыми, то целая часть результата будет отсутствовать.

Второй пример наглядно объясняет, почему имеет смысл сначала упростить дроби (в данном случае вторую), а потом уже считать результат операций.

В реальной жизни часто приходиться работать с десятичными дробями (цены в магазинах, измерение массы, расстояний).

Соответственно, бывают и случаи, когда нужно оперировать одновременно смешанными числами и десятичными дробями (вычесть из двух третей имеющихся денег стоимость товара и посмотреть что останется).

Давайте узнаем, как это делается.

Заметим, что десятичные дроби легко представимы в виде смешанных чисел со знаменателем дробной части, равным 1, с количеством нулей равным количеству знаков после запятой.

Примеры:

\(\mathbf{1.1=1\frac{1}{10}}\)

\(\mathbf{5.4=5\frac{4}{10}}\)

\(\mathbf{3.66=3\frac{66}{100}}\)

\(\mathbf{3.1415=3\frac{1415}{10000}}\)

Для действий между десятичными дробями и смешанными числами мы будем переводить десятичную дробь в смешанное число и пользоваться алгоритмами, рассмотренными выше.

Примеры:

\(\mathbf{1.1+2\frac{2}{3}=1\frac{1}{10}+2\frac{2}{3}=1\frac{1\cdot3}{10\cdot3}+2\frac{2\cdot10}{3\cdot10}=1\frac{3}{30}+2\frac{20}{30}=(1+2)+(\frac{3}{30}+\frac{20}{30})=3+\frac{23}{30}=3\frac{23}{30}}\)

\(\mathbf{7\frac{3}{5}-3.7=7\frac{3}{5}-3\frac{7}{10}=7\frac{3\cdot2}{5\cdot2}-3\frac{7}{10}=7\frac{6}{10}-3\frac{7}{10}=6\frac{16}{10}-3\frac{7}{10}=(6-3)+(\frac{16}{10}-\frac{7}{10})=3+\frac{9}{10}=3\frac{9}{10}}\)

Одной из первой книг, которая учила работать с дробными и смешанными числами, был трактат «Liber abaci» Леонардо Пизанского (также известного как Фибоначчи), изданный в 1202 г.

Отец юного Леонардо служил таможенником в Африке и взял своего сына с собой, чтобы тот учился считать.

Надо отметить, что тогда в Европе применялась римская система счисления, а в Африке знакомая нам десятичная. Она так понравилась ученому, что тот решил узнать как можно больше о ней в разных странах: Египте, Сирии, Греции, Сицилии.

После своего путешествия Леонардо убедился в совершенности этой системы, собрав достаточно знаний.

Добавив свои личные исследования, Фибоначчи приступил к написанию книги, которая во многом опередила свое время и значительно способствовала углублению познаний в математической науке.

Книга была не просто еще одной работой философа для других философов, она была прикладным пособием для купцов, продавцов, счетоводов, государственных служащих и так далее.

В трактате описанные задачи оказались настолько актуальными, что их или их аналоги можно было встретить в «Сумме арифметики» Пачиоли (1494), и в «Приятных и занимательных задачах» Баше де Мизириака (1612), и в «Арифметике» Магницкого (1703), и даже в«Алгебре» Эйлера (1768).