Урок 12 Получить доступ за 75 баллов Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями

В этом уроке мы разберем, как складывать и вычитать обыкновенные дроби, а также узнаем, как складывать и вычитать обыкновенные дроби и десятичные.

Для начала необходимо разобрать простейший случай, в котором у дробей одинаковый знаменатель.

Интуитивно понятно, что если сложить \(\mathbf{\frac{1}{3}}\) и \(\mathbf{\frac{1}{3}}\), то получится \(\mathbf{\frac{2}{3}}\)

Собственно, так оно и есть на самом деле.

Правило: результатом сложения двух дробей с одинаковым знаменателем будет являться дробь, где знаменатель будет такой же, как у слагаемых, а числитель равен сумме числителей слагаемых.

Также нередко может получиться сократимая дробь, в таких случаях необходимо сократить числитель и знаменатель.

Пример 1

Необходимо сложить \(\mathbf{\frac{3}{5}}\) и \(\mathbf{\frac{1}{5}}\)

Ответом будет дробь, где числитель будет таким же, как и у данных дробей, то есть 5.

В числитель результата же запишем сумму числителей данных дробей, то есть сумму 3 и 1.

\(\mathbf{\frac{3}{5}+\frac{1}{5}=\frac{3+1}{5}=\frac{4}{5}}\)

В данном случае получилась несократимая дробь, значит, это и есть окончательный ответ.

Пример 2

Необходимо сложить \(\mathbf{\frac{1}{12}}\) и \(\mathbf{\frac{3}{12}}\)

Также идем по алгоритму, в ответ пишем дробь, знаменатель которой равен 12, а в числитель пишем сумму числителей исходных дробей, то есть сумму 1 и 3.

\(\mathbf{\frac{1}{12}+\frac{3}{12}=\frac{1+3}{12}=\frac{4}{12}}\)

В данном случае получилась дробь, у числителя и знаменателя которой есть общий множитель - 4.

В таком случае необходимо на него сократить.

\(\mathbf{\frac{4}{12}=\frac{1\cdot4}{3\cdot4}=\frac{1}{3}}\)

Теперь дробь несократимая, значит, она и будет ответом.

Перейдем к вычитанию.

Оно в данном случае, то есть когда знаменатели равны, работает также просто.

Также представим, что у нас есть \(\mathbf{\frac{2}{3}}\) и надо вычесть \(\mathbf{\frac{1}{3}}\), очевидно, что результат будет равняться \(\mathbf{\frac{1}{3}}\).

Зафиксируем правило: результатом вычитания из одной дроби другой при условии, что знаменатели у них равны, будет дробь, числитель которой будет равняться разности числителей дробей, а знаменатель равен знаменателям этих самых дробей.

И так же, как и в случае со сложением, если получилась сократимая дробь, надо выполнить ее сокращение.

Пример 3

Допустим, надо вычесть из \(\mathbf{\frac{5}{17}}\) \(\mathbf{\frac{2}{17}}\)

Вспоминаем алгоритм.

В дроби, которая будет являться ответом, знаменатель равен знаменателю дробей из условия, то есть 17.

В числителе будет разность числителей дробей из условия, то есть разность 5 и 2.

\(\mathbf{\frac{5}{17}-\frac{2}{17}=\frac{5-2}{17}=\frac{3}{17}}\)

Дробь несократимая, значит, ответ получен.

Итак, переходим к более интересной части.

Сложение и вычитания дробей с разными знаменателями происходит в два этапа.

На первом этапе необходимо привести дроби к общему знаменателю.

Это уже разбиралось ранее, но лучше кратко повторим.

Чтобы привести дроби к общем знаменателю надо их домножить.

Для этого надо найти наименьшее общее кратное знаменателей этих дробей.

Дальше найти дополнительный множитель для каждой из них.

Он равен частному наименьшего общего кратного и знаменателя.

А далее необходимо домножить каждую из дробей на соответствующий ей дополнительный множитель.

 После этих действий мы получаем две дроби с одинаковыми знаменателями и можем выполнять операции согласно алгоритму из предыдущей части.

Посмотрим на примерах, как это работает.

Пример 1

Выполним сложение \(\mathbf{\frac{1}{2}}\) и \(\mathbf{\frac{1}{3}}\)

Как мы сказали выше, сначала надо примести дроби к общему знаменателю.

Наименьшим общим кратным 2 и 3 будет 6, значит, дополнительный множитель для первой дроби равен 3 (\(\mathbf{6:2=3}\)), для второй дроби дополнительный множитель будет равен 2    (\(\mathbf{6:3=2}\)).

Домножим первую дробь на ее дополнительный множитель.

\(\mathbf{\frac{1}{2}\cdot3=\frac{1\cdot3}{2\cdot3}=\frac{3}{6}}\)

Теперь домножим на дополнительный множитель вторую дробь.

\(\mathbf{\frac{1}{3}\cdot2=\frac{1\cdot2}{3\cdot2}=\frac{2}{6}}\)

Теперь имеем две дроби с одинаковым знаменателем, затем складываем их по алгоритму сложения дробей с одинаковыми знаменателями.

\(\mathbf{\frac{3}{6}+\frac{2}{6}=\frac{3+2}{6}=\frac{5}{6}}\)

Опять же смотрим, является ли дробь несократимой.

В этом случае это так, значит это и есть ответ.

Пример 2

Вычтем из \(\mathbf{\frac{3}{4}}\) \(\mathbf{\frac{1}{6}}\)

Как и в прошлый раз, начнем с нахождения общего знаменателя.

Наименьшее общее кратное 4 и 6 равняется 12.

Дополнительный множитель первой дроби равен 3: \(\mathbf{12:4=3}\)

Дополнительный множитель второй дроби равняется 2: \(\mathbf{12:6=2}\)

Домножаем первую дробь на ее дополнительный множитель:

\(\mathbf{\frac{3}{4}\cdot\frac{3}{3}=\frac{3\cdot3}{4\cdot3}=\frac{9}{12}}\)

Далее домножаем вторую дробь:

\(\mathbf{\frac{1}{6}\cdot2=\frac{1\cdot2}{6\cdot2}=\frac{2}{12}}\)

И делаем собственно само вычитание из одной дроби другой:

\(\mathbf{\frac{9}{12}-\frac{2}{12}=\frac{9-2}{12}=\frac{7}{12}}\)

Снова проверяем: дробь не является сократимой, значит, это ответ.

Теперь посмотрим, как складывать и вычитать обыкновенный дроби и десятичные дроби.

Здесь также добавляется в начало алгоритма еще один этап: перевод десятичной дроби в обыкновенную дробь.

Делается это довольно легко. Посмотрим как именно.

Для начала надо переписать исходную дробь в новую дробь, где в числителе будет десятичная дробь, а в знаменателе единица:

\(\mathbf{0.01=\frac{0.01}{1}}\)    \(\mathbf{0.3=\frac{0.3}{1}}\)

А дальше просто домножаем числитель и знаменатель дроби на 10, пока числитель не станет больше либо равен единице:

\(\mathbf{\frac{0.01}{1}=\frac{0.01\cdot10}{1\cdot10}=\frac{0.1}{10}=\frac{0.1\cdot10}{10\cdot10}=\frac{1}{100}}\)

\(\mathbf{\frac{0.3}{1}=\frac{0.3\cdot10}{1\cdot10}=\frac{3}{10}}\)

Как видите, все довольно просто.

Дальше можно считать суммы и разности с полученными обыкновенными дробями так же, как мы это делали ранее.

Посмотрим на примерах.

Пример 1

Посчитайте разность \(\mathbf{\frac{1}{3}-0.1}\):

Для начала надо перевести десятичную дробь в обыкновенную:

\(\mathbf{0.1=\frac{0.1}{1}=\frac{0.1\cdot10}{1\cdot10}=\frac{1}{10}}\)

Теперь надо привести дроби к общему знаменателю

\(\mathbf{\frac{1}{3}-\frac{1}{10}=\frac{1\cdot10}{3\cdot10}-\frac{1\cdot3}{10\cdot3}=\frac{10}{30}-\frac{3}{30}=\frac{10-3}{30}=\frac{7}{30}}\)

Проверяем, что дробь нельзя сократить и приходим к выводу, что это ответ.

Пример 2

Посчитайте сумму \(\mathbf{0.4+\frac{1}{4}}\)

Опять же, переводим десятичную дробь в обыкновенную:

\(\mathbf{0.4=\frac{0.4}{1}=\frac{0.4\cdot10}{1\cdot10}=\frac{4}{10}}\)

Мы специально не сокращаем дробь, чтобы, если понадобиться домножать в дальнейшем на 2, не пришлось делать лишних действий.

Далее приводим дроби к общему знаменателю и считаем сумму:

\(\mathbf{\frac{4}{10}+\frac{1}{4}=\frac{4\cdot2}{10\cdot2}+\frac{1\cdot5}{4\cdot5}=\frac{8}{20}+\frac{5}{20}=\frac{8+5}{20}=\frac{13}{20}}\)

Это и есть нужная нам сумма.

Сегодня мы затронули тему десятичных дробей.

Познакомимся же не только с тем, как с ними работать, но и с их историей.

Изначально десятичные дроби были тесно связаны с метрологией - наукой о системах измерения (важно не путать с метеорологией).

Это вполне логично, ведь если есть 10 метров, есть 1 метр, то, значит, есть и 0.1 метра.

Десятичная система мер появилась примерно во II веке нашей эры.

Правила работы с десятичными дробями людям скорее всего стали понятны почти сразу, но самые ранние, о которых можно сказать точно, вывел Джемшид ибн Масуд аль-Каши, живший в XV веке в Самарканде (в настоящие время это город в Узбекистане, но тогда это была часть Империи Тимуридов).

Отличие от современных десятичных дробей было в знаке, отделяющем целую часть от дробной: сейчас это точка или запятая, тогда это была вертикальная черта.

Точку или запятую стали использовать уже позже, примерно с XVII века.

В таком виде десятичные дроби и дошли до наших дней.