Урок 12 Получить доступ за 50 баллов Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями

В этом уроке мы разберем, как складывать и вычитать обыкновенные дроби, а также узнаем, как складывать и вычитать обыкновенные дроби и десятичные.

Сложение и вычитание дробей

Для начала необходимо разобрать простейший случай, в котором у дробей одинаковый знаменатель.

Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipisicing elit. Adipisci autem beatae consectetur corporis dolores ea, eius, esse id illo inventore iste mollitia nemo nesciunt nisi obcaecati optio similique tempore voluptate!

Adipisci alias assumenda consequatur cupiditate, ex id minima quam rem sint vitae? Animi dolores earum enim fugit magni nihil odit provident quaerat. Aliquid aspernatur eos esse magnam maiores necessitatibus, nulla?

Эта информация доступна зарегистрированным пользователям

Интуитивно понятно, что если сложить \(\mathbf{\frac{1}{3}}\) и \(\mathbf{\frac{1}{3}}\), то получится \(\mathbf{\frac{2}{3}}\)

Собственно, так оно и есть на самом деле.

Правило: результатом сложения двух дробей с одинаковым знаменателем будет являться дробь, где знаменатель будет такой же, как у слагаемых, а числитель равен сумме числителей слагаемых.

Также нередко может получиться несократимая дробь, в таких случаях необходимо сократить числитель и знаменатель.

Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipisicing elit. Adipisci autem beatae consectetur corporis dolores ea, eius, esse id illo inventore iste mollitia nemo nesciunt nisi obcaecati optio similique tempore voluptate!

Adipisci alias assumenda consequatur cupiditate, ex id minima quam rem sint vitae? Animi dolores earum enim fugit magni nihil odit provident quaerat. Aliquid aspernatur eos esse magnam maiores necessitatibus, nulla?

Эта информация доступна зарегистрированным пользователям

Пример 1

Необходимо сложить \(\mathbf{\frac{3}{5}}\) и \(\mathbf{\frac{1}{5}}\)

Ответом будет дробь, где числитель будет таким же, как и у данных дробей, то есть 5.

В числитель результата же запишем сумму числителей данных дробей, то есть сумму 3 и 1.

\(\mathbf{\frac{3}{5}+\frac{1}{5}=\frac{3+1}{5}=\frac{4}{5}}\)

В данном случае получилась несократимая дробь, значит, это и есть окончательный ответ.

 

Пример 2

Необходимо сложить \(\mathbf{\frac{1}{12}}\) и \(\mathbf{\frac{3}{12}}\)

Также идем по алгоритму, в ответ пишем дробь, знаменатель которой равен 12, а в числитель пишем сумму числителей исходных дробей, то есть сумму 1 и 3.

\(\mathbf{\frac{1}{12}+\frac{3}{12}=\frac{1+3}{12}=\frac{4}{12}}\)

В данном случае получилась дробь, у числителя и знаменателя которой есть общий множитель - 4.

В таком случае необходимо на него сократить.

\(\mathbf{\frac{4}{12}=\frac{1\cdot4}{3\cdot4}=\frac{1}{4}}\)

Теперь дробь несократимая, значит, она и будет ответом.

 

Перейдем к вычитанию.

Оно в данном случае, то есть когда знаменатели равны, работает также просто.

Также представим, что у нас есть \(\mathbf{\frac{2}{3}}\) и надо вычесть \(\mathbf{\frac{1}{3}}\), очевидно, что результат будет равняться \(\mathbf{\frac{1}{3}}\).

Зафиксируем правило: результатом вычитания из одной дроби другой при условии, что знаменатели у них равны, будет дробь, числитель которой будет равняться разности числителей дробей, а знаменатель равен знаменателям этих самых дробей.

И так же, как и в случае со сложением, если получилась сократимая дробь, надо выполнить ее сокращение.

Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipisicing elit. Adipisci autem beatae consectetur corporis dolores ea, eius, esse id illo inventore iste mollitia nemo nesciunt nisi obcaecati optio similique tempore voluptate!

Adipisci alias assumenda consequatur cupiditate, ex id minima quam rem sint vitae? Animi dolores earum enim fugit magni nihil odit provident quaerat. Aliquid aspernatur eos esse magnam maiores necessitatibus, nulla?

Эта информация доступна зарегистрированным пользователям

Пример 3

Допустим, надо вычесть из \(\mathbf{\frac{5}{17}}\) \(\mathbf{\frac{2}{17}}\)

Вспоминаем алгоритм.

В дроби, которая будет являться ответом, знаменатель равен знаменателю дробей из условия, то есть 17.

В числителе будет разность числителей дробей из условия, то есть разность 5 и 2.

\(\mathbf{\frac{5}{17}-\frac{2}{17}=\frac{5-2}{17}=\frac{3}{17}}\)

Дробь несократимая, значит, ответ получен.

Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipisicing elit. Adipisci autem beatae consectetur corporis dolores ea, eius, esse id illo inventore iste mollitia nemo nesciunt nisi obcaecati optio similique tempore voluptate!

Adipisci alias assumenda consequatur cupiditate, ex id minima quam rem sint vitae? Animi dolores earum enim fugit magni nihil odit provident quaerat. Aliquid aspernatur eos esse magnam maiores necessitatibus, nulla?

Эта информация доступна зарегистрированным пользователям

Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями

Итак, переходим к более интересной части.

Сложение и вычитания дробей с разными знаменателями происходит в два этапа.

На первом этапе необходимо привести дроби к общему знаменателю.

Это уже разбиралось ранее, но лучше кратко повторим.

Чтобы привести дроби к общем знаменателю надо их домножить.

Для этого надо найти наименьшее общее кратное знаменателей этих дробей.

Дальше найти дополнительный множитель для каждой из них.

Он равен частному наименьшего общего кратного и знаменателя.

А далее необходимо домножить каждую из дробей на соответствующий ей дополнительный множитель.

 После этих действий мы получаем две дроби с одинаковыми знаменателями и можем выполнять операции согласно алгоритму из предыдущей части.

Посмотрим на примерах, как это работает.

 

Пример 1

Выполним сложение \(\mathbf{\frac{1}{2}}\) и \(\mathbf{\frac{1}{3}}\)

Как мы сказали выше, сначала надо примести дроби к общему знаменателю.

Наименьшим общим кратным 2 и 3 будет 6, значит, дополнительный множитель для первой дроби равен (\(\mathbf{6:2=3}\)), для второй дроби дополнительный множитель будет равен 2    (\(\mathbf{6:3=2}\)).

Домножим первую дробь на ее дополнительный множитель.

\(\mathbf{\frac{1}{2}\cdot3=\frac{1\cdot3}{2\cdot3}=\frac{3}{6}}\)

Теперь домножим на дополнительный множитель вторую дробь.

\(\mathbf{\frac{1}{3}\cdot2=\frac{1\cdot2}{3\cdot2}=\frac{2}{6}}\)

Теперь имеем две дроби с одинаковым знаменателем, затем складываем их по алгоритму сложения дробей с одинаковыми знаменателями.

\(\mathbf{\frac{3}{6}+\frac{2}{6}=\frac{3+2}{6}=\frac{5}{6}}\)

Опять же смотрим, является ли дробь несократимой.

В этом случае это так, значит это и есть ответ.

 

Пример 2

Вычтем из \(\mathbf{\frac{3}{4}}\) \(\mathbf{\frac{1}{6}}\)

Как и в прошлый раз, начнем с нахождения общего знаменателя.

Наименьшее общее кратное 4 и 6 равняется 12.

Дополнительный множитель первой дроби равен 3: \(\mathbf{12:4=3}\)

Дополнительный множитель второй дроби равняется 4: \(\mathbf{12:6=2}\)

Домножаем первую дробь на ее дополнительный множитель:

\(\mathbf{\frac{3}{4}\cdot3=\frac{3\cdot3}{4\cdot3}=\frac{9}{12}}\)

Далее домножаем вторую дробь:

\(\mathbf{\frac{1}{6}\cdot2=\frac{1\cdot2}{6\cdot2}=\frac{2}{12}}\)

И делаем собственно само вычитание из одной дроби другой:

\(\mathbf{\frac{9}{12}-\frac{2}{12}=\frac{9-2}{12}=\frac{7}{12}}\)

Снова проверяем: дробь не является сократимой, значит, это ответ.

Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipisicing elit. Adipisci autem beatae consectetur corporis dolores ea, eius, esse id illo inventore iste mollitia nemo nesciunt nisi obcaecati optio similique tempore voluptate!

Adipisci alias assumenda consequatur cupiditate, ex id minima quam rem sint vitae? Animi dolores earum enim fugit magni nihil odit provident quaerat. Aliquid aspernatur eos esse magnam maiores necessitatibus, nulla?

Эта информация доступна зарегистрированным пользователям

Действия между обыкновенными и десятичными дробями

Теперь посмотрим, как складывать и вычитать обыкновенный дроби и десятичные дроби.

Здесь также добавляется в начало алгоритма еще один этап: перевод десятичной дроби в обыкновенную дробь.

 

Делается это довольно легко. Посмотрим как именно.

Для начала надо переписать исходную дробь в новую дробь, где в числителе будет десятичная дробь, а в знаменателе единица:

\(\mathbf{0.01=\frac{0.01}{1}}\)    \(\mathbf{0.3=\frac{0.3}{1}}\)

А дальше просто домножаем числитель и знаменатель дроби на 10, пока числитель не станет больше либо равен единице:

\(\mathbf{\frac{0.01}{1}=\frac{0.01\cdot10}{1\cdot10}=\frac{0.1}{10}=\frac{0.1\cdot10}{10\cdot10}=\frac{1}{100}}\)

\(\mathbf{\frac{0.3}{1}=\frac{0.3\cdot10}{1\cdot10}=\frac{3}{10}}\)

Как видите, все довольно просто.

Дальше можно считать суммы и разности с полученными обыкновенными дробями так же, как мы это делали ранее.

Посмотрим на примерах.

 

Пример 1

Посчитайте разность \(\mathbf{\frac{1}{3}-0.1}\):

Для начала надо перевести десятичную дробь в обыкновенную:

\(\mathbf{0.1=\frac{0.1}{1}=\frac{0.1\cdot10}{1\cdot10}=\frac{1}{10}}\)

Теперь надо привести дроби к общему знаменателю

\(\mathbf{\frac{1}{3}-\frac{1}{10}=\frac{1\cdot10}{3\cdot10}-\frac{1\cdot3}{10\cdot3}=\frac{10}{30}-\frac{3}{30}=\frac{10-3}{30}=\frac{7}{30}}\)

Проверяем, что дробь нельзя сократить и приходим к выводу, что это ответ.

 

Пример 2

Посчитайте сумму \(\mathbf{0.4+\frac{1}{4}}\)

Опять же, переводим десятичную дробь в обыкновенную:

\(\mathbf{0.4=\frac{0.4}{1}=\frac{0.4\cdot10}{1\cdot10}=\frac{4}{10}}\)

Мы специально не сокращаем дробь, чтобы, если понадобиться домножать в дальнейшем на 2, не пришлось делать лишних действий.

Далее приводим дроби к общему знаменателю и считаем сумму:

\(\mathbf{\frac{4}{10}+\frac{1}{4}=\frac{4\cdot2}{10\cdot2}+\frac{1\cdot5}{4\cdot5}=\frac{8}{20}+\frac{5}{20}=\frac{8+5}{20}=\frac{13}{20}}\)

Это и есть нужная нам сумма.

Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipisicing elit. Adipisci autem beatae consectetur corporis dolores ea, eius, esse id illo inventore iste mollitia nemo nesciunt nisi obcaecati optio similique tempore voluptate!

Adipisci alias assumenda consequatur cupiditate, ex id minima quam rem sint vitae? Animi dolores earum enim fugit magni nihil odit provident quaerat. Aliquid aspernatur eos esse magnam maiores necessitatibus, nulla?

Эта информация доступна зарегистрированным пользователям

Интересная информация

Сегодня мы затронули тему десятичных дробей.

Познакомимся же не только с тем, как с ними работать, но и с их историей.

Изначально десятичные дроби были тесно связаны с метрологией - наукой о системах измерения (важно не путать с метеорологией).

Это вполне логично, ведь если есть 10 метров, есть 1 метр, то, значит, есть и 0.1 метра.

Десятичная система мер появилась примерно во II веке нашей эры.

Правила работы с десятичными дробями людям скорее всего стали понятны почти сразу, но самые ранние, о которых можно сказать точно, вывел Джемшид ибн Масуд аль-Каши, живший в XV веке в Самарканде (в настоящие время это город в Узбекистане, но тогда это была часть Империи Тимуридов).

Отличие от современных десятичных дробей было в знаке, отделяющем целую часть от дробной: сейчас это точка или запятая, тогда это была вертикальная черта.

Точку или запятую стали использовать уже позже, примерно с XVII века.

В таком виде десятичные дроби и дошли до наших дней.

В бесплатной версии урока недоступны:

  • Видео
  • Изображения
  • Дополнительная информация
  • Таблицы
  • Тесты
Получить доступ