Урок 12 Получить доступ за 0 баллов Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями
В этом уроке мы разберем, как складывать и вычитать обыкновенные дроби, а также узнаем, как складывать и вычитать обыкновенные дроби и десятичные.
Сложение и вычитание дробей
Для начала необходимо разобрать простейший случай, в котором у дробей одинаковый знаменатель.
Интуитивно понятно, что если сложить \(\mathbf{\frac{1}{3}}\) и \(\mathbf{\frac{1}{3}}\), то получится \(\mathbf{\frac{2}{3}}\)
Собственно, так оно и есть на самом деле.
Правило: результатом сложения двух дробей с одинаковым знаменателем будет являться дробь, где знаменатель будет такой же, как у слагаемых, а числитель равен сумме числителей слагаемых.
Также нередко может получиться сократимая дробь, в таких случаях необходимо сократить числитель и знаменатель.
Пример 1
Необходимо сложить \(\mathbf{\frac{3}{5}}\) и \(\mathbf{\frac{1}{5}}\)
Ответом будет дробь, где числитель будет таким же, как и у данных дробей, то есть 5.
В числитель результата же запишем сумму числителей данных дробей, то есть сумму 3 и 1.
\(\mathbf{\frac{3}{5}+\frac{1}{5}=\frac{3+1}{5}=\frac{4}{5}}\)
В данном случае получилась несократимая дробь, значит, это и есть окончательный ответ.
Пример 2
Необходимо сложить \(\mathbf{\frac{1}{12}}\) и \(\mathbf{\frac{3}{12}}\)
Также идем по алгоритму, в ответ пишем дробь, знаменатель которой равен 12, а в числитель пишем сумму числителей исходных дробей, то есть сумму 1 и 3.
\(\mathbf{\frac{1}{12}+\frac{3}{12}=\frac{1+3}{12}=\frac{4}{12}}\)
В данном случае получилась дробь, у числителя и знаменателя которой есть общий множитель - 4.
В таком случае необходимо на него сократить.
\(\mathbf{\frac{4}{12}=\frac{1\cdot4}{3\cdot4}=\frac{1}{3}}\)
Теперь дробь несократимая, значит, она и будет ответом.
Перейдем к вычитанию.
Оно в данном случае, то есть когда знаменатели равны, работает также просто.
Также представим, что у нас есть \(\mathbf{\frac{2}{3}}\) и надо вычесть \(\mathbf{\frac{1}{3}}\), очевидно, что результат будет равняться \(\mathbf{\frac{1}{3}}\).
Зафиксируем правило: результатом вычитания из одной дроби другой при условии, что знаменатели у них равны, будет дробь, числитель которой будет равняться разности числителей дробей, а знаменатель равен знаменателям этих самых дробей.
И так же, как и в случае со сложением, если получилась сократимая дробь, надо выполнить ее сокращение.
Пример 3
Допустим, надо вычесть из \(\mathbf{\frac{5}{17}}\) \(\mathbf{\frac{2}{17}}\)
Вспоминаем алгоритм.
В дроби, которая будет являться ответом, знаменатель равен знаменателю дробей из условия, то есть 17.
В числителе будет разность числителей дробей из условия, то есть разность 5 и 2.
\(\mathbf{\frac{5}{17}-\frac{2}{17}=\frac{5-2}{17}=\frac{3}{17}}\)
Дробь несократимая, значит, ответ получен.
Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями
Итак, переходим к более интересной части.
Сложение и вычитания дробей с разными знаменателями происходит в два этапа.
На первом этапе необходимо привести дроби к общему знаменателю.
Это уже разбиралось ранее, но лучше кратко повторим.
Чтобы привести дроби к общем знаменателю надо их домножить.
Для этого надо найти наименьшее общее кратное знаменателей этих дробей.
Дальше найти дополнительный множитель для каждой из них.
Он равен частному наименьшего общего кратного и знаменателя.
А далее необходимо домножить каждую из дробей на соответствующий ей дополнительный множитель.
После этих действий мы получаем две дроби с одинаковыми знаменателями и можем выполнять операции согласно алгоритму из предыдущей части.
Посмотрим на примерах, как это работает.
Пример 1
Выполним сложение \(\mathbf{\frac{1}{2}}\) и \(\mathbf{\frac{1}{3}}\)
Как мы сказали выше, сначала надо примести дроби к общему знаменателю.
Наименьшим общим кратным 2 и 3 будет 6, значит, дополнительный множитель для первой дроби равен 3 (\(\mathbf{6:2=3}\)), для второй дроби дополнительный множитель будет равен 2 (\(\mathbf{6:3=2}\)).
Домножим первую дробь на ее дополнительный множитель.
\(\mathbf{\frac{1}{2}\cdot3=\frac{1\cdot3}{2\cdot3}=\frac{3}{6}}\)
Теперь домножим на дополнительный множитель вторую дробь.
\(\mathbf{\frac{1}{3}\cdot2=\frac{1\cdot2}{3\cdot2}=\frac{2}{6}}\)
Теперь имеем две дроби с одинаковым знаменателем, затем складываем их по алгоритму сложения дробей с одинаковыми знаменателями.
\(\mathbf{\frac{3}{6}+\frac{2}{6}=\frac{3+2}{6}=\frac{5}{6}}\)
Опять же смотрим, является ли дробь несократимой.
В этом случае это так, значит это и есть ответ.
Пример 2
Вычтем из \(\mathbf{\frac{3}{4}}\) \(\mathbf{\frac{1}{6}}\)
Как и в прошлый раз, начнем с нахождения общего знаменателя.
Наименьшее общее кратное 4 и 6 равняется 12.
Дополнительный множитель первой дроби равен 3: \(\mathbf{12:4=3}\)
Дополнительный множитель второй дроби равняется 2: \(\mathbf{12:6=2}\)
Домножаем первую дробь на ее дополнительный множитель:
\(\mathbf{\frac{3}{4}\cdot\frac{3}{3}=\frac{3\cdot3}{4\cdot3}=\frac{9}{12}}\)
Далее домножаем вторую дробь:
\(\mathbf{\frac{1}{6}\cdot2=\frac{1\cdot2}{6\cdot2}=\frac{2}{12}}\)
И делаем собственно само вычитание из одной дроби другой:
\(\mathbf{\frac{9}{12}-\frac{2}{12}=\frac{9-2}{12}=\frac{7}{12}}\)
Снова проверяем: дробь не является сократимой, значит, это ответ.
Действия между обыкновенными и десятичными дробями
Теперь посмотрим, как складывать и вычитать обыкновенный дроби и десятичные дроби.
Здесь также добавляется в начало алгоритма еще один этап: перевод десятичной дроби в обыкновенную дробь.
Делается это довольно легко. Посмотрим как именно.
Для начала надо переписать исходную дробь в новую дробь, где в числителе будет десятичная дробь, а в знаменателе единица:
\(\mathbf{0.01=\frac{0.01}{1}}\) \(\mathbf{0.3=\frac{0.3}{1}}\)
А дальше просто домножаем числитель и знаменатель дроби на 10, пока числитель не станет больше либо равен единице:
\(\mathbf{\frac{0.01}{1}=\frac{0.01\cdot10}{1\cdot10}=\frac{0.1}{10}=\frac{0.1\cdot10}{10\cdot10}=\frac{1}{100}}\)
\(\mathbf{\frac{0.3}{1}=\frac{0.3\cdot10}{1\cdot10}=\frac{3}{10}}\)
Как видите, все довольно просто.
Дальше можно считать суммы и разности с полученными обыкновенными дробями так же, как мы это делали ранее.
Посмотрим на примерах.
Пример 1
Посчитайте разность \(\mathbf{\frac{1}{3}-0.1}\):
Для начала надо перевести десятичную дробь в обыкновенную:
\(\mathbf{0.1=\frac{0.1}{1}=\frac{0.1\cdot10}{1\cdot10}=\frac{1}{10}}\)
Теперь надо привести дроби к общему знаменателю
\(\mathbf{\frac{1}{3}-\frac{1}{10}=\frac{1\cdot10}{3\cdot10}-\frac{1\cdot3}{10\cdot3}=\frac{10}{30}-\frac{3}{30}=\frac{10-3}{30}=\frac{7}{30}}\)
Проверяем, что дробь нельзя сократить и приходим к выводу, что это ответ.
Пример 2
Посчитайте сумму \(\mathbf{0.4+\frac{1}{4}}\)
Опять же, переводим десятичную дробь в обыкновенную:
\(\mathbf{0.4=\frac{0.4}{1}=\frac{0.4\cdot10}{1\cdot10}=\frac{4}{10}}\)
Мы специально не сокращаем дробь, чтобы, если понадобиться домножать в дальнейшем на 2, не пришлось делать лишних действий.
Далее приводим дроби к общему знаменателю и считаем сумму:
\(\mathbf{\frac{4}{10}+\frac{1}{4}=\frac{4\cdot2}{10\cdot2}+\frac{1\cdot5}{4\cdot5}=\frac{8}{20}+\frac{5}{20}=\frac{8+5}{20}=\frac{13}{20}}\)
Это и есть нужная нам сумма.
Интересная информация
Сегодня мы затронули тему десятичных дробей.
Познакомимся же не только с тем, как с ними работать, но и с их историей.
Изначально десятичные дроби были тесно связаны с метрологией - наукой о системах измерения (важно не путать с метеорологией).
Это вполне логично, ведь если есть 10 метров, есть 1 метр, то, значит, есть и 0.1 метра.
Десятичная система мер появилась примерно во II веке нашей эры.
Правила работы с десятичными дробями людям скорее всего стали понятны почти сразу, но самые ранние, о которых можно сказать точно, вывел Джемшид ибн Масуд аль-Каши, живший в XV веке в Самарканде (в настоящие время это город в Узбекистане, но тогда это была часть Империи Тимуридов).
Отличие от современных десятичных дробей было в знаке, отделяющем целую часть от дробной: сейчас это точка или запятая, тогда это была вертикальная черта.
Точку или запятую стали использовать уже позже, примерно с XVII века.
В таком виде десятичные дроби и дошли до наших дней.
В бесплатной версии урока недоступны:
- Видео
- Изображения
- Дополнительная информация
- Таблицы
- Тесты