Урок 11 Получить доступ за 75 баллов Сравнение дробей с разными знаменателями

На этом уроке мы научимся сравнивать дроби с одинаковыми знаменателями, с одинаковыми числителями, с разными числителями и знаменателями. А также закрепим навыки, решив несколько примеров и упражнений.

Сравним дроби \(\mathbf{\frac{2}{5}}\) и \(\mathbf{\frac{2}{7}}\)

Дробная черта заменяет знак деления.

Представьте, что торт разделили в первом случае на пять частей, а во втором случае на семь.

Понятно, что если пришло пятеро гостей, то в первом случае каждому гостю достанется больший кусок торта, чем во втором случае.

Следовательно, \(\mathbf{\frac{2}{5}>\frac{2}{7}}\)

Если дроби имеют одинаковые числители, то больше та дробь, у которой меньше знаменатель.

Пример 1

Сравните дроби:

А) \(\mathbf{\frac{3}{4}}\) и \(\mathbf{\frac{3}{8}}\)

Б) \(\mathbf{\frac{5}{6}}\) и \(\mathbf{\frac{5}{9}}\)

В) \(\mathbf{\frac{4}{11}}\) и \(\mathbf{\frac{4}{17}}\)

Г) \(\mathbf{\frac{60}{77}}\) и \(\mathbf{\frac{60}{133}}\)

Решение:

А) \(\mathbf{\frac{3}{4}>\frac{3}{8}}\), т.к. \(\mathbf{4 < 8}\)

Б) \(\mathbf{\frac{5}{6}>\frac{5}{9}}\), т.к. \(\mathbf{6 < 9}\)

В) \(\mathbf{\frac{4}{11}>\frac{4}{17}}\), т.к. \(\mathbf{11 < 17}\)

Г) \(\mathbf{\frac{60}{77}>\frac{60}{133}}\), т.к. \(\mathbf{77 < 133}\)

Сравним дроби \(\mathbf{\frac{1}{8}}\) и \(\mathbf{\frac{4}{7}}\)

По иллюстрации видно, что \(\mathbf{\frac{1}{8}}\) меньше половины, а \(\mathbf{\frac{4}{7}}\)- больше половины. Следовательно, \(\mathbf{\frac{1}{8}}\) < \(\mathbf{\frac{4}{7}}\)

Если рассуждать логически и вспомнить, что дробная черта заменяет знак деления, то можно сравнить дроби следующим образом:

• меньшее число 1 делят на большее количество частей (на 8)
• большее число 4 делят на меньшее количество частей (на 7)

Действительно, получится, что \(\mathbf{1:8 < 4:7}\)

Итак, чтобы сравнить дроби с разными знаменателями, надо:

1. привести данные дроби к наименьшему общему знаменателю
2. сравнить полученные дроби

Например, сравним дроби \(\mathbf{\frac{3}{4}}\) и \(\mathbf{\frac{1}{2}}\)

Приведем к наименьшему общему знаменателю дроби \(\mathbf{\frac{3}{4}}\) и \(\mathbf{\frac{1}{2}}\)

Найдем наименьшее общее кратное знаменателей дробей:

\(\mathbf{НОК (4,2) = 4}\)

\(\mathbf{\frac{3}{4} = \frac{3\cdot1}{4\cdot1} = \frac{3}{4}}\)

\(\mathbf{\frac{1}{2} = \frac{1\cdot2}{2\cdot2} = \frac{2}{4}}\)

\(\mathbf{\frac{3}{4}}\) > \(\mathbf{\frac{2}{4}}\), следовательно, и \(\mathbf{\frac{3}{4}}\) > \(\mathbf{\frac{1}{2}}\)

Пример 1

Сравните дроби:

А) \(\mathbf{\frac{4}{15}}\) и \(\mathbf{\frac{14}{21}}\)

Б) \(\mathbf{\frac{7}{12}}\) и \(\mathbf{\frac{4}{15}}\)

В) \(\mathbf{\frac{5}{11}}\) и \(\mathbf{\frac{7}{10}}\)

Г) \(\mathbf{\frac{2}{9}}\) и \(\mathbf{\frac{3}{8}}\)

Решение:

А)

\(\mathbf{НОК (15,21) = 105}\)

\(\mathbf{\frac{4}{15} = \frac{4\cdot7}{15\cdot7} = \frac{28}{105}}\)

\(\mathbf{\frac{14}{21} = \frac{14\cdot5}{21\cdot5} = \frac{70}{105}}\)

\(\mathbf{\frac{28}{105}}\) < \(\mathbf{\frac{70}{105}}\), следовательно, и \(\mathbf{\frac{4}{15}}\) < \(\mathbf{\frac{14}{21}}\)

Б)

\(\mathbf{НОК (12,15) = 60}\)

\(\mathbf{\frac{7}{12} = \frac{7\cdot5}{12\cdot5} = \frac{35}{60}}\)

\(\mathbf{\frac{4}{15} = \frac{4\cdot4}{15\cdot4} = \frac{16}{60}}\)

\(\mathbf{\frac{35}{60}}\) > \(\mathbf{\frac{16}{60}}\), следовательно, и \(\mathbf{\frac{7}{12}}\) > \(\mathbf{\frac{4}{15}}\)

В)

\(\mathbf{НОК (11,10) = 110}\)

\(\mathbf{\frac{5}{11} = \frac{5\cdot10}{11\cdot10} = \frac{50}{110}}\)

\(\mathbf{\frac{7}{10} = \frac{7\cdot11}{10\cdot11} = \frac{77}{110}}\)

\(\mathbf{\frac{50}{110}}\) < \(\mathbf{\frac{77}{110}}\), следовательно, и \(\mathbf{\frac{5}{11}}\) < \(\mathbf{\frac{7}{10}}\)

Г)

\(\mathbf{НОК (9,8) = 72}\)

\(\mathbf{\frac{2}{9} = \frac{2\cdot8}{9\cdot8} = \frac{16}{72}}\)

\(\mathbf{\frac{3}{8} = \frac{3\cdot9}{8\cdot9} = \frac{27}{72}}\)

\(\mathbf{\frac{16}{72}}\) < \(\mathbf{\frac{27}{72}}\), следовательно, и \(\mathbf{\frac{2}{9}}\) < \(\mathbf{\frac{3}{8}}\)

Пример 2

Расположите в порядке возрастания дроби:

А) \(\mathbf{\frac{7}{50}, \frac{11}{5}, \frac{9}{10}, \frac{13}{25}}\)

Б) \(\mathbf{\frac{9}{10}, \frac{19}{20}, \frac{7}{100}, \frac{3}{50}}\)

Решение:

А) Приведем все дроби к общему знаменателю.

\(\mathbf{НОК (50,5,10,25) = 50}\)

\(\mathbf{\frac{11}{5} = \frac{11\cdot10}{5\cdot10} = \frac{110}{50}}\)

\(\mathbf{\frac{9}{10} = \frac{9\cdot5}{10\cdot5} = \frac{45}{50}}\)

\(\mathbf{\frac{13}{25} = \frac{13\cdot2}{25\cdot2} = \frac{26}{50}}\)

\(\mathbf{\frac{7}{50} < \frac{26}{50} < \frac{45}{50} < \frac{110}{50}}\), следовательно, \(\mathbf{\frac{7}{50} < \frac{13}{25} < \frac{9}{10} < \frac{11}{5}}\)

Б) Приведем все дроби к общему знаменателю.

\(\mathbf{НОК (10,20,100,50) = 100}\)

\(\mathbf{\frac{9}{10} = \frac{9\cdot10}{10\cdot10} = \frac{90}{100}}\)

\(\mathbf{\frac{19}{20} = \frac{19\cdot5}{20\cdot5} = \frac{95}{100}}\)

\(\mathbf{\frac{3}{50} = \frac{3\cdot2}{50\cdot2} = \frac{6}{100}}\)

\(\mathbf{\frac{6}{100} < \frac{7}{100} < \frac{90}{100} < \frac{95}{100}}\), следовательно, \(\mathbf{\frac{3}{50} < \frac{7}{100} < \frac{9}{10} < \frac{19}{20}}\)

Мы рассмотрели все возможные способы сравнения обыкновенных дробей, познакомились с универсальным способом сравнения дробей с разными знаменателями: приведением дробей к общему знаменателю.

В качестве дополнительного множителя всегда подойдет знаменатель другой дроби.

Сегодня мы с вами занимались сравнением дробей. Например, мы сравнивали дроби с одинаковыми числителями. Особое место среди них занимают египетские дроби. Их свойство заключается в том, что они записываются в виде суммы нескольких дробей, у которых в числителе стоит 1.

$$\mathbf{\frac{1}{2}+\frac{1}{5}+\frac{1}{7}}$$

Из названия понятно, что изобрели их в Египте в глубокой древности. Из старых свитков и математических папирусов современники узнали, что египтяне пользовались своей таблицей дробей для чисел вида \(\mathbf{\frac{2}{n}}\)

Кроме самой таблицы были обнаружены 64 задачи, решённые с помощью них.

Для обозначения единицы египтяне использовали значок, похожий на глаз. Он назывался ер (один из) или рот. Довольно интересную запись привычных нам дробей можно увидеть на рисунке ниже.

Разложенные таким образом дроби не всегда удобно будет сравнивать. В сумме может быть много слагаемых и можно легко запутаться, поэтому проще пользоваться посчитанными суммами.