Урок 34 Получить доступ за 75 баллов Сложение чисел с разными знаками

В одном из прошлых уроков мы научились складывать и вычитать числа с помощью координатной прямой.

Сегодня же мы разберемся как складывать числа с разными знаками, не прибегая к координатной прямой. Также проанализируем, чему может оказаться равна сумма чисел с разными знаками.

Допустим, у Василия есть 30 тысяч рублей на счету в банке, но при этом у него есть долг в размере 13 тысяч рублей.

Первая величина положительная, вторая - отрицательная по своей сути.

Сложив 30 и -13, мы получим ту сумму, которой Василий может свободно распоряжаться.

Это можно сделать с помощью координатной прямой. Но с большими числами работать по такому алгоритму некомфортно, поэтому есть более простой способ.

Чтобы сложить два числа с разными знаками, необходимо:

1) посчитать их модули

2) из большего модуля вычесть меньший модуль

3) поставить перед полученным числом знак слагаемого с наибольшим модулем

Пример:

1) Модуль 30 равен 30, модуль -13 равен 13

2) \(\mathbf{30>13}\), следовательно вычитаем из 30-ти 13, \(\mathbf{30-13=17}\)

3) Число с наибольшим модулем в данном случае 30, оно положительное, значит, и перед ответом поставим знак «+», но можем просто не ставить ничего.

Получили: \(\mathbf{30+(-13)=17}\)

17 тысячами рублей может распоряжаться Василий.

Также покажем на примере, как может получиться отрицательное число:

Есть другой клиент банка Олег, у него на счету 5500 рублей, а должен он 9300.

Тогда, чтобы понять, сколько у Олега свободных денег, мы должен сложить 5500 и -9300.

1) Считаем модули:

\(\mathbf{\mid5500\mid=5500}\)

\(\mathbf{\mid-9300\mid=9300}\)

2) Вычитаем из наибольшего модуля наименьший:

\(\mathbf{9300-5500=3800}\)

3) \(\mathbf{9300>5500}\), значит, ответ та кже, как и число -9300, будет числом отрицательным.

Если убрать промежуточные действия, то получится: \(\mathbf{5500+(-9300)=-3800}\)

То, что у Олега получилось отрицательное количество свободных денег показывает, что даже если он отдаст все деньги со счета на погашение долга, он останется должен банку еще 3800 рублей.

Нельзя не упомянуть случай, когда результатом сложения двух чисел с разными знаками является нуль.

Сложим 5 и -5.

1) Точно также считаем модули:

\(\mathbf{\mid5\mid=5}\)

\(\mathbf{\mid-5\mid=5}\)

2) Считаем разность модуле -, они равны, поэтому нам неважно, что из чего вычитать.

\(\mathbf{5-5=0}\)

3) У нас получился нуль в прошлом действии, поэтому можно даже не думать о знаке, ибо нуль это и есть нуль.

Тогда получаем: \(\mathbf{5+(-5)=0}\)

Заметим: чтобы получился нуль, у чисел должны быть равные модули. И чтобы это был случай со сложением чисел с разными знаками, одно должно быть отрицательным, а другое положительным.

Тогда получаем, что сумма двух чисел с разными знаками равна нулю тогда и только тогда, когда это противоположные числа.

Сейчас мы потренируемся отдельно делать некоторые заключения про сумму двух чисел, не считая ее.

Мы уже сказали, что если сумма двух чисел с разными знаками равна нулю, то эти числа являются взаимно обратными.

Это же верно и в обратную сторону. В самом деле, если взять два противоположных числа а и -а, то их модули будут равны а и а соответственно, а значит, их разность будет равна нулю.

Получается, что, если нас просят сложить два числа с разными знаками, мы можем сразу посмотреть, что они противоположны, то есть вдобавок к тому, что у них разные знаки, у них еще и равны модули, и сделать вывод, что их сумма будет равна нулю.

Примеры:

\(\mathbf{-13+13=0}\)

\(\mathbf{184\frac{1}{123543}+(-184\frac{1}{123543})=0}\)

Мы можем использовать это в промежуточных действиях, чтобы не считать сложные части выражения, если они все равно равны нулю:

\(\mathbf{5-7+58468456231+(-58468456231)=5-7+(58468456231+(-58468456231))=}\)

\(\mathbf{=5-7+0=5-7=-2}\)

Да, конечно, посчитать тоже несложно, особенно используя калькулятор, но не считать еще проще и быстрее!

В случаях с числами, которые не являются противоположными, мы, может быть, не сможем так красиво угадать ответ, как это нам только что удавалось выше.

Посмотрев на числа, а если быть точным, только сравнив их модули, можно сказать про знак результата.

В самом деле, в правиле подсчета суммы чисел с разными знаками мы приписываем к разности модулей знак слагаемого с наибольшим модулем.

Значит, если сравним модули чисел, то уже будем знать, какой знак будет у ответа.

Например, какой будет знак у суммы 3-х и \(\mathbf{-68458456}\)-ти?

Очевидно, модуль второго числа будет больше модуля первого числа, потому что у второго числа больше значащих разрядов.

Значит, у результата будет знак второго слагаемого.

Перед ним стоит минус, значит, оно отрицательное, а это значит, что и результат будет числом отрицательным.

Теперь, когда мы знаем, как складывать числа с разными знаками, то можем подумать о том, как применить наши знания для решения задач.

Главным образом, отрицательные числа очень удобны, когда мы говорим о долгах.

Суммируя, сколько в месяц приходит денег (зарплата, деньги за аренду квартиры, доход по процентам с денег, лежащих в банке), а также, сколько мы должны заплатить кому-либо (налоги, коммунальные услуги, подписки на интернет-сервисы), мы можем посчитать, сколько свободных денег у нас останется на прочие нужды.

Для этого мы должны считать любой наш доход со знаком «плюс», а любой расход или долг со знаком «минус».

Пример:

Александр работает на заводе и получает 40 тысяч рублей в месяц зарплатой, также он сдает одну из своих квартир за 20 тысяч рублей, при этом он должен платить 5 тысяч рублей за коммунальные услуги в своей квартире и 169 рублей за подписку на музыкальный сервис.

Сколько денег у Александра остается после уплаты обязательных платежей?

Решение:

Для начала нам нужно понять, с каким знаком суммировать те или иные пункты.

Зарплата и доход от сдачи квартиры являются статьями дохода. Они увеличивают количество денег у Александра, следовательно, должны считаться со знаком «+».

При записи мы не будем писать излишний знак «+», так как он и так подразумевается, если другого знака не стоит.

Коммунальные услуги и оплата за интернет-подписку являются статьями расхода и должны считаться со знаком «-».

Также необходимо привести все единицы измерения к одному виду.

Цена на интернет-подписку в этой задаче измеряется в рублях, а остальные величины - в тысячах рублей.

Значит, мы должны либо домножить зарплату, аренду и коммунальные платежи на тысячу, либо же на тысячу разделить плату за интернет-подписку.

Для примера выберем первый путь и приводим к одним единицам величины:

\(\mathbf{40\cdot1000=40000}\) (рублей)- зарплата Александра

\(\mathbf{20\cdot1000=20000}\) (рублей)- Александр получает от сдачи квартиры в аренду

\(\mathbf{5\cdot1000=5000}\) (рублей)- плата за коммунальные услуги

Тогда у нас получается такое выражение для количества оставшихся денег:

\(\mathbf{40000+20000-5000-169=54831}\) (рубль) у Александра остается на прочие расходы.

Ответ: 54831 рубль

В этом уроке мы затронули тему долгов и кредитов. Давайте узнаем историю этого явления в мире.

Свое начало кредитование берет еще в Древнем Египте, Вавилоне, Ассирии.

Тогда все было довольно строго, и, если человек не мог вернуть долг, он становился рабом кредитора.

В то время одалживать могли даже не деньги, а, например, зерно, чтобы вырастить больше урожая.

В Древней Греции кредиторами являлись в основном храмы, так как они накапливали в себе богатства и могли помогать в случае неурожая.

Тогда появилось понятие долговая яма: должник помещался в яму до оплаты кредита или, опять же, до перехода в рабство.

В Средние века кредитной системе было несколько сложно, так как церковь, имевшая тогда значительную власть, запретила зарабатывать на процентах, что лишило дохода ростовщиков и банкиров того времени.

Но, к счастью, для прогресса, люди нашли обход и одалживали через ценные бумаги - векселя. Заемщик покупал их у банкира по одной цене, а продавал по другой, естественно, в убыток себе, но этот убыток служил доходом банкира.

Затем в XVI веке запрет на заработок от процентов отменяется и появляются профессиональные банки. Однако власть продолжала их регулировать, не давая сделать процент по кредиту слишком высоким.

Современный вид кредиты начали принимать во время промышленной революции. У банков начала появляться широкая сеть отделений, и кредиты стали доступны обычным людям, а не только высшим слоям общества, как это могло быть раньше.

Несмотря на доступность кредитов в современном мире, нужно всегда просчитывать экономические решения, а в этом деле как раз помогает математика.