Урок 33 Получить доступ за 75 баллов Решение задач на нахождение части от целого и целого по его части

На уроке математики, на улице, в магазине, в быту и профессиональной деятельности, науке и технике часто приходится встречаться с дробями и решать различные задачи с ними.

Так, например, в кулинарии очень часто используют дробные числа, отмеряя те или иные ингредиенты в соответствии с рецептом: пол чайной ложки соли, треть стакана, четверть пачки, полкилограмма сахара и т.д.

Определяя время по часам, приходится находить часть от часа, от минуты, например, 30 минут равняется ½ часа, четверть часа (15 минут)- это ¼ часа, 30 секунд равняются ½ минуты, 15 секунд составляют ¼ минуты.

В медицине и фармацевтике используют дробные числа.

В состав лекарственного средства чаще всего включают дробное количество различных действующих и вспомогательных веществ.

Для корректного лечения врач устанавливает эффективную дозировку лекарственного препарата, которая иногда представлена в виде дробного числа.

Дозировку или концентрацию лекарственного средства приходится выражать в виде дроби: полтаблетки (1/2), четверть (1/4) таблетки и т.д.

Особенно важно учитывать количество медицинского препарата для пациентов детского возраста.

Часто дозировку лекарства для детей рассчитывают относительно взрослой дозы на основе данных о массе ребенка, количестве лет и др.

Обыкновенные дроби широко используются в строительстве и архитектуре.

Создавая надежную конструкцию, важно соблюдать соизмеримость и определенные соотношения частей сооружения.

Начертить чертеж, построить здание, возвести мост, положить асфальт, приготовить бетонную смесь невозможно без знаний о дробях.

В спортивных состязаниях вам, наверное, не раз приходилось слышать такие фразы: «состоялся четверть финал» или «полуфинал чемпионата», «одна восьмая финала».

Дроби используют в искусстве, например, в музыке, живописи и др.

Одним из примеров внедрения дробей в музыкальное искусство может служить нотная грамота.

Еще древнегреческий ученый Пифагор установил связь между длительностью музыкального звучания и дробей.

Дроби применяют для обозначения длительности нот.

Так, например, существует длинная нота.

Кроме нее есть половинная нота, четвертная, восьмая, шестнадцатая и т.д.

Такое обозначение нот удобно, так как явно видно насколько одна нота длиннее или короче другой.

Существует еще одна важная роль дробного числа в музыке.

Музыкальный размер (количество ритмических единиц в такте) так же обозначают в виде дроби (только без дробной черты) вначале нотной строки.

С помощью музыкального размера музыканты понимают с каким ритмом и темпом нужно играть музыкальное произведение.

В картографии и географии с помощью дроби указывают масштаб карты.

Деление целого на доли встречается в юридической практике при делении наследства.

В повседневной жизни мы часто делим целое на части, например, плитку шоколада ломаем на дольки, чтобы угостить друзей, режем на кусочки торт на празднике, делим мандарин на дольки и т.д.

Мы можем привести бесконечное множество примеров деления чего-либо на части.

Сегодня на уроке вспомним, что называют долей числа и, что представляет собой дробь от числа.

Научимся решать задачи, в которых необходимо находить часть от целого и целое по его части.

Рассмотрим алгоритм и примеры решения таких задач.

В математике дробью обозначают часть некоторой рассматриваемой величины, часть от целого.

Каждую равную часть одного целого называют долей числа.

Дробь представляет собой число, которое состоит из одной или нескольких долей (равных частей) целого.

Математическая запись обыкновенной дроби оформляется в виде двух чисел, разделенных чертой, которая называется дробной (она может быть горизонтальной и наклонной).

Число, стоящее над дробной чертой, называют числителем.

Числитель показывает, сколько долей взяли от целого.

Число, стоящее под дробной чертой, называют знаменателем.

Знаменатель показывает, на сколько всего равных долей разделили целое.

Зная целое, можно найти его часть.

Рассмотрим такую задачу.

Ленту, длиной 12 дм, разрезали на 2 равные части.

Что значит разрезать на две равные части?

Это значит, что ленту нужно разделить на две доли, каждая из которых является половиной этой ленты.

Итак, каждая доля- это половина всей ленты, по-другому такую часть от целого называют одна вторая часть ленты, обозначают ½.

В нашем примере половина всей ленты, т.е. одна вторая часть ее составляет 6 дм.

Запишем равенство: 12 ÷ 2 = 6 (дм).

Ленту такой же длины разделим на четыре равные части.

Получим 4 доли, каждая из которых равна одной четвертой всей длины ленты, обозначается 1/4.

Четверть (одна четвертая) ленты составляет: 12 ÷ 4 = 3 (дм).

Попробуем найти одну шестую ленты все той же длины- 12 дм.

1/6 доля этой ленты будет составлять: 12 ÷ 6 = 2 (дм).

Итак, нам становится ясно, чтобы найти долю от числа, необходимо разделить это число на количество долей (равных частей).

Рассмотрим ситуацию посложней.

Полоску бумаги, длиной 15 см, разделим на 5 равных частей (пять долей).

Определим, чему будет равны \(\mathbf{\frac{3}{5}}\) этой полоски бумаги.

Одна доля (\(\mathbf{\frac{1}{5}}\) этой полоски)- это 15 ÷ 5 = 3 (см).

Возьмем три таких доли.

Так как одна доля составляет 3 см, то три доли будут равны 3 ∙ 3 = 9 (см).

В данном случае получилось, что три пятых полоски бумаги составляют 9 см.

Сформулируем правило нахождения части от целого.

Чтобы найти несколько долей целого (дробь от числа), необходимо найти величину одной доли, затем умножить ее на количество долей.

Запишем алгоритм нахождения части от числа (несколько долей целого).

1. Найти величину одной доли.

2. Величину одной доли умножить на количество взятых долей.

В буквенном виде данное правило можно представить так:

Пусть А- это исходное число.

В- неизвестная часть числа А, выраженная дробью \(\mathbf{\frac{m}{n}}\).

m- числитель, показывает сколько долей взяли.

n- знаменатель, показывает на сколько долей разделили число А.

Чтобы найти часть числа А, необходимо это число А разделить на знаменатель (n) и умножить на числитель (m) дроби, которая выражает эту часть.

В качестве примера рассмотрим решение нескольких задач.

Задача №1.

Туристы за все время своего путешествия из пункта А в пункт В должны пройти 54 км.

Туристы прошли \(\mathbf{\frac{1}{2}}\) всего пути по лесу.

Сколько километров прошли туристы по лесу? Сколько им осталось пройти?

Решение:

Вспомним правило.

Чтобы найти долю от числа, необходимо число разделить на количество долей.

Прошли \(\mathbf{\frac{1}{2}}\) всего пути- это значит туристы преодолели половину своего пути.

Разделим весь путь на 2 равные доли, т.е. на 2, в результате получим \(\mathbf{\frac{1}{2}}\) пути, которую туристы прошли по лесу.

Этот путь будет составлять: 54 ÷ 2 = 27 (км).

Определим путь, который им осталось пройти, для этого из общего пути вычтем пройденный по лесу путь:

54 - 27 = 27 (км) туристам осталось пройти.

Ответ: 27 (км), 27 (км).

Задача №2

За три дня туристы прошли 54 километра.

За первый день они прошли половину всего пути.

За второй день преодолели \(\mathbf{\frac{2}{3}}\) оставшегося пути.

Сколько километров туристы прошли в каждый из трех дней?

Решение:

Весь трехдневный путь туристов составляет 54 км.

Первый день туристы прошли половину- это \(\mathbf{\frac{1}{2}}\) всего пути.

Выше в задаче №1 мы уже находили \(\mathbf{\frac{1}{2}}\) от 54 (км), у нас получился следующий результат:

54 ÷ 2 = 27 (км) прошли туристы в первый день.

Так как в первый день пройдена половина пути, то вторая половина- это оставшийся путь.

Он будет равен: 54 - 27 = 27 (км).

Второй день- это \(\mathbf{\frac{2}{3}}\) оставшегося пути, т.е. \(\mathbf{\frac{2}{3}}\) от 27 (км).

Чтобы найти дробь от числа, необходимо найти величину одной доли, затем умножить ее на количество частей (долей).

Найдем величину одной доли, для этого весь оставшийся путь (27 км) разделим на знаменатель дроби (в нашем случае это число 3), данное выражение будет описываться выражением 27 ÷ 3.

Полученный результат умножим на количество, пройденных туристами долей, на которые нам указывает числитель дроби (он равен 2).

В результате получим равенство:

27 ÷ 3 ∙ 2 = 9 ∙ 2 = 18 (км) туристы прошли во второй день.

Так как во второй день туристы прошли 18 км от пути, оставшегося после первого туристического дня (т.е. 18 км из 27 км), то за третий день им осталось пройти:

27 - 18 = 9 (км) туристы прошли в третий день.

Проверим полученные результаты.

Найдем весь туристический путь за три дня, он должен быть равен 54 км.

Для этого сложим путь первого, второго и третьего дня.

27 + 18 + 9 = 45 + 9 = 54 (км) прошли туристы за три дня.

Задача решена верно.

Ответ: 27 (км), 18 (км), 9 (км).

Если известно сколько составляет часть от целого, то по известной части можно найти целое.

Рассмотрим задачу:

Пусть длина \(\mathbf{\frac{1}{2}}\) ленты составляет 10 дм.

Определим, чему равна длина всей ленты.

Так как \(\mathbf{\frac{1}{2}}\) ленты- это ее половина, и она составляет 10 дм, то вторая половина так же равна 10 дм.

В таком случае, чтобы найти длину всей ленты, мы можем сложить длины этих двух половинок или, заменив сложение одинаковых слагаемых умножением, можем по 10 дм взять два раза, в результате получим равенство:

10 ∙ 2 = 20 (дм) длина всей ленты.

Ответ: 20 (дм).

Рассмотрим еще одну задачу, в которой будет известна длина одной четвертой части ленты.

Ленту подарочную разделили на четыре части.

Длина \(\mathbf{\frac{1}{4}}\) ленты составляет 5 дм.

Определим, чему равна длина всей ленты.

Целое, т.е. всю ленту разделили на 4 доли.

Известно, что одна доля- это \(\mathbf{\frac{1}{4}}\) ленты, она составляет 5 дм.

Чтобы найти длину всей ленты, необходимо длину одной доли (в нашем случае 5 дм) умножить на количество долей (в нашем примере их 4).

Получим следующее равенство:

5 ∙ 4 = 20 (дм) длина всей ленты.

Ответ: 20 (дм).

Рассмотрев эти два примера, можно сделать вывод:

Чтобы найти неизвестное число по его доле, необходимо долю этого числа умножить на число долей.

Усложним задачу про ленту и попробуем ее решить.

Пусть подарочную ленту разделили на 5 равных частей.

Определим, какова длина всей ленты, если \(\mathbf{\frac{3}{5}}\) этой ленты составляет 12 дм.

Из условия задачи известно, что разделили ленту на 5 долей, а 3 таких доли составляют 12 дм.

Для того чтобы найти длину всей ленты, необходимо найти длину одной доли.

Следовательно, известную длину трех долей (12 дм) разделим на количество этих долей (3 доли).

Данное действие будет описывать следующее выражение: 12 ÷ 3.

Затем умножим длину одной доли на количество всех долей (в нашем случае всю ленту разделили на 5 долей).

В результате получим равенство:

12 ÷ 3 ∙ 5 = 4 ∙ 5 = 20 (дм) длина всей ленты.

Ответ: 20 (дм).

Сформулируем правило нахождения целого по его части.

Чтобы найти целое по его части, необходимо определить величину одной доли, затем полученный результат умножить на общее количество долей (на которое поделено целое).

Запишем алгоритм нахождения числа по его дроби.

1. Найти величину одной доли.

2. Величину одной доли умножить на количество всех долей, на которое разделено число.

В буквенном виде данное правило можно представить так:

Пусть А- это исходное число, оно неизвестно.

В- часть числа А, выраженная дробью \(\mathbf{\frac{m}{n}}\).

m- числитель, показывает сколько долей взяли.

n- знаменатель, показывает на сколько долей разделили число.

Чтобы найти исходное число А, необходимо число В, соответствующее части числа А, разделить на числитель (m) и полученный результат умножить на знаменатель (n) дроби, которая выражает эту часть.

Рассмотрим, как данное правило применяется при решении задач.

Задача №1.

Дима потратил на сладости 120 рублей, что составляет \(\mathbf{\frac{2}{4}}\) всех накопленных им денег.

Сколько всего денег было у Димы накоплено?

Решение:

Общее количество денег, которое было у Димы не известно.

Известно только то, что 120 рублей- это часть всех денег Димы.

Эта же часть денег выражена дробью \(\mathbf{\frac{2}{4}}\) от всех денег.

Знаменатель данной дроби показывает на то, что все накопленные деньги разделены на 4 части, а числитель дроби указывает на то, что две части из четырех составляют 120 рублей.

Найдем величину одной доли (одной части из четырех), т.е. сколько составляет \(\mathbf{\frac{1}{4}}\) (четверть) всех денег Димы.

120 ÷ 2 = 60 (руб.) составляет четверть всех денег Димы.

Чтобы найти общее количество денег, которые накопил Дима (а это четыре части по 60 рублей), нужно:

4 ∙ 60 = 240 (руб.) было накоплено у Димы.

Кратко решение данной задачи можно записать следующим образом:

120 ÷ 2 ∙ 4 = 240 (руб.) было накоплено у Димы.

Ответ: 240 (руб.)

Очень часто задачи такого типа имеют более сложные условия и их приходится решать в несколько действий.

Задача №2.

Дима купил шоколадку. Он за нее заплатил 60 рублей, что составило \(\mathbf{\frac{1}{3}}\) всех его денег.

От оставшейся суммы \(\mathbf{\frac{2}{3}}\) он потратил на мороженное, остальные деньги положил в копилку.

Сколько денег Дима положил в копилку?

Решение:

Первым делом определим первоначальную сумму, которая была у Димы.

Будем считать, что искомое число состоит из трех долей.

По условию задачи одна доля составляет 60 рублей.

Чтобы найти число (целое) по его доле, необходимо долю этого числа умножить на число долей.

В таком случае получаем:

60 ∙ 3 = 180 (руб.) всего было накоплено у Димы- это первоначальная сумма, которая у него была.

Следующим действием найдем часть денег, которые потратил Дима на мороженное.

Из общей суммы денег вычтем 60 рублей, которые были потрачены на шоколадку.

180 - 60 = 120 (руб.) оставшееся сумма денег у Димы.

От полученного остатка найдем \(\mathbf{\frac{2}{3}}\)

Чтобы найти \(\mathbf{\frac{2}{3}}\) от 120 (дробь от числа), нужно число 120 разделить на знаменатель и умножить на числитель этой дроби.

120 ÷ 3 ∙ 2 = 40 ∙ 2 = 80 (руб.) Дима потратил на мороженное.

Из первоначальной суммы (180 рублей) вычтем деньги, потраченные на шоколадку, (60 рублей), вычтем деньги, потраченные на мороженное, (80 рублей) и получим остаток денег, который Дима положил в копилку.

180 - 60 - 80 = 100 - 60 = 40 (руб.) Дима положил в копилку.

Ответ: 40 (руб.)