Урок 22 Получить доступ за 75 баллов Умножение и деление натуральных чисел

Сегодня мы посвятим наш урок решению текстовых задач на умножение и деление натуральных чисел.

Познакомимся с различными видами простых и составных текстовых задач на умножение и деление, разберем решение таких задач арифметическим и алгебраическим способом.

Выясним способы проверки правильности вычисления.

Продолжим совершенствовать вычислительные навыки умножения и деления натуральных чисел.

В этой части урока познакомимся с различными видами простых арифметических задач на умножение и деление.

Для начала вспомним, что называют арифметической задачей.

Арифметические задачи- это словесные задачи, решаемые путем прямых рассуждений и по действиям, с помощью арифметических операций.

При решении арифметических задач на умножение и деление будем опираться на понятие конкретного смысла операции умножения и деления, а также на представление о взаимосвязях между компонентами данных арифметических операций.

Все задачи в зависимости от числа арифметических действий, которые необходимо выполнить для их решения, делят на простые и составные.

Простая задача- это задача в одно действие, т.е. для ее решения необходимо выполнить одно арифметическое действие.

Составная задача- задача в несколько действий, связанных между собой.

Составная задача состоит из нескольких простых.

Рассмотрим классификацию простых задач на умножение и деление.

деления.

Рассмотрим на примерах каждый тип простой арифметической задачи на умножение.

1. Задачи на нахождение произведения.

Три коробки наполнили игрушками.

В каждую коробку положили по 15 игрушек.

Сколько всего игрушек положили в 3 коробки?

Общее количество игрушек, которые положили в коробки можно определить с помощью арифметической операции сложения (сложив игрушки во всех коробках: 15 + 15 + 15).

Однако, если результат можно получить суммой одинаковых слагаемых, то данную задачу можно решить умножением.

Решение:

Запишем кратко условие задачи.

1 коробка - 15 игрушек

3 коробки - ? игрушек

Изобразим схематичный рисунок к задаче.

Чтобы найти общее количество игрушек в трех коробках, нужно 3 раза взять по 15, т.е. 15 умножить на 3.

15 ∙ 3 = 45 (игрушек) разложили в три коробки.

Выполним проверку: чтобы проверить умножение, необходимо произведение разделить на один из множителей, если в результате получается второй множитель, то умножение выполнено верно.

45 ÷ 15 = 3 (коробки) наполнили игрушками.

Решение выполнено верно.

Ответ: 45 (игрушек).

2. Задача на нахождение неизвестного делимого.

В классе 21 человек.

Учитель на уроке раздал каждому ученику по 3 листа цветной бумаги.

Сколько всего листов бумаги раздал учитель?

Решение:

Из условия задачи известно:

21 человек (количество учеников, на которых учитель делил всю цветную бумагу)- делитель.

3 листа (часть листов бумаги, которые получит каждый ученик)- частное.

Неизвестно общее количество листов цветной бумаги- делимое.

Известно правило, чтобы найти делимое нужно перемножить делитель и частное.

Таким образом, с помощью операции умножения найдем исходное количество цветных листов.

21 ∙ 3 = 63 (листа) бумаги раздал учитель на уроке.

Выполним проверку:

63 ÷ 3 = 21 (человек) получат по 3 листа цветной бумаги.

Задача решена верно.

Ответ: 63 (листа).

3. Задача на увеличение в несколько раз.

В одном аквариуме 3 рыбки, а во втором в 2 раза больше.

Сколько рыбок во втором аквариуме?

По условию во втором аквариуме рыбок больше в два раза, чем в первом, т.е. два раза по 3 (3 рыбки, да еще 3 рыбки).

Условно это можно изобразить так.

Задача всегда решается умножением, когда одно число нужно увеличить в несколько раз.

Решение:

3 ∙ 2 = 6 (рыб) во втором аквариуме.

Ответ: 6 (рыб.)

Рассмотрим на примерах каждый тип простой арифметической задачи на деление.

1. Задачи на деление по содержанию.

Рассмотрим пример задачи.

Сколько нужно корзин, чтобы разложить 12 килограммов яблок, если в каждую корзину можно положить 4 килограмма яблок?

Изобразим с помощью схемы условие задачи.

Запишем кратко условие задачи.

12 кг (яблоки, которые необходимо поделить)- делимое.

4 кг (количество яблок в каждой корзине)- делитель.

Неизвестно число корзин, в которые необходимо разложить яблоки- частное.

Чтобы найти частное, нужно делимое разделить на делитель.

Решение:

12 ÷ 4 = 3 (корзины) в которые необходимо разложить яблоки.

Выполним проверку:

4 ∙ 3 = 12 (кг) яблок было всего.

Решение задачи выполнено верно.

Ответ: 3 (корзины).

2. Задачи на нахождение множителя.

Арифметическая операция умножения и деления неразрывно связаны между собой.

Известно, что деление- это математическая операция обратная умножению.

Деление- это действие, с помощью которого по произведению и одному из множителей находят другой множитель.

В саду высадили 12 деревьев в 2 ряда поровну.

Сколько саженцев посадили в каждом ряду?

Запишем кратко условие задачи.

12 деревьев (общее количество деревьев)- произведение.

2 ряда (количество рядов)- первый множитель.

Неизвестен второй множитель (количество деревьев в ряду).

Произведение = первый множитель ∙ второй множитель.

Чтобы найти неизвестный множитель, нужно произведение разделить на известный множитель.

12 ÷ 2 = 6 (деревьев) в каждом ряду.

Выполним проверку:

2 ∙ 6 = 12 (деревьев) всего.

Решение задачи выполнено верно.

Ответ: 6 (деревьев).

3. Задача на деление (на равные части).

Если в задаче говорится о том, что что-то разделили, разложили, разрезали какие-то предметы поровну, на равные части, то чтобы определить сколько предметов получилось в каждой из равных частей, необходимо выполнить операцию деления.

В классе 12 парт.

Все парты расставили в 3 ряда так, что в каждом ряду получилось одинаковое их количество.

Сколько парт в каждом ряду?

Условно изобразим три ряда парт и будем постоянно ставить по одной парте сначала в первый ряд, затем во второй ряд, далее в третий (до тех пор, пока не закончатся парты).

12 парт (общее количество парт, которые необходимо расставить)- делимое.

3 ряда- частное.

Неизвестно количество парт в каждом ряду- делитель.

12 ÷ 3 = 4 (парты) в каждом ряду.

Выполним проверку:

4 ∙ 3 = 12 (парт) было в классе.

Решение задачи выполнено верно.

Ответ: 4 (парты).

4. Задачи на уменьшение в несколько раз.

В первый день Миша прочитал 15 страниц, а во второй день в три раза меньше.

Сколько страниц прочитал Миша во второй день?

Чтобы уменьшить число в несколько раз, необходимо выполнить операцию деления.

Если 15 страниц разделить на 3 равные части, то одна часть будет содержать столько страниц, сколько прочитал Миша за второй день.

Запишем кратко условие задачи.

15 ÷ 3 = 5 (стр.) во второй день прочитал Миша.

Выполним проверку:

5 ∙ 3 = 15 (стр.) прочитал Миша в первый день.

Решение задачи выполнено верно.

Ответ: 5 (стр.).

Данная задача может быть представлена в косвенной форме.

В косвенной форме задача будет формулироваться следующим образом:

«В первый день Миша прочитал 15 страниц, это в 3 раза больше, чем во второй день.

Сколько страниц прочитал Миша во второй день?».

По условию в первый день Миши прочитал в 3 раза больше страниц, чем во второй день, значит во второй день в 3 раза меньше, чем в первый.

В таком случае при решении косвенной задачи мы должны брать во внимание слова «во второй день в 3 раза меньше, чем в первый».

Задачу с такой формулировкой мы уже решали.

15 ÷ 3 = 5 (стр.) во второй день прочитал Миша.

Ответ: 5 (стр.).

5. Задача на кратное сравнение.

Задачи на кратное сравнение- это задачи, в которых нужно ответить на вопрос, во сколько раз одно число больше или меньше другого.

Чтобы ответить на этот вопрос, необходимо большее число разделить на меньшее.

Рассмотрим пример задачи подобного типа.

На школьном шахматном турнире было 8 мальчиков и 2 девочки.

Во сколько раз мальчиков было больше чем девочек?

Схематично изобразим условие задачи.

8 ÷ 2 = 4 (раза) мальчиков больше чем девочек.

Но это значит, что девочек меньше в 4 раза, чем мальчиков.

Ответ: в 4 раза.

Взаимосвязь компонентов арифметических операций и их свойства часто применяют для решения текстовых задач алгебраическим способом.

Решить задачу алгебраическим способом- значит найти ответ на требование задачи, путем составления математической модели, например, такой как, уравнение, система уравнений, неравенство или система неравенств и т.д.

Уравнение- это равенство, содержащее букву, значение которой необходимо найти.

При составлении уравнений учитывают соотношения и взаимосвязи между данными и неизвестными величинами, которое могут быть заданы в условии задачи или вытекать из смысла задачи.

Процесс решения любой текстовой задачи состоит из четырех основных этапов.

1. Анализ задачи.
2. Составление плана решения задачи (обозначение основного соотношения между величинами, выбор неизвестного).
3. Осуществление плана решения задачи (составление уравнения, выражения неизвестного через известные и данные величины- решение уравнения).
4. Проверка и анализ найденного решения задачи.

Алгебраический способ позволяет решать различные задачи с помощью типовых математических рассуждений и составления определенного вида уравнений.

Алгебраический способ решения задач применяют в различных областях науки и техники, в хозяйстве и быту.

Данный способ решения задачи порой заменяет громоздкие рассуждения, является более логичным, компактным и конкретным.

Рассмотрим возможные варианты решения текстовых задач алгебраическим способом.

• Нахождение неизвестного множителя.

х ∙ 24 = 48

х- неизвестный множитель.

24- известный множитель.

48- произведение.

Чтобы найти неизвестный множитель, нужно произведение разделить на известный множитель.

х = 48 ÷ 24

х = 2

Проверка: подставим найденное значение х = 2 в исходное равенство х ∙ 24 = 48.

2 ∙ 24 = 48

48 = 48

Ответ: х = 2.

Пример.

За три двухлитровых банки молока заплатили 270 руб.

Сколько стоит один литр молока?

Пусть х (руб.) стоит 1 литр молока.

2х (руб.)- стоит двухлитровая банка молока.

2х ∙ 3 (руб.) стоят три двухлитровые банки молока.

За три двухлитровых банки молока всего заплатили 270 рублей.

Составим уравнение.

2х ∙ 3 = 270

Чтобы найти неизвестный множитель (2х), нужно произведение (270) разделить на известный множитель (3).

2х = 270 ÷ 3

2х = 90

Чтобы найти неизвестный множитель (х), нужно произведение (90) разделить на известный множитель (2).

х = 90 ÷ 2

х = 45 (руб.) стоит один литр молока.

Проверка: подставим найденное значение х = 45 в исходное равенство 2х ∙ 3 = 270.

(2 ∙ 45) ∙ 3 = 270

90 ∙ 3 = 270

270 = 270

Ответ: х = 45 (руб.).

• Нахождение неизвестного делимого.

у ÷ 6 = 7

у- неизвестное делимое.

6- делитель.

7- частное.

Чтобы найти неизвестный делимое, необходимо частное умножить на делитель (или наоборот делитель умножить на частное).

у = 7 ∙ 6

у = 42

Проверка: подставим найденное значение y = 42 в исходное равенство у ÷ 6 = 7.

42 ÷ 6 = 7

7 = 7

Ответ: y = 42.

Пример.

В кафе купили новые стулья.

Возле каждого стола поставили по 4 стула, всего в кафе находится 8 столов.

Сколько всего стульев купили?

Пусть х (ст.) купили в кафе.

Так как купленные стулья расставили по 4 возле каждого стола, а столов всего 8.

Составим уравнение.

х ÷ 4 = 8

Чтобы найти неизвестный делимое (х), необходимо частное (8) умножить на делитель (4) или наоборот делитель умножить на частное.

х = 8 ∙ 4

х = 32 (ст.) купили в кафе.

Проверка: подставим найденное значение х = 32 в исходное равенство х ÷ 4 = 8.

32 ÷ 4 = 8

8 = 8

Ответ: х = 32 (ст.).

• Нахождение неизвестного делителя.

15 ÷ z = 3

15- делимое.

z- неизвестный делитель.

3- частное.

Чтобы найти неизвестный делитель, необходимо делимое разделить на частное.

z = 15 ÷ 3

z = 5

Проверка: подставим найденное значение z = 5 в исходное равенство 15 ÷ z = 3.

15 ÷ 5 = 3

3 = 3

Ответ: z = 5.

Пример.

На столе находится 20 книг, разложенных в 4 стопки.

Определите сколько книг в каждой стопке?

Пусть х (книг) в одной стопке.

Тогда количество стопок равно 20 ÷ х.

Так как всего получилось 4 стопки.

Составим уравнение.

20 ÷ х = 4

Чтобы найти неизвестный делитель (х), необходимо делимое (20) разделить на частное (4).

х = 20 ÷ 4

х = 5 (книг) в каждой стопке.

Проверка: подставим найденное значение х = 5 в исходное равенство 20 ÷ х = 4.

20 ÷ 5 = 4

4 = 4

Ответ: х = 5 (книг).