Урок 44 Получить доступ за 75 баллов Умножение десятичных дробей
Десятичные дроби, как и натуральные числа, записывают в десятичной системе счисления, каждая цифра в числе занимает определенное место (позицию) и выражает соответствующие разрядные единицы.
Каждые десять единиц любого разряда составляют одну единицу старшего разряда.
В связи с этим, математические действия, производимые с десятичными дробями, имеют много общего с арифметическими действиями, которые можно совершать с натуральными числами.
Ранее мы в этом смогли убедиться, рассматривая вопрос о сложении и вычитании десятичных дробей.
Арифметические операции умножения и деления не являются исключением.
Сегодня на уроке мы сформулируем правило умножения десятичных дробей на натуральное число.
Рассмотрим быстрый и удобный способ умножения десятичной дроби на 10, 100, 1000 и т.д.
Научимся применять данные правила при решении различных задач.
Умножение десятичной дроби на натуральное число
Решим простую задачу.
Цена одной ручки 10,2 руб.
Какова стоимость четырех таких ручек?
Стоимость четырех одинаковых ручек можно определить с помощью арифметической операции сложения.
Для решения данной задачи мы найдем сумму четырех слагаемых, каждое из которых равно 10,2.
10,2 + 10,2 + 10,2 + 10,2 = 40,8 (руб.) стоимость четырех ручек.
Известно, что сумму одинаковых слагаемых можно заменить произведением.
Первый множитель нам укажет, какие были одинаковые слагаемые, второй множитель покажет сколько было таких слагаемых.
Для нашей задачи получим следующее: число 10,2 повторяется 4 раза.
Запишем равенство.
10,2 + 10,2 + 10,2 + 10,2 = 10,2 ∙ 4
Произведением десятичной дроби на натуральное число называют сумму одинаковых слагаемых, каждое из которых равно этой десятичной дроби, а количество слагаемых этому натуральному числу.
Однако, когда число одинаковых слагаемых велико, нахождение суммы всех слагаемых становится достаточно затруднительно.
Существует иной способ нахождения произведения десятичной дроби на натуральное число.
Рассмотрим правило умножения десятичной дроби на натуральное число столбиком.
Умножение десятичной дроби практически не отличается от умножения натуральных чисел, важно лишь правильно определить место десятичной запятой в полученном произведении.
Чтобы найти произведение десятичной дроби и натурального числа, необходимо:
- Записать множители в столбик.
- Выполнить умножение чисел, не обращая внимание на десятичную запятую так же, как выполняется умножение натуральных чисел столбиком.
- В полученном произведении справа отделить десятичной запятой столько знаков, сколько знаков находится в умножаемой десятичной дроби.
Используя данный алгоритм умножения десятичной дроби на натуральное число, найдем произведение 10,2 и 4.
Запишем числа в столбик и перемножим их как натуральные числа, не обращая внимание на десятичную запятую.
Умножаем 2 единицы на 4: 2 ∙ 4 = 8 единиц, полученный результат запишем под разрядом единиц.
Умножаем 0 десятков на 4: 0 ∙ 4 = 0 десятков, полученный результат запишем под разрядом десятков.
Умножаем 1 сотню на 4: 1 ∙ 4 = 4 сотни, полученный результат запишем под разрядом сотен.
Так как в самом начале мы временно забывали про десятичную запятую, то самое время вернуть ее на место.
Осталось в полученном произведении 408 поставить десятичную запятую, т.е. отделить целую часть от дробной.
Для этого нужно посчитать, сколько цифр находится после запятой в умножаемой десятичной дроби 10,2.
В дроби 10,2 стоит один десятичный знак, следовательно, в произведении 408 отсчитаем справа налево одну цифру и поставим десятичную запятую.
В результате мы отделили столько же десятичных знаков, сколько их было в исходной десятичной дроби.
В итоге получим:
В качестве примера рассмотрим решение нескольких задач, при решении которых будем использовать правила умножения десятичной дроби на натуральное число.
Задача №1.
Из двух поселков одновременно навстречу друг другу выехали два велосипедиста.
Скорость первого велосипедиста 10,6 км/ч, скорость второго на 3 км/ч больше.
Какое расстояние будет между велосипедистами через три часа после того, как они выехали, если расстояние между поселками составляет 90 км?
Сделаем условный рисунок.
Данную задачу на движение решим по действиям.
Решение:
1. Первым делом определим скорость второго велосипедиста.
Найдем сумму десятичной дроби и натурального числа по правилу: чтобы сложить десятичную дробь с натуральным числом, необходимо это натуральное число и целую часть десятичной дроби сложить, а дробную часть десятичной дроби оставить без изменений.
10,6 + 3 = 13,6 (км/ч) скорость второго велосипедиста.
2. Далее можно определить сколько километров проехал первый велосипедист за 3 часа, для этого скорость велосипедиста нужно умножить на время.
Умножим десятичную дробь 10,6 на натуральное число 3.
Умножение выполним в столбик по алгоритму, рассмотренному выше: найдем произведение чисел по правилу умножения натуральных чисел, не обращая внимание на запятую в десятичной дроби.
При умножении 6 на 3 получается двузначное число 18, в таком случае необходимо восемь единиц записать под чертой, а десяток добавить в старший разряд.
В полученное произведение 318 вернем десятичную запятую, т.е. отделим целую часть от дробной.
Для этого нужно посчитать, сколько десятичных знаков находится в умножаемой десятичной дроби 10,6.
В дроби 10,6 стоит один десятичный знак, следовательно, в произведении 318 отсчитаем справа налево одну цифру и поставим десятичную запятую:
В итоге получим:
10,6 ∙ 3 = 31,8 (км) проехал первый велосипедист за три часа.
3. Аналогичным образом найдем путь, который преодолел второй велосипедист за 3 часа.
Умножим десятичную дробь 13,6 на натуральное число 3.
Умножение выполним в столбик по правилу умножения натуральных чисел, не обращая внимание на запятую в десятичной дроби.
В полученное произведение 408 вернем десятичную запятую, т.е. отделим целую часть от дробной.
Для этого нужно посчитать, сколько десятичных знаков находится в умножаемой десятичной дроби 13,6.
В дроби 13,6 стоит один десятичный знак, следовательно, в произведении 408 отсчитаем справа налево одну цифру и поставим десятичную запятую.
В результате получим:
13,6 ∙ 3 = 40,8 (км) проехал второй велосипедист за три часа.
4. Следующим действием найдем общий путь, который проехали оба велосипедиста за три часа.
Сложим две десятичные дроби.
Выполним сложение дробей по правилу сложения натуральных чисел столбиком, не обращая внимание на десятичные запятые.
Поставим десятичную запятую в полученный результат суммы под запятыми, которые стоят в слагаемых (по правилу: «запятая под запятой»).
31,8 + 40,8 = 72,6 (км) общий путь, который проехали велосипедисты за три часа.
5. Затем найдем расстояние между велосипедистами, которое им осталось приехать.
Отнимем от расстояния между поселками (90 км) расстояние, которое уже проехали велосипедисты (72,6 км).
Вычитание десятичной дроби из натурального числа удобней выполнять в столбик.
Натуральное число в таком случае лучше представить в виде десятичной дроби, заменив дробную часть нулями.
90 - 72,6 = 17,4 (км) путь, который осталось проехать велосипедистам спустя три часа.
Ответ: 17,4 (км).
Данную задачу можно решить еще одним способом.
Решение:
По условию задачи скорость первого велосипедиста 10,6 км/ч- это значит, что он за 1 ч преодолевает 10,6 км.
Скорость второго велосипедиста 10,6 + 3 = 13,6 км/ч- это значит, что он за 1 ч преодолевает 13,6 км.
Следовательно, каждый час расстояние между велосипедистами сокращается на 10,6 + 13,6 = 23,6 км.
Расстояние, на которое сближаются объекты за единицу времени, называют скоростью сближения.
1. Для нашей задачи найдем скорость сближения велосипедистов.
Сложим две десятичные дроби 10,6 и 13,6.
Выполним сложение дробей по правилу сложения натуральных чисел столбиком, не обращая внимание на десятичные запятые.
Поставим десятичную запятую в полученный результат суммы под запятыми, которые стоят в слагаемых (по правилу: «запятая под запятой»).
10,6 + 13,6 = 24,2 (км) скорость сближения велосипедистов.
2. Найдем расстояние, которое проехали велосипедисты за три часа, для этого умножим скорость сближения на время пути их сближения.
Найдем произведение десятичной дроби на натуральное число.
Умножение выполним в столбик по правилу умножения натуральных чисел, не обращая внимание на запятую в десятичной дроби.
В полученное произведение 726 вернем десятичную запятую, т.е. отделим целую часть от дробной.
Для этого нужно посчитать, сколько десятичных знаков находится в умножаемой десятичной дроби 24,2.
В дроби 24,2 стоит один десятичный знак, следовательно, в произведении 726 отсчитаем справа налево одну цифру и поставим десятичную запятую.
В результате получим:
24,2 ∙ 3 = 72,6 (км) общий путь, который велосипедисты преодолели за три часа.
3. Найдем расстояние, которое осталось проехать велосипедистам спустя три часа.
Отнимем от расстояния между поселками (90 км) расстояние, которое уже проехали велосипедисты (72,6 км).
Данное действие мы уже выполняли, решая задачу первым способом.
90 - 72,6 = 17,4 (км) путь, который осталось проехать велосипедистам спустя три часа.
Ответ: 17,4 (км).
Задача №2.
Мама в магазине купила 2 бутылки молока по 42,35 руб. и 3 стаканчика йогурта по 20,4 руб.
Сколько мама получит сдачи, если в кассу она отдаст 150 руб.
Решение:
Кратко запишем условие задачи.
|
|
Молоко |
Йогурт |
|
Цена |
42,35 |
20,4 |
|
Количество |
2 |
3 |
|
Стоимость |
? |
? |
|
Общая стоимость покупки |
? |
|
Чтобы ответить на вопрос задачи, необходимо первым делом определить, сколько денег мама потратила на всю покупку.
Затем сравнить стоимость всей покупки и то количество денег, которое мама отдаст в кассу- 150 руб.
Задачу будем решать по действиям.
1. Узнаем стоимость двух бутылок молока.
Одна бутылка молока стоит 42,35 руб., а мама купила 2 таких бутылки, умножив цену одной бутылки на количество купленных таких бутылок, получим стоимость двух бутылок молока.
Умножим десятичную дробь на натуральное число столбиком по правилу умножения натуральных чисел, не обращая внимание на запятую в десятичной дроби.
В полученном произведении 8470 поставим десятичную запятую.
В умножаемой десятичной дроби 42,35 стоит два десятичных знака, следовательно, в произведении 8470 отсчитаем справа налево два знака и поставим десятичную запятую.
В итоге: 42,35 ∙ 2 = 84,70 (руб.) стоимость двух банок молока.
2. Узнаем стоимость трех стаканчиков йогурта.
Умножим цену одного стаканчика (20,4 руб.) йогурта на количество купленных стаканчиков (3 шт), получим стоимость трех стаканчиков йогурта.
Произведение десятичной дроби и натурального числа найдем столбиком по правилу умножения натуральных чисел, не обращая внимание на запятую в десятичной дроби.
В полученном произведении 612 поставим десятичную запятую.
В умножаемой десятичной дроби 20,4 стоит один десятичный знак, следовательно, отсчитаем с конца числа 612 один знак и поставим десятичную запятую.
В итоге: 20,4 ∙ 3 = 61,2 (руб.) стоимость трех стаканчиков йогурта.
3. Определим стоимость всей покупки.
Сложим результаты, полученные в первом и во втором действии.
Найдем сумму двух десятичных дробей 84,70 и 61,2.
В итоге: 84,761,2 = 145,9 (руб.) стоимость всей покупки.
4. Выясним, сколько маме на кассе должны сдать сдачи.
Кассиру мама отдала 150 руб.- это немного больше денег, чем требовалось (145,9 < 150).
Разница, которую должны вернуть, будет сдачей.
Чтобы определить на сколько одно число больше другого, нужно из большего вычесть меньшее.
Найдем разность чисел 150 и 145,9.
Ответ: 4,1 (руб.) сдадут сдачи маме на кассе.
Задача №3.
Участок прямоугольной формы шириной 24,3 м разделили на две части.
Длина первой части 34,2 м, длина второй части 33,8 м.
Какова площадь целого участка?
Пусть а- это ширина участка.
b1- длина первого участка.
b2- длина второго участка.
b- длина целого участка.
S- площадь всего участка.
Рассмотрим подробней процесс умножения десятичной дроби на многозначное натуральное число.
Умножим числа столбиком, не обращая внимание на десятичную запятую.
Воспользуемся данным правилом и вычислим столбиком произведение десятичной дроби 24,3 и двузначного натурального числа 68.
В итоге: S = 24,3 ∙ 68 = 1662,4 (м2) площадь всего участка.
Ответ: S = 1662,4 (м2).
Правило умножения десятичной дроби на 10, 100, 1000 и т.д.
Для того чтобы сформулировать правило умножения десятичной дроби на 10, 100, 1000 и т.д., рассмотрим три примера.
Задание №1.
Выразите в дециметрах длину 12,38 метров.
Один метр в 10 раз больше дециметра (1 м = 10 дм), следовательно, чтобы перевести величину из метров в дециметры, необходимо количество метров умножить на 10.
12,38 (м)= 12,38 ∙ 10 (дм).
Найдем произведение десятичной дроби и натурального двузначного числа столбиком.
Найдем первое неполное произведение, умножив все разряды первого множителя на 0.
Найдем второе неполное произведение, умножив все разряды первого множителя на 1, причем результат необходимо записать под первым неполным произведением, сдвинув на один разряд влево.
Сложим полученные неполные произведения.
В результате получим число 12380.
В полученном числе 12380 необходимо поставить десятичную запятую.
В умножаемой десятичной дроби 12,38 стоит два десятичных знака, следовательно, отсчитаем с конца числа 12380 два знака и поставим запятую.
Получается, что 12,38 м = 12,38 ∙ 10 = 123,8 дм
Задание №2.
Переведите 12,38 метров в сантиметры.
Один метр в 100 раз больше сантиметра (1 м = 100 см), следовательно, чтобы перевести величину из метров в сантиметры, необходимо количество метров умножить на 100.
12,38 (м) = 12,38 ∙ 100 (см).
Выполним умножение десятичной дроби на натуральное многозначное число столбиком, не обращая внимание на десятичную запятую.
Найдем первое неполное произведение, умножив все разряды первого множителя на 0.
Найдем второе неполное произведение, умножив все разряды первого множителя на 0, причем результат запишем под первым неполным произведением, сдвинув на один разряд влево.
Найдем третье неполное произведение, умножив все разряды первого множителя на 1, результат запишем под вторым неполным произведением, сдвинув на два разряда влево.
Сложим полученные неполные произведения.
В результате получим число 123800.
В полученном числе 123800 поставим десятичную запятую.
В умножаемой десятичной дроби 12,38 стоит два десятичных знака, следовательно, отсчитаем с конца числа 123800 два знака и поставим десятичную запятую.
Получается, что 12,38 м = 12,38 ∙ 100 = 1238 см.
Задание №3.
Выразите 12,38 метров в миллиметрах.
Один метр в 1000 раз больше миллиметра (1 м = 1000 мм), следовательно, чтобы перевести величину из метров в миллиметры, необходимо количество метров умножить на 1000.
12,38 (м)= 12,38 ∙ 1000 (мм).
Выполним умножение десятичной дроби на натуральное многозначное число столбиком, не обращая внимание на десятичную запятую.
Найдем первое неполное произведение, умножив все разряды первого множителя на 0.
Найдем второе неполное произведение, умножив все разряды первого множителя на 0, причем результат запишем под первым неполным произведением, сдвинув на один разряд влево.
Найдем третье неполное произведение, умножив все разряды первого множителя на 0, результат запишем под вторым неполным произведением, сдвинув на два разряда влево.
Найдем четверное неполное произведение, умножив все разряды первого множителя на 1, результат запишем под третьим неполным произведением, сдвинув на три разряд влево.
Сложим полученные неполные произведения.
В результате получим число 1238000.
В полученном числе 1238000 поставим десятичную запятую.
В умножаемой десятичной дроби 12,38 стоит два десятичных знака, следовательно, отсчитаем с конца числа 1238000 два знака и поставим десятичную запятую.
В итоге получаем: 12,38 м = 12,38 ∙ 1000 = 12380 мм.
Обратим внимание на полученные равенства:
12,38 ∙ 10 = 123,8
12,38 ∙ 100 = 1238
12,38 ∙ 1000 = 12380
Можем заметить некоторую закономерность: при умножении десятичной дроби на 10, 100, 1000 набор цифр и порядок их следования остается неизменным, а вот десятичная запятая меняет свое положение в числе.
При увеличении десятичной дроби в 10 раз, запятая переносится на один десятичный знак.
При увеличении десятичной дроби в 100 раз, запятая переносится на два десятичных знака.
При увеличении десятичной дроби в 1000 раз, запятая переносится на три десятичных знака.
Существует правило, которое позволяет легко и быстро умножать любую десятичную дробь на 10, 100, 1000 и т.д.
Правило: чтобы умножить любую десятичную дробь на 10, 100, 1000 и т.д., необходимо перенести в этой дроби запятую на столько знаков вправо, сколько нулей стоит после единицы во множителе 10, 100, 1000 и т.д.
Поясним:
- Так как в числе 10 после единицы стоит один нуль, значит при умножении десятичной дроби на 10, нужно запятую сдвинуть вправо на одну цифру.
- Так как в числе 100 после единицы стоит два нуля, ведь по сути умножить на 100- это значит умножить число на 10 два раза, значит, при умножении десятичной дроби на 100, нужно запятую сдвинуть вправо на две цифры.
После сдвига видим, что в дробной части больше не осталось цифр, дробная часть отсутствует, т.е. равна нулю, число получается целое, запятая не нужна.
- Так как в числе 1000 после единицы стоит три нуля, при умножении десятичной дроби на 1000, нужно запятую сдвинуть вправо на три цифры.
Умножим 2,43 на 1000, для этого нужно запятую перенести на три знака вправо.
Однако, для переноса запятой вправо не хватает цифр, поэтому добавим необходимое количество знаков- припишем нули (данное действие не изменит заданную десятичную дробь).
Только после этого перенесем запятую вправо на три цифры.
Решим несколько простых задач.
Задача №1.
Корова за один день дает 18,5 литров молока.
Сколько эта корова даст молока за 10 дней?
Решение:
Кратко запишем условие задачи.
Дает молока за 1 день- 18,5 л
Дает молока за 10 дней- ? л
По условию за один день корова дает 18,5 л, значит за 10 дней в 10 раз больше.
Задача решается умножением всегда, когда число нужно увеличить в несколько раз.
Умножим десятичную дробь 18,5 на 10.
При умножении десятичной дроби на 10, нужно запятую в этой десятичной дроби сдвинуть вправо на одну цифру.
18,5 ∙ 10 = 185 (л) молока дает корова за десять дней.
Ответ: 185 (л).
Задача №2.
Какое количество краски необходимо для покраски пола в 2 слоя в помещении прямоугольной формы шириной 2 м, длиной 5 м.
Расход краски на 1 м2 0,25 кг.
Выясним, какую площадь необходимо покрасить и сколько на это понадобится килограммов краски.
Пусть m0- масса краски, которая расходуется на 1 м2
m1- масса краски, которая необходима для покраски всего пола в один слой.
m2- масса краски, которая необходима для покраски всего пола в два слоя.
а- ширина пола.
b- длина пола.
В бесплатной версии урока недоступны:
- Видео
- Изображения
- Дополнительная информация
- Таблицы
- Тесты