Урок 38 Получить доступ за 75 баллов Смешанные числа

На данном уроке мы продолжим разговор об обыкновенных дробях.

Выясним, какие числа называют смешанными, как их принято записывать и читать.

Установим связь между смешанными числами и правильными дробями.

Научимся переводить смешанное число в неправильную дробь.

Рассмотрим обратную операцию перевода неправильной дроби в смешанное число.

Определим расположение смешанных чисел на координатном луче.

Правильной называют дробь, в которой числитель меньше знаменателя, она всегда меньше единицы.

Неправильной называют дробь, в которой числитель больше знаменателя или равен ему, такие дроби всегда больше единицы.

Сегодня речь пойдет о неправильных дробях.

Рассмотрим несколько примеров.

Пример №1.

Разделили три конфеты на троих человек.

Сколько конфет получил каждый?

Известно, что обыкновенная дробь \(\mathbf{\frac{m}{n}}\) представляет собой математическую операцию деления m- объектов на n-частей, а дробную черту, которая отделяет числитель от знаменателя, применяют как знак деления.

Общее количество конфет (m = 3) разделим на количество человек (n = 3).

Запишем частное в виде дроби.

\(\mathbf{\frac{m}{n} = \frac{3}{3}}\)

В результате получили неправильную дробь, в которой числитель равен знаменателю.

\(\mathbf{\frac{3}{3} = 3 \div 3 = 1}\) (конф.) получил каждый.

Ответ: каждый получил 1 конфету.

Пример №2.

Разделили поровну шесть конфет между тремя друзьями.

Сколько конфет получил каждый?

Общее количество конфет (m = 6) разделим на количество друзей (n = 3).

Запишем частное в виде дроби.

\(\mathbf{\frac{m}{n} = \frac{6}{3}}\)

В итоге получилась неправильная дробь, в которой числитель больше знаменателя.

\(\mathbf{\frac{6}{3} = 6 \div 3 = 2}\) (конф.) получил каждый из друзей.

Ответ: по 2 конфеты получил каждый из друзей.

В рассмотренных примерах частное двух чисел найти было нетрудно, так как числитель дроби нацело делится на знаменатель.

Рассмотрим еще одну ситуацию.

Пример №3.

Два брата решили разделить поровну пять апельсинов.

Сколько апельсинов достанется каждому из братьев?

Общее количество апельсинов (m = 5) разделим на количество братьев (n = 2).

Запишем частное в виде дроби.

\(\mathbf{\frac{m}{n} = \frac{5}{2}}\)

В данном примере мы получили неправильную дробь, в которой числитель хоть и больше знаменателя, но он не делится нацело.

Разделить пять апельсинов на две равные части можно двумя способами.

1. Можно разрезать каждый апельсин на две равные части.

Каждая полученная часть будет равна ½ апельсина.

Тогда по одной части от каждого апельсина достанется каждому из братьев.

Оба мальчика получат по пять таких частей: \(\mathbf{\frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2}}\)

Следовательно, каждый получит \(\mathbf{\frac{5}{2}}\) апельсина.

Если внимательно присмотреться к сумме дробей, можно заметить, что две части, т.е. сумма \(\mathbf{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}\) составляет \(\mathbf{\frac{2}{2}}\).

В свою очередь нам известно, что неправильная дробь \(\mathbf{\frac{2}{2}}\) равна единице: \(\mathbf{\frac{2}{2} = 2 \div 2 = 1}\).

Получаем: \(\mathbf{\frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = (\frac{1}{2} + \frac{1}{2}) + (\frac{1}{2} + \frac{1}{2}) + \frac{1}{2} = 1 + 1 + \frac{1}{2} = 2 + \frac{1}{2}}\)

Таким образом получится, что каждому мальчику достанется два апельсина, да еще половинка: \(\mathbf{2 + \frac{1}{2}}\) апельсина.

2. Можно поделить поровну сначала целые апельсины.

В таком случае каждому брату достанется по два апельсина.

Затем оставшийся апельсин необходимо разделить поровну на двоих, так каждый получит еще по половине апельсина, т.е. (\(\mathbf{\frac{1}{2}}\)) его часть.

В результате оба брата получат по два целых апельсина, да еще половину: \(\mathbf{2 + \frac{1}{2}}\) апельсина.

Сумму \(\mathbf{A + \frac{m}{n}}\), где А- это натуральное число, \(\mathbf{\frac{m}{n}}\)- правильная дробь, можно записать в виде \(\mathbf{A\frac{m}{n}}\).

Такую сокращенную запись называют смешанным числом, оно имеет целую часть (натуральное число) и дробную часть (дробное число).

Дробная часть смешанного числа- это всегда правильная дробь.

Например, представим смешанные числа в виде суммы их целой и дробной части.

\(\mathbf{1\frac{4}{11} = 1 + \frac{4}{11}}\) (целая часть равна 1, дробная- \(\mathbf{\frac{4}{11}}\)).

\(\mathbf{7\frac{10}{15} = 7 + \frac{10}{15}}\) (целая часть равна 7, дробная- \(\mathbf{\frac{10}{15}}\)).

\(\mathbf{\frac{5}{16} = 0 + \frac{5}{16}}\) (целая часть отсутствует, т.е. равна 0, дробная- \(\mathbf{\frac{5}{16}}\)).

А теперь наоборот сумму натурального числа и правильной дроби представим в виде смешанного числа.

Выразим в килограммах 3 килограмма 150 граммов.

Известно, что 1 кг = 1000 г.

Значит 150 г- это часть от килограмма, т.е. часть от 1000 г.

Чтобы узнать какую часть составляет 150 г от 1000 г, необходимо 150 разделить на 1000, получим \(\mathbf{\frac{150}{1000}}\).

В итоге имеем 3 килограмма, да еще часть- \(\mathbf{\frac{150}{1000}}\) килограмма, получаем \(\mathbf{3 + \frac{150}{1000}}\).

Ответ: 3 килограмма 150 граммов- это \(\mathbf{3\frac{150}{1000}}\) килограмма.

Запишем определение.

Число, содержащее целую часть (натуральное число) и дробную часть (правильную дробь), называют смешанным числом.

Читают смешанное число следующим образом: произносится сначала целая часть, затем дробная, в соответствии с правилами чтения дробных чисел.

В нашем примере про апельсины выражение \(\mathbf{2 + \frac{1}{2}}\) можно записать как \(\mathbf{2\frac{1}{2}}\).

Число 2- это целая часть смешанного числа, а число \(\mathbf{\frac{1}{2}}\) его дробная часть.

Читается данное число так: «Две целых одна вторая».

Любое смешанное число можно перевести в неправильную дробь.

Выясним взаимосвязь смешанных чисел и неправильных дробей на примере.

Испекли три одинаковые пиццы.

От первой пиццы съели несколько кусочков, в результате от нее осталась часть, равная \(\mathbf{\frac{5}{8}}\) всей пиццы.

По сути осталось несъеденными 2 (две) целых да еще \(\mathbf{\frac{5}{8}}\) (пять восьмых) пиццы.

Если мы сложим эти два числа, то получим сумму \(\mathbf{2 + \frac{5}{8}}\).

Выражение \(\mathbf{2 + \frac{5}{8}}\) представляет собой ничто иное, как смешанное число \(\mathbf{2\frac{5}{8}}\) (две целых пять восьмых).

Общее количество оставшейся пиццы мы можем определить иначе.

Возьмем так же три одинаковые пиццы и разрежем каждую на восемь равных частей.

Теперь вторую и третью пиццу мы можем представить в виде дроби \(\mathbf{\frac{8}{8}}\), а остаток от первой запишем как \(\mathbf{\frac{5}{8}}\).

В результате общее количество несъеденной пиццы будет выражаться суммой:

\(\mathbf{\frac{5}{8} + \frac{8}{8} + \frac{8}{8} = \frac{5 + 8 + 8}{8} = \frac{13 + 8}{8} = \frac{21}{8}}\)

При этом ясно, что общее количество оставшейся пиццы, найденное первым способом и вторым, совпадают, значит \(\mathbf{2\frac{5}{8} = \frac{21}{8}}\).

Запишем алгоритм перевода смешанного числа в неправильную дробь.

Чтобы представить смешанное число в виде неправильной дроби, необходимо:

1. Умножить целую часть смешанного числа на знаменатель его дробной части.

2. К полученному произведению прибавить числитель дробной части.

3. Записать полученный результат суммы в числитель новой дроби.

4. Знаменатель оставить без изменений.

Рассмотрим несколько примеров.

Пример №1.

Представьте смешанное число \(\mathbf{6\frac{2}{5}}\) в виде дроби.

1. Умножим целую часть смешанного числа (число 6) на знаменатель его дробной части (число 5), получим число 30.

6 • 5 = 30

2. К полученному произведению (число 30) прибавим числитель дробной части смешанного числа (число 2), получим число 32.

3. Запишем полученную сумму (число 32) в числитель новой дроби, а знаменатель останется прежним (число 5).

\(\mathbf{\color{red}{6}\frac{\color{green}{2}}{\color{blue}{5}} = \frac{\color{red}{6} \cdot \color{blue}{5} + \color{green}{2}}{\color{blue}{5}} = \frac{30 + \color{green}{2}}{\color{blue}{5}} = \frac{32}{\color{blue}{5}}}\)

Получили неправильную дробь \(\mathbf{\frac{32}{5}}\).

Ответ: \(\mathbf{6\frac{2}{5} = \frac{32}{5}}\).

Пример №2.

Представьте смешанное число \(\mathbf{20\frac{1}{3}}\) в виде дроби.

Умножим целую часть смешанного числа на знаменатель его дробной части, к полученному произведению прибавим числитель дробной части, запишем полученный результат суммы в числитель новой дроби, а знаменатель оставим без изменений.

\(\mathbf{\color{red}{20}\frac{\color{green}{1}}{\color{blue}{3}} = \frac{\color{red}{20} \cdot \color{blue}{3} + \color{green}{1}}{\color{blue}{3}} = \frac{60 + \color{green}{1}}{\color{blue}{3}} = \frac{61}{\color{blue}{3}}}\)

Получили неправильную дробь \(\mathbf{\frac{61}{3}}\).

Ответ: \(\mathbf{20\frac{1}{3} = \frac{61}{3}}\).

Пример №3.

Представьте смешанное число \(\mathbf{3\frac{3}{4}}\) в виде дроби.

Умножим целую часть смешанного числа на знаменатель его дробной части, к полученному произведению прибавим числитель дробной части, запишем полученный результат суммы в числитель новой дроби, а знаменатель оставим без изменений.

\(\mathbf{\color{red}{3}\frac{\color{green}{3}}{\color{blue}{4}} = \frac{\color{red}{3} \cdot \color{blue}{4} + \color{green}{3}}{\color{blue}{4}} = \frac{12 + \color{green}{3}}{\color{blue}{4}} = \frac{15}{\color{blue}{4}}}\)

Получили неправильную дробь \(\mathbf{\frac{15}{4}}\).

Ответ: \(\mathbf{3\frac{3}{4} = \frac{15}{4}}\).

Возможна и обратная операция.

Неправильную дробь, в которой числитель нацело не делится на знаменатель, можно представить в виде смешанного числа.

Чтобы перейти от неправильной дроби к смешенному числу, необходимо выделить целую часть.

Выделить целую часть из неправильной дроби- это значит заменить неправильную дробь равным ей смешанным числом.

Для этого необходимо разделить с остатком числитель неправильной дроби на знаменатель.

При этом неполное частное будет являться целой частью, остаток- числителем, а делитель- знаменателем.

Знаменатель неправильной дроби всегда равен знаменателю дробной части смешенного числа.

Запишем алгоритм выделения целой части из неправильной дроби.

Чтобы перейти от неправильной дроби к смешанному числу, необходимо:

1. Разделить с остатком числитель неправильной дроби на ее знаменатель.

2. Неполное частное будет представлять собой целую часть смешанного числа.

3. Если остаток есть, то его необходимо записать в числитель дробной части смешанного числа, а делитель в знаменатель.

Выясним, где на координатном луче находятся смешанные числа.

1. Для того чтобы изобразить на координатном луче смешанное число, важно выбрать правильно длину единичного отрезка.

Единичный отрезок целесообразно устанавливать такой длины, чтобы было удобно его разделить на части, количество которых должно соответствовать числу, стоящему в знаменателе.

2. Далее от начала отсчета нужно отложить определенное количество равных частей, соответствующих числу, стоящему в числителе.

Рассмотрим поясняющий пример.

Отметим на координатном луче точку с координатой \(\mathbf{2\frac{2}{3}}\).

\(\mathbf{2\frac{2}{3}}\)- это смешанное число.

Данное смешанное число содержит правильную дробь со знаменателем 3.

Следовательно, единичный отрезок разобьем на три равные части, каждая такая часть (доля) будет равна \(\mathbf{\frac{1}{3}}\) единичного отрезка.

Изобразим горизонтальный координатный луч, направленный вправо, с началом отсчета в точке О(0) и единичным отрезком ОЕ, равным 1 единице.

В таком случае одна часть (доля единичного отрезка) соответствует дроби \(\mathbf{\frac{1}{3}}\), две части- это \(\mathbf{\frac{2}{3}}\), три части- это 1.

Чтобы изобразить смешанное число \(\mathbf{2\frac{2}{3}}\), отсчитываем от начала координат два целых единичных отрезка, а от третьего единичного отрезка возьмем только две его доли из трех.

Отметим точку на координатном луче, назовем ее точка А(\(\mathbf{2\frac{2}{3}}\)).

Переведем смешанное число в неправильную дробь.

\(\mathbf{\color{red}{2}\frac{\color{green}{2}}{\color{blue}{3}} = \frac{\color{red}{2} \cdot \color{blue}{3} + \color{green}{2}}{\color{blue}{3}} = \frac{6 + \color{green}{2}}{\color{blue}{3}} = \frac{8}{\color{blue}{3}}}\)

Определим расположение точки с координатой \(\mathbf{\frac{8}{3}}\).

Дробь \(\mathbf{\frac{8}{3}}\) означает восемь долей единичного отрезка ОЕ.

Отложим от начала координат восемь долей, каждая из которых равна \(\mathbf{\frac{1}{3}}\) единичного отрезка.

Попадем в точку с координатой \(\mathbf{\frac{8}{3}}\).

В этой же точке мы ранее отметили точку А(\(\mathbf{2\frac{2}{3}}\)).

Смешанное число и соответствующая ему неправильная дробь, у которой числитель больше знаменателя, на координатном луче находятся всегда правее единицы и принадлежат они одной и той же точке координатного луча.

Рассмотрим пример.

Определим расположение точек В(\(\mathbf{1\frac{2}{3}}\)), С(\(\mathbf{2\frac{1}{3}}\)), D(\(\mathbf{\frac{12}{3}}\)) на координатном луче.

Изобразим горизонтальный координатный луч, направленный вправо, с началом отсчета в точке О(0) и единичным отрезком ОЕ, равным 1 единице.

Так как знаменатель каждой заданной дроби равен трем, то разобьем единичный отрезок ОЕ на три равные части, каждая часть будет равна \(\mathbf{\frac{1}{3}}\) ОЕ.

1. Смешанное число \(\mathbf{1\frac{2}{3}}\) представляет собой один целый единичный отрезок, да еще две части (доли) из трех от второго единичного отрезка.

Следовательно, точка В(\(\mathbf{1\frac{2}{3}}\)) будет удалена вправо от начала координат на расстояние одного целого единичного отрезка, да еще двух отрезков, каждый из которых равен одной доле единичного отрезка.

В данную точку также мы можем попасть, если от начала координат вправо отсчитаем пять долей единичного отрезка- (\(\mathbf{\frac{5}{3}}\))ОЕ.

Таким образом точка с координатой \(\mathbf{\frac{5}{3}}\) и точка с координатой \(\mathbf{1\frac{2}{3}}\) это одна и та же точка на координатном луче.

Отметим тот факт, что \(\mathbf{1\frac{2}{3}}\) смешанное число и соответствующая ему неправильная дробь \(\mathbf{\frac{5}{3}}\) больше единицы, и на координатном луче данные точки располагаются правее единицы (правее точки E(1)).

2. Выясним, где на координатном луче будет находиться точка С(\(\mathbf{2\frac{1}{3}}\)).

Смешанное число \(\mathbf{2\frac{1}{3}}\) представляет собой два целых единичных отрезка, да еще одну часть (долю) из трех от третьего единичного отрезка.

Отметим точку С(\(\mathbf{2\frac{1}{3}}\)) на координатном луче, для этого отсчитаем вправо от начала координат два целых единичных отрезка и еще одну долю единичного отрезка, равную \(\mathbf{\frac{1}{3}}\) ОЕ.

Так же в данную точку можно попасть, если от начала координат вправо отсчитать семь долей единичного отрезка- (\(\mathbf{\frac{7}{3}}\))OE.

Точка с координатой \(\mathbf{\frac{7}{3}}\) и точка с координатой \(\mathbf{2\frac{1}{3}}\) это одна и та же точка на координатном луче.

Смешанное число \(\mathbf{2\frac{1}{3}}\) и соответствующая ему неправильная дробь \(\mathbf{\frac{7}{3}}\) больше единицы, на координатном луче данные точки располагается правее единицы (правее точки E(1)) и правее найденной нами точки В(\(\mathbf{1\frac{2}{3}}\)).

3. Обозначим на координатном луче точку D с координатой \(\mathbf{\frac{12}{3}}\).

\(\mathbf{\frac{12}{3}}\)- неправильная дробь, в которой числитель больше знаменателя.

Найдем соответствующее этой дроби смешанное число, для этого выделим из дроби \(\mathbf{\frac{12}{3}}\) целую часть.

\(\mathbf{\frac{12}{3} = 12 \div 3 =4}\)

Получается, что дробь \(\mathbf{\frac{12}{3}}\) равна четырем целым единичным отрезкам.

Дробная часть данного числа отсутствует, т.е. она равна нулю.

\(\mathbf{\frac{12}{3}}\) и 4- это одно и то же число, значит \(\mathbf{\frac{12}{3} = 4}\).

Отложим от начала координат четыре целых единичных отрезка и обозначим точку D(\(\mathbf{\frac{12}{3}}\)).

Обратите внимание как расположены смешанные числа на координатном луче, чем правее от единицы находится смешанное число, тем оно больше.