Урок 10 Бесплатно Сложение натуральных чисел и его свойства

Натуральные числа для вас являются привычными и давно знакомыми.

С детства считая предметы или указывая их порядковые номера, вы использовали натуральные числа.

С натуральными числами можно производить основные математические операции: складывать, вычитать, умножать, делить, сравнивать.

На этом занятии мы поговорим об операции сложения натуральных чисел, рассмотрим, как можно проиллюстрировать сложение чисел на координатном луче.

Определим основные свойства сложения и научимся применять их при решении задач.

Продемонстрируем свойства сложения с помощью координатного луча.

Научимся группировать и округлять натуральные числа при сложении.

Сложение натуральных чисел

Первым делом вспомним, что называют числовым рядом натуральных чисел и как он выглядит.

Натуральный ряд- это неограниченная последовательность натуральных чисел, расположенных в порядке их возрастания (каждое число стоит на своем месте).

У меня есть дополнительная информация к этой части урока!

Закрыть

В конце XIX века в работах итальянского математика Дж. Пеано были сформулированы аксиомы - истинные утверждения, которые не требуют доказательств, для множества натуральных чисел:

1. Единица- это натуральное число, которое непосредственно не следует ни за каким натуральным числом

2. За каждым натуральным числом следует одно и только одно натуральное число

3. Каждое натуральное число, отличное от единицы, следует за одним и только одним натуральным числом

Таким образом, в натуральном ряду каждое последующее число больше предыдущего на единицу.

Если не известно какое-либо число из натурального ряда, его можно определить прибавлением к предыдущему числу единицы.

Найдем в натуральном ряду, изображенном на картинке, пропущенное число, которое следует за числом три.

Прибавим к тройке единицу и получим следующее за тройкой число, равное четырем.

Получим натуральный ряд:

Попробуем сложить числа 2 и 3, действуя по аналогии с предыдущим примером.

К числу 2 прибавим три раза по единице.

К числу 2 прибавим единицу - получим число 3. К числу 3 прибавим единицу - получим число 4. К 4 прибавим единицу - получим число 5.

В результате сложения чисел 2 и 3 получили число 5.

Данный способ сложения натуральных чисел легко представить на маленьких числах.

Рассмотрим пример, в котором необходимо сложить два больших числа:

Маша прочитала за первый день 25 страниц рассказа, за второй день она прочитала 35 страниц.

Чтобы определить общее число страниц, которые прочитала маша, можно было бы пересчитать все страницы по одной, отсчитывая сначала 25 страниц, затем еще 35.

Времени на решение поставленной задачи было бы затрачено много, да и запись решения такого примера получилась бы очень громоздкой.

Чтобы освободится от пересчета объектов, используют операцию сложения.

Сложение- это арифметическое действие, в результате которого происходит объединение исчисляемых объектов в единое целое.

Результат операции сложения называется суммой (от латинского - итог, общее количество).

В общем виде операция сложения выглядит так:

Для записи сложения используют математический знак плюс «+», который находится между складываемыми числами.

Складываемые числа называют слагаемыми.

Операция сложения и результат сложения соединяются знаком равно «=».

У меня есть дополнительная информация к этой части урока!

Закрыть

Знак равенства «=» в математике- это символ, который пишется между идентичными по своему значению выражениями.

11

Знак равенства обозначался в разные времена по-разному.

В античной математике знак равенства обозначали в виде слова (например, est и egale).

В качестве обозначения знака равенства пытались использовать первые буквы слова «равный» на различных языках.

Долгое время использовали аббревиатуру «ае» от латинского слова aegualis- «равный».

Знак равенства в том виде, в котором мы его знаем сейчас, предложил математик Роберт Рекорд в 1557 году.

Этот знак он изобразил в виде двух горизонтальных отрезков, стоящих на одинаковом расстоянии друг от друга «=».

Продолжительное время знак равенства не приживался, свое распространение он получил только столетие спустя, так как многие именитые ученые использовали в своих трудах в качестве знака равенства аббревиатуру «ае», продолжительное время знаком равно «=» обозначали совсем иное математическое понятие- параллельные прямые

Решение нашей задачи будет выглядеть так:

Найдем сумму страниц, прочитанных Машей за два дня.

25 + 35 = 60 (страниц)

Эта запись читается так: «Сумма 25 (двадцати пяти) и 35 (тридцати пяти) равняется 60 (шестидесяти) или «25 (двадцать пять) плюс 35 (тридцать пять) равно 60 (шестьдесят)»

 

Сложение небольших натуральных чисел легко представить на координатном луче.

Найдем сумму чисел 2 и 4.

Изобразим горизонтальный координатный луч, направленный вправо, с началом отсчета в точке О (0) и единичным отрезком 1 деление = 1 единица.

Известно, что любому числу координатного луча соответствует одна единственная точка.

Выполним сложение натуральных чисел 2 и 4 на координатном луче:

Отметим на координатном луче число 2

К числу 2 прибавим 4, т.е. переместим точку А(2) на 4 единичных отрезка вправо, окажемся в точке В (6)

Следовательно, сумма чисел 2 и 4 равна 6

2 + 4 = 6

Ответ: 6

Пройти тест
Закрыть тест

Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации

Свойства сложения натуральных чисел

Рассмотрим свойства сложения натуральных чисел.

1. Переместительное свойство сложения.

Чтобы лучше понять переместительное свойство сложения натуральных чисел, рассмотрим задачу:

В вазу для фруктов положили 4 яблока и 3 груши, в результате в вазе оказалось 7 фруктов.

Представим другую ситуацию: в вазу для фруктов положили сначала 3 груши, затем 4 яблока, общее количество фруктов в вазе стало равным 7.

В первом и во втором случае общее количество фруктов, которые положили в вазу, одинаковое.

Таким образом, если сложить 4 яблока и 3 груши, то получится такой же результат, как при сложении 3 груш и 4 яблок.

Получаем:

4 + 3 = 7

3 + 4 = 7

4 + 3 = 3 + 4

Продемонстрируем рассмотренный пример на координатном луче.

Изобразим горизонтальный координатный луч, направленный вправо, с началом отсчета в точке О (0) и единичным отрезком (1 деление = 1 единица).

Первый вариант задачи: 4 + 3

Отметим точку (4) на координатном луче, отложив 4 единичных отрезка вправо от точки О (0).

К числу 4 прибавим число 3, т.е. переместим точку С(4) на 3 единичных отрезка вправо, получим точку D(7), следовательно, сумма 4 + 3 = 7

Второй вариант задачи: 3 + 4

Отметим точку Е (3) на координатном луче, отложив 3 единичных отрезка вправо от точки О (0).

К числу 3 прибавим число 4, т.е. переместим точку E (3) на 4 единичных отрезка вправо, получим точку (7), следовательно, сумма 3 + 4 = 7

Cформулируем переместительное свойство сложения.

От перестановки слагаемых сумма не меняется.

В общем виде данное свойство выглядит так:

2. Сочетательное свойство сложения натуральных чисел.

Рассмотрим данное свойство на примере.

В овощной салат нарезали 2 огурца, затем добавили 1 луковицу и 3 томата.

Рассмотрим другую ситуацию: в салат положили сначала 2 огурца и луковицу, а затем добавили 3 томата.

В первом и во втором случае для приготовления салата было использовано 6 овощей (2 огурца, 1 луковица, 3 томата).

Таким образом, результат сложения числа 2 с суммой чисел 1 и 3 равен результату сложения суммы чисел 2 и 1 с числом 3

2 + (1 + 3) = (2 + 1) + 3

Сочетательное свойство сложения звучит так:

Чтобы прибавить к числу сумму двух чисел, можно сначала прибавить к нему первое слагаемое, а потом к полученной сумме второе.

Последовательность действий при суммировании не важна.

В общем виде сочетательное свойство сложения выглядит так:

Изобразим рассмотренный пример на координатном луче.

Изобразим горизонтальный координатный луч, направленный вправо, с началом отсчета в точке О(0) и единичным отрезком (1 деление = 1 единица).

Первый вариант задачи: 2 + (1 + 3) = 2 + 4 = 6 (к числу 2 прибавили сумму двух чисел 1 и 3).

Второй вариант задачи: (2 + 1) + 3 = 3 + 3 = 6 (к числу 2 прибавили сначала единицу, затем к тому что получилось прибавили второе число равное 3).

Отметим точку С (2) на координатном луче (два огурца).

Решение первого варианта задачи: к двум прибавить сумму 1 + 3 = 4 (одна луковица и три томата), т.е. отложить в правую сторону от точки С (2) 4 единичных отрезка, остановимся в точке D c координатой, равной 6 (общее количество овощей в салате).

Решение второго варианта задачи: к числу 2 (число обозначающее количество огурцов в салате) прибавить сначала 1 (количество луковиц), т.е. от точки С (2) отложить на координатном луче вправо один единичный отрезок.

Затем к полученному результату прибавить число 3 (число обозначающее количество томатов), т.е. от точки Е (3) отступить 3 единичных отрезка вправо, - остановимся в точке D c координатой равной 6 (общее количество овощей в салате).

В первом и во втором варианте в результате всех производимых действий мы оказывались в точке (6), следовательно, общее количество овощей в салате в первом и во втором варианте задачи одинаковое и равно шести.

3. Свойство сложения нуля с натуральным числом и натурального числа с нулем.

Представим, что в пустую корзину положили 6 яблок.

Это значит в корзине находилось ноль яблок и в нее помещают 6 яблок.

Понятно, что в результате в вазе оказалось 6 яблок.

0 + 6 = 6

При сложении нуля с каким-либо числом всегда получается это самое число.

 

Аналогичная ситуация будет складываться, если в корзине находилось 6 яблок и в нее больше ничего не положили, то в корзине останется прежнее число яблок.

Если к числу прибавлять ноль (т.е. ничего не прибавлять), то получится исходное число.

6 + 0 = 6

Сумма двух слагаемых, если одно из слагаемых равно нулю, будет всегда равна другому слагаемому.

Рассмотрим, как выглядит данное свойство на координатном луче.

Изобразим горизонтальный координатный луч, направленный вправо, с началом отсчета в точке О (0) и единичным отрезком (1 деление = 1 единица).

6 + 0 = 6

К 6 прибавить 0, значит, точку с координатой 6 переместить на 0 единичных отрезков, т.е. оставить точку на том же месте.

0 + 6 = 6

К 0 прибавить 6, значит, от точки О (0) отложить вправо 6 единичных отрезков, полученная точка с координатой 6 является суммой чисел 0 и 6

Переместительное и сочетательное свойство сложения используют для упрощения вычисления математических выражений.

В выражениях со скобками первым действием выполняют то, которое стоит в скобках.

Когда в записи суммы нет скобок, то сложение выполняют по порядку слева направо.

При вычислении суммы, состоящей из трех и более слагаемых, удобно использовать сразу переместительное и сочетательное свойство сложения, группируя слагаемые, объединяя их по определенному признаку с помощью скобок.

Группировать числа лучше так, чтобы в сумме эти числа давали круглое число (число, оканчивающееся на ноль), с такими числами легче выполнять математические операции.

Пример:

Дано выражение 15 + 23 + 35 + 17

Найдем сумму чисел удобным способом.

Решение:

Проще решить данное выражение, объединив с помощью скобок слагаемые так, чтобы в сумме они давали круглые числа.

Используя переместительное и сочетательное свойство сложения, переставим местами слагаемые и сгруппируем их.

Ответ: 90

У меня есть дополнительная информация к этой части урока!

Закрыть

Круглые числа легче сложить друг с другом.

Пример:

Существует правило: сумма чисел не изменяется, если к одному из слагаемых прибавить несколько единиц, а из другого слагаемого вычесть такое же количество единиц.

Найдем сумму чисел 49 и 13

Увеличим слагаемое 49 на одну единицу; таким образом, округлим его до 50

Но, увеличивая одно слагаемое на одну единицу, необходимо второе слагаемое уменьшить на одну единицу для сохранения равенства.

Уменьшим число 13 на одну единицу.

В результате:

49 + 1 = 50

13 - 1 = 12

Получаем следующее выражение:

50 + 12 =62

Ответ: 62.

Данный прием округления особенно удобно использовать при устных вычислениях.

Пройти тест
Закрыть тест

Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации

Заключительный тест

Пройти тест