Урок 11 Получить доступ за 75 баллов Разложение числа по разрядам. Способы сложение натуральных чисел

Вы уже имеете общее представление об арифметической операции сложения и знаете свойства сложения натуральных чисел.

Сегодня вспомним наименования разрядов и классов.

Выясним, как записывают и читают большие натуральные числа.

Разберемся, что представляют собой разрядные слагаемые и как определить сумму разрядных слагаемых.

Познакомимся с различными способами и приемами сложения многозначных натуральных чисел, закрепим полученные знания на примерах.

С давних времен люди стремились не только уметь считать, но и уметь записывать числа.

Сначала для записи чисел применяли черточки, точки, метки и другие способы представления количества чего-либо, сейчас для этих целей используют цифры.

Сегодня цифры и числа окружают нас повсюду.

Мы не можем себе представить дату без чисел, невозможно измерить рост, массу, время, возраст, считать предметы, совершить покупку, продать, позвонить и т.д.

Число- это математическое понятие, которое используется для количественной характеристики, нумерации объектов и их частей, сравнения.

Каждое число состоит из цифр.

Цифрой называют знак, используемый для записи числа.

Цифры, которые мы используем в повседневной жизни, называют арабскими.

Их существует всего десять: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

Все цифры кроме нуля называют значащими.

Нуль- это знак, который не указывает никакого числа, т.е. указывает на его отсутствие.

Запись числа с помощью десяти арабских цифр называют десятичной системой счисления.

Название системы счисления определяется ее основанием: количеством цифр, которые используются в данной системе счисления.

Цифры, из которых строятся числа десятичной системы счисления, называют узловыми:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0.

Все остальные числа, которые состоят из узловых, называют алгоритмическими, например, 48, 35, 675, 2468 и т.д.

Десятичная система счисления является позиционной системой счисления, так как значение каждой цифры, из которых состоит число, зависит от ее позиции (места) в этом числе.

Место записи цифры в числе называют разрядом числа.

Счет разрядов идет справа налево.

В записи числа первая цифра справа называется цифрой первого разряда (разряд единиц)- это самый младший разряд.

Идущая следом за разрядом единиц, вторая цифра в числе - это цифра второго разряда, обозначающая количество десятков в числе (разряд десятков).

Третья цифра с конца числа указывает на количество сотен в числе - цифра третьего разряда (разряд сотен).

Например, в числе 182 три разряда: первый разряд (разряд единиц) состоит из 2 единиц, второй разряд (разряд десятков) состоит из 8 десятков, третий разряд (разряд сотен) состоит из 1 сотни.

Если в записи числа вместо какого-либо разряда стоит «0» (нуль), то это означает, что цифра данного разряда отсутствует.

Например,

Сравним прочтение чисел 201 и 241

Каждые 10 единиц одного разряда составляют одну единицу следующего (более высокого разряда).

Например, единицы называют простыми единицами.

10 простых единиц составляют десяток.

10 десятков составляют сотню.

10 сотен составляют тысячу.

10 тысяч (один десяток тысяч) составляют десять тысяч (10000)

10 десятков тысяч составляют сто тысяч (100000)

И так далее…

Числа, которые записаны с помощью одной цифры, называют однозначными числами (числами первого порядка).

Числа, записанные с помощью двух цифр, называют двузначными числами (числами второго порядка).

Числа, которые состоят из трех цифр, называют трехзначными (числами третьего порядка) и т.д.

Пример:

1, 2, 5, 6- однозначные числа.

Самое маленькое однозначное натуральное число 1, самое большое- 9

10, 24, 38, 85- двузначные числа.

Самое маленькое двузначное натуральное число 10, самое большое- 99

278, 456, 882, 312- трехзначные числа.

Самое маленькое трехзначное натуральное число 100, самое большое- 999

Числа, для записи которых используют более одной цифры, называют многозначными числами.

Для удобства чтения многозначных чисел их разбивают на группы по три цифры, начиная справа; такие группы цифр называют классами.

Каждый класс содержит три разряда, записанных справа налево, начиная с разряда единиц, далее разряд десятков, затем идет разряд сотен.

Самый последний левый класс натурального многозначного числа может состоять из одного или двух разрядов.

Каждый класс имеет свое название.

Три первые цифры с конца числа составляют класс единиц, три следующие - класс тысяч, далее идет класс миллионов, затем класс миллиардов и т.д.

Разряды повторяются по очереди в каждом классе, обозначая единицы, десятки и сотни соответствующих классов тысяч, миллионов, миллиардов и т.д.

Изобразим таблицу классов и разрядов натуральных чисел.

Вы уже имеете общее представление об операции сложения чисел и знаете свойства сложения натуральных чисел.

Уроком ранее мы выяснили, что сложение- это арифметическая операция объединения исчисляемых объектов в одно целое.

Результат сложения чисел называют суммой этих чисел.

Складываемые числа называют слагаемыми.

Для записи сложения используют знак плюс «+»

В повседневной жизни, на работе, на учебе возникает необходимость оперативно и качественно решать задачи и производить определенные арифметические действия, выбирая для этого оптимально удобный способ решения.

Сейчас рассмотрим некоторые способы и приемы, позволяющие верно, быстро и легко вычислит сумму натуральных чисел.

1. Таблица сложения натуральных чисел

Для сложения чисел первого десятка удобно пользоваться таблицей сложения, с которой вы знакомились в начальных классах.

Запомнив данную таблицу наизусть, легко и просто выполнить задание на вычисление суммы чисел.

Разберем правила пользования таблицей сложения натуральных чисел.

Известно, что операция сложения выглядит так:

Слагаемое №1 + Слагаемое №2 = Сумма

Таблица представляет собой квадрат, разбитый на десять строк и десять столбцов.

По верхнему краю и по левому краю пронумерованы ячейки от 1 до 10

Например, чтобы сложить два натуральных числа 4 и 7, нужно выполнить следующие действия:

1. В верхней первой строке таблицы найти ячейку со значением 4.
2. В левом крайнем столбце найти ячейку со значением 7.
3. На пересечении соответствующих столбца и строки находится ячейка с числом 11 - это число является суммой чисел 4 и 7.

Таким образом, 4 + 7 = 11

Такой же результат будет получен, если с помощью таблицы сложим 7 и 4.

1. Необходимо в первой строке таблиц найти число 7.
2. В левом крайнем столбце найти ячейку со значением 4.
3. На пересечении соответствующих столбца и строки также находится ячейка с числом 11 - это число является суммой чисел 7 и 4.

Таким образом, 7 + 4 = 11

Таблицей удобно пользоваться при сложении многозначных чисел по разрядам, если условно принять, что в таблице складываются десятки с десятками или сотни с сотнями, или тысячи с тысячами и т.д.

Пример:

Найдите сумму чисел 20 и 60 с помощью таблицы сложения натуральных чисел.

Решение:

С помощью таблицы уже известным способом сложим числа 2 и 6, суммой данных чисел является ячейка со значением 8.

Условно представим, что ячейка со значением 2- это 2 десятка, ячейка со значением 6- это 6 десятков.

Следовательно, ячейка с результатом 8, образованная пересечением соответствующего столбца и строки, по смыслу означает 8 десятков.

20 + 60 = 80

Ответ: 80

Для перехода при сложении на следующий разряд вспомним, что каждые 10 единиц одного разряда составляют одну единицу следующего (более высокого разряда).

Пример:

Вычислите по таблице сумму чисел 700 и 300.

Решение:

С помощью таблицы уже известным способом сложим числа 7 и 3, суммой данных чисел является ячейка со значением 10

Условно представим, что ячейка со значением 7- это 7 сотен, ячейка со значением 3 означает 3 сотни.

Следовательно, ячейка с результатом 10, образованная пересечением соответствующего столбца и строки, по смыслу означает 10 сотен.

Нам известно, что 10 сотен = 1000

Таким образом, получаем 700 + 300 = 1000

Ответ: 1000 

Пример:

Вычислите сумму 60 и 70 с помощью таблицы сложения.

Решение:

По таблице сложения чисел видно, что 6 + 7 = 13

Следовательно, если сложить 6 десятков и 7 десятков, получим 13 десятков.

Так как число 13 состоит из 1 десятка и 3 единиц, то 13 десятков состоят из 10 десятков и 3 десятков.

10 десятков = 100

3 десятка = 30

Получим 100 + 30 = 130.

Ответ: 130

Конечно, таблица сложения натуральных чисел позволяет наглядно легко и быстро определить сумму чисел, но не всегда она находится под рукой.

2. Способ поразрядного сложения натуральных чисел.

Рассмотрим еще один способ определения суммы чисел.

Первым делом научимся представлять натуральные числа в виде суммы разрядных слагаемых.

Разрядные слагаемые натурального числа имеют ряд характерных признаков:

1. Разрядные слагаемые- это числа, в записи которых находится только одна цифра, отличная от нуля.

Например, 10, 200, 6000, 40000 и т.д.

2. Разрядные слагаемые одного натурального числа имеют разное количество знаков в своей записи (т.е. состоят из разного количества цифр).

3. Количество разрядных слагаемых натурального числа должно быть равно количеству цифр, отличных от нуля, в записи числа.

Сумма разрядных слагаемых- это запись многозначного числа, как суммы его разрядных единиц.

Сумма разрядных слагаемых равна исходному натуральному числу.

Любое натуральное число можно записать в виде суммы разрядных слагаемых.

Для этого необходимо:

1. Определить по количеству цифр в числе количество разрядных слагаемых, отличных от нуля.

2. Определить количество единиц, десятков, сотен, тысяч и т.д.

3. Записать число в виде суммы разрядных слагаемых.

Пример:

Разложите натуральное число 2456 в виде суммы разрядных слагаемых.

Решение:

Число 2456 представляет собой сумму четырех разрядных слагаемых (так как число состоит из 4 цифр, неравных нулю).

Число 2456 содержит:

2456 = 2 тысячи + 4 сотни + 5 десятков + 6 единиц = 2000 + 400 + 50 + 6

Рассмотрим алгоритм поразрядного сложения натуральных чисел.

1. Слагаемые разложить на разрядные слагаемые.

2. Выполнить сложение одноименных разрядов (единиц с единицами, десятки с десятками и т.д.) используя при этом переместительное и сочетательное свойства сложения.

Пример:

Найдите сумму чисел 245 и 25 способом последовательного поразрядного сложения.

Решение:

Разложим первое и второе слагаемое на разрядные слагаемые.

245 = 2 сотни + 4 десятка + 5 единиц = 200 + 40 + 5

25 = 2 десятка + 5 единиц = 20 + 5

Выполним сложение одноименных разрядов чисел 245 и 25.

245 + 25 = 200 + 40 + 5 + 20 + 5 = 200 + (40 + 20) + (5 + 5) = 200 + (60 + 10) = 200 + 70 = 270

Получаем 245 + 25 = 270

Ответ: 270

3. Сложение натуральных чисел «столбиком»

Рассмотренный способ поразрядного сложения довольно громоздкий в оформлении и не очень удобный для определения суммы больших чисел или нескольких больших чисел.

Поэтому часто многозначные числа складывают в столбик.

Чтобы сложить натуральные числа данным способом, нужно записать слагаемые в столбик так, чтобы цифры одноименных разрядов находились друг под другом (единицы под единицами, десятки под десятками, сотни под сотнями и т.д.).

При сложении столбиком самая правая цифра одного числа (разряд единиц первого слагаемого) должна располагаться под самой правой цифрой другого числа (разряд единиц второго слагаемого).

Нам известно, что от перестановки слагаемых сумма не меняется, следовательно, записывать слагаемые в столбик можно в любом порядке.

Затем слева между числами-слагаемыми ставится знак плюс «+».

Под нижним слагаемым проводится горизонтальная черта.

Сложение чисел начинается с разряда единиц (с крайнего правого столбца).

Складывают цифры одного разряда, результат записывают под горизонтальной чертой под тем разрядом, в котором выполнялось сложение.

Если в результате получается число меньше 10 (однозначное число), то оно записывается в столбик соответствующего разряда под чертой.

Если в результате получается двузначное число, то под чертой записывается значение разряда единиц полученного числа, а число десятков либо запоминается (держится в уме), либо подписывается сверху над следующим столбиком в дополнительной строке.

Далее складываются числа в следующем столбике, т.е. складываются значение следующего разряда слагаемых.

Действия совершаются аналогично изложенным выше, однако к суме еще добавляется число десятков, которые «держали в уме» (если такое было).

Соответственно, если получается однозначное число, его записывают под чертой в столбик соответствующего разряда.

Если число в результате сложения получается двузначное, то снова под линией записывается число единиц полученного промежуточного значения, а значение десятков запоминается или записывается в дополнительной строке.

Так происходит переход к следующему столбику (следующим разрядам слагаемых) и производятся все выше описанные действия.

Натуральное число, которое образуется после завершения операции сложения, является результатом суммы исходных чисел.

Пример:

Выполните сложение двух чисел 75806 и 2798.

Решение:

Запишем два числа в столбик так, чтобы одноименные разряды стояли друг под другом.

Между числами поставим знак плюс «+», под нижним слагаемым проведем горизонтальную черту.

Складываем числа из правого столбца: 6 и 8.

Получаем число 14- двузначное число.

Под горизонтальной линией записываем число 4 (значение разряда единиц числа 14), а число 1 (значение разряда десятков числа 14) запоминаем.

Записываем запомненную 1 сверху в дополнительной строке над соседним столбцом.

Продолжаем вычисление, складываем цифры слагаемых, стоящих во втором столбце справа.

Так как 0 + 0 = 0, но была запомнена 1, то получим 0 + 0 + 1 = 1

Число 1- однозначное число, следовательно, его просто записываем под чертой в соответствующем разряде.

Переходим к следующему столбцу.

Складываем 8 и 9, при этом в памяти нет никаких запомненных чисел, поэтому больше ничего к ним не прибавляем

8 + 9 = 17

Получили двузначное число 17.

Следовательно, число 7 записываем под горизонтальной чертой (значение разряда единиц числа 17), а число 1 (значение разряда десятков числа 17) запоминаем.

Записываем запомненную 1 сверху в дополнительной строке над соседним столбцом.

Переходим к четвертому столбцу.

Складываем 5 и 7.

В памяти была запомнена 1, поэтому к сумме чисел 5 и 7 прибавляем 1.

5 + 7 + 1 = 13

Получили двузначное число 13.

Следовательно, число 3 записываем под горизонтальной чертой, а число 1 запоминаем, переносим в следующий разряд.

На последнем шаге складываем 2 и 7

2 + 7 = 9

К 9 прибавляем запомненную 1, получаем: 9 + 1 = 10

Так как 10 - двузначное число, число 0 записываем под горизонтальной чертой, а число 1 запоминаем.

Но в следующем столбце исходные слагаемые не имеют цифр, запомненную 1 сносим вниз и записываем под чертой.

Сложение двух натуральных чисел 75806 и 27908 завершено, сумма данных чисел равна 103714

75806 + 27908 = 103714

Ответ: 103714

Столбиком можно складывать различное количество слагаемых.

Алгоритм выполнения операции сложения в столбик нескольких слагаемых будет абсолютно аналогичным.

4. Группировка слагаемых и округление натуральных чисел.

Данный способ сложения натуральных чисел кратко уже был рассмотрен на прошлом уроке.

Известно, что число, которое оканчивается на нуль или несколько нулей, называют круглым числом.

С круглыми числами легко совершать арифметические операции.

Сложение способом округления натуральных чисел применяют, когда из слагаемых можно выбрать такие, которые в сумме будут давать круглые числа.

Разность между круглым и исходным числом называется арифметическим дополнением.

Чтобы произвести сложение многозначных натуральных чисел способом округления, необходимо:

1. Одно из слагаемых, которое близко к круглому числу, округлить.

2. Выполнить операцию сложения.

3. Из полученной суммы вычесть арифметическое дополнение.

Пример:

Найдите сумму чисел 1448 и 298

Решение:

Округлим число 298 до 300, а затем вычтем из полученной суммы арифметическое дополнение, равное 2

Получим выражение вида:

1448 + 298 = (1448 + 300) - 2 = 1748 - 2 = 1746

Ответ: 1746

Совместно с данным способом сложения натуральных чисел используют группировку слагаемых и применяют основные свойства сложения.

При вычислении суммы, состоящей из трех и более слагаемых, удобно использовать переместительное и сочетательное свойство сложения, группируя слагаемые, объединяя их по определенному признаку с помощью скобок таким образом, чтобы в сумме они давали круглые числа.

Пример:

Найдите сумму чисел 46 + 28 + 134 + 61

Решение:

Группируем числа так, чтобы в результате сложения этих чисел получалось круглое число.

Используя переместительное и сочетательное свойство сложения, переставим местами слагаемые и сгруппируем их.

46 + 28 + 134 + 61 = (46 + 134) + (28 + 61) = 180 + 89

Округлим число 89 до 90

В связи с этим из суммы чисел 180 и 90 вычтем арифметическое дополнение, равное 1

180 + 89 = (180 + 90) - 1 = 270 - 1 = 269

Ответ: 269