Урок 35 Получить доступ за 75 баллов Правильные и неправильные дроби

На этом уроке мы вспомним, что такое обыкновенная дробь.

Рассмотрим, какие виды обыкновенных дробей существуют и выясним, какую дробь считают правильной, а какую неправильной и научимся сравнивать их.

Определим месторасположение правильной и не правильной дроби на координатном луче.

Разберем несколько задач на нахождение части целого и целого по его части, в которых часть представлена в виде обыкновенной неправильной дроби.

Вам уже известно, что дробь представляет собой часть некоторой величины.

Обыкновенная дробь записывается двумя числами, разделенных чертой, которая называется дробной (она может быть горизонтальной и наклонной).

Число, стоящее над дробной чертой, называют числителем.

Числитель показывает, сколько долей взяли от целого.

Число, стоящее под дробной чертой, называют знаменателем.

Знаменатель показывает, на сколько всего равных долей разделили целое.

Дробь можно получить следующим образом: разделить целое на равные части и взять несколько из этих частей.

В качестве примера рассмотрим такую ситуацию.

Плитку молочного шоколада разделили на 8 равных долек и из них взяли и съели 4.

Восемь долек шоколадки- это одна целая плитка шоколада.

Одна долька этой шоколадки представляет собой 1/8 всей плитки.

Четыре дольки из восьми можно записать дробью, получим дробь 4/8 (четыре восьмых).

Дробь 4/8 указывает на то, что целое разделили на восемь равных частей и из них взяли четыре.

8 (общее количество долей)- знаменатель дроби 4/8.

4 (количество долей, которые взяли)- числитель дроби 4/8.

Обратим внимание на члены этой дроби (числитель и знаменатель).

4 и 8- это два натуральных числа, причем если их сравнить, то мы можем заметить, что число 4 меньше 8, т.е. числитель меньше знаменателя.

Обыкновенная дробь, в которой числитель меньше знаменателя, называется правильной дробью.

Давайте выясним являются ли дроби 5/8, 6/8, 7/8 правильными.

• Дробь 5/8 (пять восьмых) показывает (для нашего примера) часть шоколадной плитки, которую съели (пять долек из восьми).

Для данной дроби 5- это числитель, 8- это знаменатель.

Сравним числитель со знаменателем: 5 < 8.

Числитель меньше знаменателя, следовательно, дробь пять восьмых является правильной.

• Дробь 6/8 (шесть восьмых) показывает часть шоколадной плитки, которую съели (шесть долек из восьми).

Для данной дроби 6- это числитель, 8- это знаменатель.

Сравним числитель со знаменателем: 6 < 8.

Числитель меньше знаменателя, следовательно, дробь шесть восьмых является правильной.

• Дробь 7/8 (семь восьмых) показывает (для нашего примера) часть шоколадной плитки, которую съели (семь долек из восьми).

Для данной дроби 7- это числитель, 8- это знаменатель.

Сравним числитель со знаменателем: 7 < 8.

Числитель меньше знаменателя, следовательно, дробь семь восьмых является правильной.

Все дроби, рассмотренные нами, представляют собой некоторую часть одного целого (часть единицы).

Правильная дробь по сути своей- это некоторая часть от целого, а целое подразумевает единицу чего-либо.

В задаче про плитку шоколада за единицу принимается целая плитка шоколада.

Когда мы брали от всей шоколадки 4, 5, 6 или 7 долек, то в результате можно было съесть только лишь часть всей шоколадки, а часть- это всегда меньше, чем целое.

Правило: любая правильная дробь меньше единицы.

Выясним, какую дробь называют неправильной на следующем примере:

На праздник купили один большой торт и разрезали его на девять одинаковых частей (9 долей).

Каждый гость съел по кусочку этого торта, в результате торта больше не осталось.

Получается, что гости съели девять кусочков торта из девяти возможных.

В таком случае дробь \(\mathbf{\frac{9}{9}}\) будет показывать, что целое (весь торт) разделили на 9 долей и потом все эти 9 частей взяли, т.е. съели весь торт.

В данной дроби 9 (общее количество долей)- знаменатель дроби \(\mathbf{\frac{9}{9}}\).

9 (количество долей, которые взяли)- числитель дроби \(\mathbf{\frac{9}{9}}\).

Очевидно, что дробь \(\mathbf{\frac{9}{9}}\) будет равна единице.

Любая дробь, в которой числитель равен знаменателю, равна единице.

Дробь \(\mathbf{\frac{m}{n}}\), где n = m, всегда равна единице.

Например, \(\mathbf{\frac{20}{20} = 1}\), \(\mathbf{\frac{100}{100} = 1}\), \(\mathbf{\frac{1543}{1543} = 1}\), \(\mathbf{\frac{1}{1} = 1}\) и т.д.

Давайте выясним может ли обыкновенная дробь больше единицы.

Рассмотрим еще одну ситуацию.

Допустим, на праздник купили два одинаковых торта.

Каждый торт разрезали на девять равных частей.

За все время праздника гости съели 13 кусочков торта.

От второго торта осталось 5 несъеденных куска.

Когда разделили оба торта на 9 равных частей, в итоге получили 18 одинаковых кусочков (равных долей), они составляют два целых торта.

\(\mathbf{\frac{9}{9}}\)- первый торт.

\(\mathbf{\frac{9}{9}}\)- второй торт.

Получается из этих 18 кусочков съели 13, т.е. 1 целый торт и еще 4 кусочка.

Четыре кусочка от второго торта будут выражаться дробью \(\mathbf{\frac{4}{9}}\).

В таком случае получаем \(\mathbf{\frac{9}{9}}\)  (один целый торт), да еще \(\mathbf{\frac{4}{9}}\) второго торта- это часть кусочков торта, которые съели.

9 долей первого торта + 4 доли второго торта = \(\mathbf{\frac{13}{9}}\) торта съели на празднике.

Так как каждый торт был разрезан на 9 частей, то в знаменателе дроби \(\mathbf{\frac{13}{9}}\) стоит цифра 9.

Осталось пять частей торта, т.е. \(\mathbf{\frac{5}{9}}\) торта- часть второго торта.

Обратите внимание на дроби \(\mathbf{\frac{9}{9}}\) и \(\mathbf{\frac{13}{9}}\).

В дроби \(\mathbf{\frac{9}{9}}\) знаменатель равен 9 (общее количество долей), числитель равен 9 (количество долей, которые взяли).

Сравним числитель и знаменатель дроби \(\mathbf{\frac{9}{9}}\) .

9 = 9- числитель равен знаменателю.

В дроби \(\mathbf{\frac{13}{9}}\) знаменатель равен 13 (общее количество долей), числитель равен 9 (количество долей, которые взяли).

Сравним числитель и знаменатель дроби \(\mathbf{\frac{13}{9}}\) .

13 > 9- числитель больше знаменателя.

Обыкновенную дробь, в которой числитель больше знаменателя или равен ему, называют неправильной дробью.

Из нашего примера видно, что дробь \(\mathbf{\frac{13}{9}}\) - это больше, чем один торт (целый торт и еще часть второго).

Правило: Любая неправильная дробь больше единицы или равна ей.

Любое натуральное число можно представить в виде неправильной дроби, данная запись будет выглядеть так:

Дробь с числителем а, где а- любое натуральное число, и знаменателем, равным единице- это еще одна верная форма записи натурального числа а.

Пример.

Натуральное число 3 = \(\mathbf{\frac{3}{1}}\)

\(\mathbf{\frac{3}{1}}\)- неправильная дробь, так как числитель (3) больше знаменателя (1).

Натуральное число \(\mathbf{24 = \frac{24}{1}}\)

\(\mathbf{\frac{24}{1}}\)- неправильная дробь, так как числитель (24) больше знаменателя (1).

Натуральное число \(\mathbf{1245 = \frac{1245}{1}}\)

\(\mathbf{\frac{1245}{1}}\)- неправильная дробь, так как числитель (1245) больше знаменателя (1).

Сравнивая правильную и неправильную дробь, можно однозначно сказать, что любая неправильная дробь больше правильной.

Пример.

Определите какая из дробей \(\mathbf{\frac{7}{8}}\) и \(\mathbf{\frac{8}{7}}\) больше, какая меньше.

\(\mathbf{\frac{7}{8}}\)- правильная дробь (числитель меньше знаменателя), а \(\mathbf{\frac{8}{7}}\)- неправильная дробь (числитель больше знаменателя), следовательно \(\mathbf{\frac{7}{8} < \frac{8}{7}}\).

Определите какая из дробей \(\mathbf{\frac{15}{1}}\) и \(\mathbf{\frac{1}{15}}\) больше, какая меньше.

\(\mathbf{\frac{1}{15}}\)- правильная дробь (числитель меньше знаменателя), а \(\mathbf{\frac{15}{1}}\)- неправильная дробь (числитель больше знаменателя), следовательно \(\mathbf{\frac{1}{15} < \frac{15}{1}}\).

Выясним, где на координатном луче изображают правильные и неправильные дроби.

Любому дробному числу соответствует конкретное место на координатном луче.

Чтобы обозначить на координатном луче точку с координатой \(\mathbf{\frac{m}{n}}\), необходимо от начала координат отложить m отрезков, длина каждого такого отрезка должна составлять \(\mathbf{\frac{1}{n}}\) от единичного отрезка.

Чтобы найти число \(\mathbf{\frac{1}{n}}\), нужно единичный отрезок разделить на n равных частей.

Рассмотрим поясняющий пример.

Изобразим горизонтальный координатный луч, направленный вправо, с началом отсчета в точке О(0) и единичным отрезком ОЕ, равным 1 единице.

Определим расположение точек A(\(\mathbf{\frac{2}{6}}\)), B(\(\mathbf{\frac{11}{6}}\)), D(\(\mathbf{\frac{6}{6}}\)) на координатном луче.

Так как знаменатель каждой данной дроби равен шести, то разобьем единичный отрезок ОЕ на шесть равных частей-отрезков, каждая часть будет равна \(\mathbf{\frac{1}{6}}\) ОЕ.

Правильная дробь \(\mathbf{\frac{2}{6}}\) представляет собой две части (доли) из шести.

Следовательно, точка А(\(\mathbf{\frac{2}{6}}\)) удалена от начала координат на расстояние двух отрезков, равных одной доле единичного отрезка- \(\mathbf{\frac{1}{6}}\) ОЕ.

Отметим тот факт, что \(\mathbf{\frac{2}{6}}\) правильная дробь, а это значит она меньше единицы.

На координатном луче данная точка располагается между числами 0 и 1, т.е. левее точки E(1).

Выясним, где на координатном луче будет располагаться точка D (\(\mathbf{\frac{6}{6}}\)).

Известно, что дробь, у которой числитель равен знаменателю, представляет собой неправильную дробь, равную единице.

Дробь \(\mathbf{\frac{6}{6}}\) означает шесть частей из шести- это единица.

Отметим точку D (\(\mathbf{\frac{6}{6}}\)) на координатном луче, для этого отсчитаем 6 отрезков от начала координат, в результате попадаем в точку Е(1).

Точка с координатой \(\mathbf{\frac{6}{6}}\) совпадает с точкой Е(1), в результате получаем сам единичный отрезок ОЕ.

Обозначим на координатном луче точку В с координатой \(\mathbf{\frac{11}{6}}\).

Дробь \(\mathbf{\frac{11}{6}}\) означает шесть частей (т.е. один единичный отрезок ОЕ) и еще пять таких частей.

Отложим от начала координат один единичный отрезок и от него отсчитаем еще пять делений, каждый из которых равен \(\mathbf{\frac{1}{6}}\) единичного отрезка (в общем говоря, нам необходимо отсчитать от начала координат 11 делений, равных \(\mathbf{\frac{1}{6}}\) ОЕ).

Нам несложно заметить, что неправильная дробь, у которого числитель больше знаменателя, лежит на координатном луче правее единицы.

На самом деле, такая неправильная дробь выражает некоторую целую часть, да еще часть целого.

Задачи с неправильными дробями решаются по тем же правилам, что и задачи с правильными дробями.

Разберем решение нескольких задач с неправильными дробями.

Задача №1.

В первый день спортсмен на тренировке пробежал 20 километров.

Во второй день спортсмен пробежал 3/2 от того расстояния, которое он преодолел в первый день.

Сколько километров пробежал спортсмен во второй день?

За известное целое примем путь, который спортсмен пробежал в первый день.

Необходимо найти часть от известной целой величины.

Нам известно правило нахождения части от целого, применим его к этой задаче.

Пусть:

В- неизвестная часть, выраженная дробью \(\mathbf{\frac{m}{n}}\).

А- известная целая величина.

m- числитель дроби \(\mathbf{\frac{m}{n}}\).

n- знаменатель дроби \(\mathbf{\frac{m}{n}}\).

Чтобы найти часть В (выраженную дробью \(\mathbf{\frac{m}{n}}\)) от числа А, необходимо это число разделить на знаменатель (n) и умножить на числитель (m) дроби, которая выражает эту часть.

Задача №2.

Дима за два дня собрал несколько килограммов ягод.

В первый день он собрал 10 килограммов ягод, что составило 5/3 килограммов ягод, собранных во второй день.

Сколько килограммов ягод собрал Дима во второй день?

Неизвестна целая величина (количество ягод, собранных во второй день), известна только некоторая ее часть, таким образом необходимо найти целое по части.

Нам уже известно правило нахождения целого по части, применим его к данной задаче.

Пусть:

В- известная часть числа А, выраженная дробью \(\mathbf{\frac{m}{n}}\).

А- неизвестная целая величина.

m- числитель дроби \(\mathbf{\frac{m}{n}}\) .

n- знаменатель дроби \(\mathbf{\frac{m}{n}}\).

Чтобы найти целое число А, необходимо число В, соответствующее части числа А, разделить на числитель (m) и полученный результат умножить на знаменатель (n) дроби, которая выражает эту часть.