Урок 31 Получить доступ за 75 баллов Окружность и круг
Плоской геометрической фигурой называют множество точек на плоскости, которые ограничены конечным числом линий.
Точка и прямая - это основные, базовые геометрические фигуры.
Самыми простыми геометрическими фигурами являются луч, отрезок, ломаная прямая и др.
Объединение нескольких геометрических фигур так же является геометрической фигурой.
Так, например, часть плоскости, ограниченная замкнутой ломанной линией, называют многоугольником.
Нам уже хорошо известны такие многоугольники, как треугольник, квадрат, прямоугольник и другие.
Существуют геометрические фигуры, отличные от многоугольников, образованные замкнутой кривой линией.
К таким фигурам относятся круг и окружность.
Сегодня на уроке постараемся выяснить, что такое окружность, а что называют кругом.
Определим, какими элементами описывают данные геометрические фигуры, в чем их сходство и различие, рассмотрим, какими свойствами они обладают.
Разберем правило построения окружности и круга на плоскости.
Окружность и круг
Давайте выясним, что же такое окружность и круг с математической точки зрения.
Окружность- это замкнутая кривая, все точки которой удалены на одинаковые расстояния от заданной точки, называемой центром окружности.
Центр окружности- это точка, которая находится на одинаковом расстоянии (равноудаленная) от любой точки окружности.
Обозначается центр окружности обычно заглавной буквой О.
Окружность делит плоскость на две области: внутреннюю и внешнюю.
Чтобы получить полное представление о том, как выглядит окружность, можно обвести карандашом стакан или блюдце, или намочить водой край стакана и поставить его вверх дном, оставшийся след и будет окружностью.
Известно, что все окружающие нас тела имеют некоторый объем. Сама окружность не имеет объема и даже площади, однако окружность может являться математической моделью реальных объектов, например, обруча, кольца и т.д.
Круг- это внутренняя часть плоскости, ограниченная окружностью.
Круг- плоская геометрическая фигура.
Так как круг- это часть плоскости, то фигура имеет площадь.
Наглядно представить круг можно, закрасив внутреннюю область, ограниченную окружностью, или вырезав его из бумаги по контуру окружности.
Особенность формы круга и окружности заключается в том, что у данных фигур отсутствуют прямые линии, отрезки и углы.
В каждой точке окружность устроена одинаково и представляет собой бесконечную линию без начала и конца, будто движется непрерывно сама по себе.
Благодаря своей форме окружность и круг являются с древних времен символом бесконечности, цикличности, знаком единства и совершенства.
Движение по кругу выражает идею вечности, возвращение к самому себе, к первоначальному состоянию.
Так, например, циферблат часов и круговая шкала на компасе олицетворяют эту идею.
Циферблат механических часов представляет собой пластину - панель со шкалой чаще всего круглой формы.
Окружность циферблата разделена на 12 равных больших деления, каждое такое деление равняется одному часу.
Между каждым большим делением находится по 5 маленьких делений. Итого по окружности равномерно распределены 60 делений, соответствующие минутам и секундам.
Стрелки, закрепленные в центре циферблата, вращаясь по кругу, указывают часы, минуты, секунды.
В античном мире время определяли по Солнцу.
Самыми первыми часами, по которым можно было определять примерное время, были солнечные часы.
Устройство представляло собой круг с начертанными по окружности делениями и наклонным стержнем в центре.
Время по таким часам определяли по положению тени на циферблате от наклонного стержня.
Циферблат располагали так, чтобы тень от стержня в полдень была направлена на север.
Тень перемещалась по циферблату вслед за Солнцем и меняла свою длину с каждым часом.
Солнечные часы работали при ясной погоде и днем, указывая время только в часах.
Круговую шкалу можно увидеть на другом измерительном приборе- компасе.
Компас- это устройство, которое позволяет ориентироваться на местности по магнитным полюсам Земного шара и сторонам света.
Шкала компаса представляет собой диск, на который нанесены по кругу метки и цифры.
Круговая шкала компаса называется лимб.
Магнитная стрелка, закрепленная в центре компаса, может свободно вращаться по кругу, поворачиваться в определенном направлении, реагируя на магнитное поле Земли.
Компас показывает неверные данные в том случае, если поблизости есть магниты или месторождения железа и другие подобные материалы, обладающие магнитными свойствами.
Считается, что компас был изобретен в 200 г. до н.э. в Китае.
В Европе компас появился гораздо позже, лишь в XII в. н.э.
Долгое время правила навигации по компасу было таинственно-загадочным для многих, а секрет использования прибора знали только избранные.
Окружность (круг) является моделью еще одного величайшего человеческого изобретения- колеса.
Все полезные свойства колеса основаны на геометрии окружности (круга).
Колесо- это устройство круглой формы, которое может вращаться вокруг своей оси.
До изобретения колеса люди волоком по земле перемещали грузы.
Чтобы облегчить эту работу, груз укладывали на бревна или деревянные полозья и запрягали в них животных.
При этом почву обильно поливали водой, облегчая тем самым скольжение.
Был хорошо известно, что перемещать круглые предметы по земле легче, чем тащить груз волоком или просто толкать его по земле.
Первые изобретенные колеса были сплошными, полностью состояли из глины и мели большой вес.
Использовали эти колеса в гончарном деле.
Позже такое колесо стали использовать для транспортировки груза, прикрепляя колесо к некоторой платформе.
Затем колесо стало деревянным (использовали срез бревна, позже применяли три доски, соединенные деревянной поперечиной).
Деревянные колеса быстро истирались, и их стали обивать металлическим ободом, но такие колеса были громоздкими и тяжелыми.
Чтобы облегчить колесо, в нем делали прорези.
В конечном счете колесо стало выглядеть как обод со спицами, сходящимися к центру колеса, обеспечивая тем самым прочность конструкции.
Вместо металлической оковы стали использовать резину для лучшей амортизации колеса.
Колеса претерпевали различные изменения. Совершенствуются они и по сей день, однако форма этого устройства в виде круга остается неизменной.
Изобретение колеса стало мощным толчком в развитии техники.
Колесо явилось основой для многих изобретений: мельницы, прялки, различных транспортных средств, зубчатого колеса и др.
Основные характеристики окружности и круга
Очень важно знать и уметь определять основные характеристики окружности и круга.
Выясним, какие элементы характерны для данных фигур.
Радиусом окружности называют отрезок, соединяющий центр окружности и любую другую точку, расположенную на линии окружности.
Радиус с латинского (radius) означает луч, спица колеса.
Радиус не сразу приобрел себе такое название.
Слово радиус впервые встречается в 1569 году у французского ученого П. Рамуса.
Общепризнанным становится к концу XVII века.
Радиус обозначается латинской буквой «эр» маленькой r или заглавной R.
Все точки окружности одинаково удалены от ее центра, соответственно, в одной окружности можно провести столько же радиусов, сколько точек имеет линия, причем все эти радиусы равны друг другу.
На рисунке отрезок АО соединяет центр окружности О с точкой А, лежащей на окружности, - это радиус.
Отрезок ОВ соединяет центр окружности О с точкой В, лежащей на окружности, - это тоже радиус этой окружности.
Точки А и В находятся на одинаковом расстоянии от центра (точки О), следовательно, АО = ОВ.
Диаметром окружности называют отрезок прямой, проходящий через центр окружности и соединяющий две точки, лежащие на этой окружности.
Диаметр в переводе с греческого (diametros) - поперечник.
Обычно диаметр обозначают латинской маленькой буквой d или заглавной D, произносится «дэ».
По величине диаметр равен двум радиусам, лежащим на одной прямой.
На рисунке видно, что точка О - центр окружности.
Она делит диаметр окружности, отрезок АВ, на два равных отрезка ОВ и ОА, которые являются радиусами этой окружности.
Диаметр окружности в два раза длиннее радиуса.
Выразим радиус (r) из данной формулы, для этого диаметр разделим на 2, получаем
Радиус- это половина диаметра.
Диаметр делит окружность на две равных полуокружности, а круг делит на два равных полукруга.
Представим круг, вырезанный из бумаги, если сложить его пополам, то фигура, которая в результате получится, представляет собой полукруг.
Диаметры одной и той же окружности равны.
Рассмотрим примеры расчета радиуса и диаметра окружности (круга).
Пример 1.
Радиус круга равен 8 дм.
Определим, чему равен диаметр этого круга.
Пример 2.
Диаметр окружности равен 24 см.
Чему равен радиус окружности?
Любые точки на окружности делят ее на части.
Каждая из этих частей называется дугой окружности.
Отрезок, соединяющий две точки окружности, называется хордой.
Хорда в переводе с греческого- струна, тетива.
Если хорда проходит через центр окружности, то она является диаметром и самой длинной хордой для этой окружности.
На рисунке АВ самая большая хорда окружности - диаметр этой окружности.
Отрезок СD- хорда окружности.
АВ, CD - хорды окружности.
Хорда делит окружность на дуги.
Хорда АВ делит окружность на две равные дуги: ∪АВ и ∪ВА.
Хорда CD делит окружность на две дуги: малую ∪СD и большую ∪DC.
Обратите внимание еще на один рисунок.
Чем дальше удалена хорда от центра окружности, тем меньше ее размеры.
Хорды окружности, удаленные на равные расстояния от центра, равны.
Хорды EF и E1F1 удалены на одинаковое расстояние от центра, они равны.
Элементы окружности (диаметр, радиус, хорда), которые мы рассмотрели, присущи для круга.
Для круга характерны еще две характеристики: сектор круга и сегмент круга.
Сектор- это часть круга, ограниченная двумя радиусами и дугой.
Радиусы соединяют концы дуги с центром круга.
Дуга, которая ограничивает сектор, называется дугой сектора.
∪АВ - дуга сектора АОВ.
∪ВС - дуга сектора ВОС.
∪АС - дуга сектора АОС.
Сегмент круга- это часть круга, ограниченная дугой окружности и ее хордой.
Построение окружности и круга с заданным радиусом
Размер границы геометрической фигуры называют ее периметром.
Периметр многоугольника найти нетрудно, он равен сумме длин всех его сторон.
Пример.
Периметр фигуры равен: Р = а + b + c.
Давайте выясним, как выглядит периметр круга и как его измерить.
Граница круга - это окружность, следовательно, размер этой окружности будет являться периметром круга.
Представим, что окружность обернута лентой.
Если разрезать эту ленту, то длина ее будет примерно равна длине окружности.
Обычно длину окружности обозначают заглавной буквой С, читается «це».
Длина окружности зависит от диаметра окружности (d).
Обратите внимание на рисунок.
Мы можем заметить, что чем больше диаметр, тем больше длина окружности.
С помощью циркуля и линейки можно построить различные фигуры.
Зная диаметр или радиус окружности, можно с легкостью изобразить окружность и круг нужных размеров.
Циркуль- это чертежный инструмент, предназначенный для черчения окружностей и дуг окружностей, измерения длины отрезков, расстояний.
Циркуль от латинского (circulus) - круг, окружность.
Циркуль появился более 3000 лет назад, самый древний циркуль, сохранившийся до наших дней, был обнаружен в ходе раскопок древнего кургана во Франции.
Изображения на стенах зданий, посуде, выполненные с высокой точностью, являются свидетельством такого древнего существования циркуля.
Рассмотрим, как построить окружность (круг) на бумаге с помощью чертежного циркуля и линейки.
Если необходимо начертить окружность с заданным радиусом, то необходимо первым делом установить расстояние между ножками циркуля, равное по величине этому радиусу.
Выбираем точку на листе бумаги - центр окружности (круга).
В эту точку ставим опорную ножку циркуля. Не отрывая от бумаги вторую ножку циркуля с грифелем, вращаем ее вокруг центра окружности.
Грифель (пишущий предмет) начертит на плоскости замкнутую линию- окружность с заданным радиусом.
Если в задаче на построение дан диаметр окружности, то прежде чем совершать замер по линейке, необходимо от диаметра перейти к радиусу, разделив диаметр пополам.
В таком случае раствор циркуля устанавливается на расстояние d÷ 2 =r , и чертится окружность по выше описанному алгоритму.
Если отсутствует циркуль, можно изобразить окружность с помощью подручных инструментов.
Для этого вам понадобится кнопка, нитка и карандаш.
Берется кнопка, к ней привязываем нить определенной длины (длина нити примерно равна значению заданного радиуса), ко второму концу нити привязываем карандаш.
Кнопку необходимо воткнуть в выбранную точку (предполагаемый центр окружности), второй конец веревки туго натянуть и карандашом описать окружность, сохраняя натяжение нити.
Такой способ построения окружности возможен не только на листе бумаги, но и на местности.
В качестве кнопки используют колышек, который вбивают в землю, в предполагаемый центр окружности.
Веревку крепят к этому колышку, второй конец веревки туго натягивают.
Держась за свободный конец веревки и двигаясь вокруг колышка, можно очертить окружность.
В бесплатной версии урока недоступны:
- Видео
- Изображения
- Дополнительная информация
- Таблицы
- Тесты