Урок 36 Бесплатно Объемы. Объем прямоугольного параллелепипеда

Вокруг нас находится огромное множество объектов - «физических тел».

Все реальные тела занимают некоторое место в пространстве, поэтому часто приходиться сталкиваться с таким понятием как объем.

На этом уроке мы попытаемся выяснить, что такое объем.

Определим его основные свойства.

Узнаем, в каких единицах измерения объем выражается.

Выясним, как взаимосвязаны между собой единицы объема.

Научимся находить объем прямоугольного параллелепипеда и применим эти знания при решении задач.

Объем. Объем прямоугольного параллелепипеда

Итак, любое тело в пространстве характеризуется объемом.

Давайте разберемся, что же такое объем.

Объем слово многозначное.

Выделяют два основных значения слова «объем».

1. Объемом называют величину, которая характеризует содержание чего-либо или количество содержащегося.

У меня есть дополнительная информация к этой части урока!

Закрыть

Приведем несколько примеров:

Объем книги- это количество листов. Он измеряется условными единицами- листами (печатными, авторскими, учетно-издательскими).

Объем книги характеризуется количеством текста и иллюстраций.

Объем производства- результат деятельности предприятия по производству продукции или предоставлению услуг.

Объем производства может выражается в натуральных, трудовых или стоимостных единицах.

Объем работ- это количество различных действий и операций и частота их выполнения.

Часто объем выполненных работ приходится определять при строительстве, ремонте и других работах, что позволяет заказчику отслеживать и контролировать выполнение каждого этапа этих работ.

Объем крови- количество крови в теле человека.

Зависит от возраста, половой принадлежности, массы, роста, состояния и массы мышц.

Например, у спортсмена объем крови в организме больше, чем у того, кто ведет малоподвижный образ жизни; у мужчины немного больше, чем у женщин.

Измерение объема крови осуществляется в литрах.

Определять объем крови необходимо при донорстве или перед проведение операции для расчета анестезии.

Объем легких (по-другому, легочная емкость)- это количество воздуха, который проходит через легкие.

Емкость легкого измеряют в литрах.

В медицине часто измеряют объем легких для диагностирования различных легочных заболеваний и в других медицинских исследованиях.

Объем информации (объем данных) определяется количеством символов, заключенных в тексте, и количеством информации, которой обладает каждый символ.

Объем информации выражают в специальных единицах памяти компьютера: битах, байтах и т.д

В математике объем имеет несколько другое значение.

Рассмотрим понятие объема с геометрической точки зрения.

2. Объем- это величина, характеризующая размер тела в пространстве.

Другими словами, объем- это величина, которая показывает сколько места тело занимает в пространстве.

Обычно объем обозначается латинской буквой V (от лат. volume- объем, наполнение).

Объем тела определяется его формой и размером.

Объем, как и любую другую величину, можно измерять.

Известно, чтобы измерить величину некоторой фигуры, необходимо определить сколько раз в ней помещается другая фигура, принятая за единицу измерения.

На прошлых уроках мы выяснили, что при измерении длины используют линейные меры длины (1 мм, 1 см, 1 дм и т.д.), площадь измеряют квадратными единицами длины (1 мм2, 1 см2, 1 дм2 и т.д.).

Квадратная единица представляет собой квадрат, стороны которого выражены линейными единицами.

Общее количество таких единичных квадратов, содержащихся в фигуре, - это площадь фигуры.

Аналогично дело обстоит с измерением объема фигуры.

Однако, чтобы определить размеры фигуры на плоскости, необходимо знать только две величины: ширину и длину, а для определения размеров пространственной фигуры кроме длины и ширины необходимо знать третью линейную меру - высоту.

Объем измеряют кубическими единицами.

Кубическая единица представляет собой куб, стороны которого выражены линейными единицами. Другими словами, объем измеряется кубическими единицами длины.

Измерить объем фигуры- это значит найти сколько кубических единиц содержится в данной фигуре.

Определим объем уже известной нам пространственной фигуры- прямоугольного параллелепипеда.

Прямоугольный параллелепипед- это объемная геометрическая фигура, многогранник, состоящий из шести граней-прямоугольников, причем противоположные грани его попарно равны.

Объем прямоугольного параллелепипеда- это число, которое показывает, какое количество кубических единиц помещается в этот прямоугольный параллелепипед.

Таким образом, если разбить фигуру на n равных единичных кубиков, то объем будет равен n кубических единиц.

Пусть прямоугольный параллелепипед имеет следующие размеры:

Ширина а = 3 (ед. длины)

Длина b = 6 (ед. длины)

Высота h = 2 (ед. длины)

Высота прямоугольного параллелепипеда- это расстояние между нижним и верхним основанием.

Выложим на нижнее основание прямоугольного параллелепипеда вдоль самой длинной стороны ряд из единичных кубиков (ребро каждого такого кубика равно одной единице длинны).

В такой ряд поместиться 6 единичных кубиков.

Чтобы закрыть все нижнее основание прямоугольного параллелепипеда, необходимо выложить 3 таких ряда по 6 кубиков в каждом.

Количество единичных кубиков, выложенных в основании, будет определяться выражением 6 ∙ 3.

Найдем значение данного выражения:

6 ∙ 3 = 18 (ед. кубиков).

Слой кубиков, из которых выложено дно прямоугольного параллелепипеда, состоит из 18 единичных кубиков.

Сколько таких слоев можно поместить в прямоугольный параллелепипед зависит от его высоты.

В нашем случае высота прямоугольного параллелепипеда равна двум единицам длины.

Следовательно, в измеряемом прямоугольном параллелепипеде можно уместить 2 слоя (каждый по 18 единичных кубиков).

Общее количество единичных кубиков будет определяться выражением 2 ∙ 18.

Найдем значение данного выражения:

2 ∙ 18 = 36 (ед. кубиков).

Следовательно, объем всего прямоугольного параллелепипеда равен 36 кубическим единицам.

По сути, чтобы найти объем прямоугольного параллелепипеда, нам пришлось перемножить длины трех его сторон: ширины а = 3 (ед. длины), длины b = 6 (ед. длины), высоты h = 2 (ед. длины).

V =abh = 3 ∙ 6 ∙ 2 = 36 (кубических единиц).

Запишем правило нахождения объема прямоугольного параллелепипеда.

Правило: объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению трех его измерений (трех его сторон: ширины а, длины b, высоты h), выраженных в одинаковых единицах измерения.

Запишем правило в виде формулы.

Формула объема прямоугольного параллелепипеда выглядит так:

Таким образом, чтобы найти объем прямоугольного параллелепипеда, не обязательно разбивать его на кубические единицы и считать их общее количество, необходимо просто знать длину, ширину и высоту этой фигуры.

У меня есть дополнительная информация к этой части урока!

Закрыть

Нам известно, что нижняя грань прямоугольного параллелепипеда с ребрами a и b- это его нижнее основание, и оно прямоугольной формы.

Так как основание параллелепипеда- это прямоугольник, то произведение (ab)- это ничто иное, как площадь основания прямоугольного параллелепипеда.

Sосн = ab- площадь основания прямоугольного параллелепипеда.

Заменим в формуле объема прямоугольного параллелепипеда V = (ab)произведение (ab) на Sосн , получим правило:

Объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению площади его основания на высоту.

Запишем правило в виде формулы.

Выясним, как выглядит формула объема для куба.

Известно, что куб- это прямоугольный параллелепипед, состоящий из шести одинаковых квадратов, следовательно, все ребра куба равны между собой; значит, ширина, длина и высота имеют одинаковые значения.

Таким образом, вычислить объем куба довольно просто, если знать значение его ребра.

Пусть а- это длина ребра куба.

Тогда для куба справедливо следующее: b = а, h = а.

Формула объема прямоугольного параллелепипеда V = abh для куба примет вид:

V = a ∙ а ∙ а = а3

Умножив ширину на длину и на высоту, получим произведение трех равных по значению множителей.

Произведение трех множителей - это куб числа.

Правило: чтобы вычислить объем куба, нужно перемножить значения трех его ребер или просто возвести ребро куба в третью степень.

Пройти тест
Закрыть тест

Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации

Единицы измерения объема

За единицу измерения объема принимают кубическую единицу.

Кубическая единица представляет собой куб, стороны которого выражены линейными единицами.

Объем такого куба находится как V = abh.

Исходные линейные меры могут быть любыми: миллиметрами, сантиметрами, дециметрами и т.д.

По правилу, при вычислении объема тела, единицы измерения длины, ширины и высоты должны совпадать.

Значение объема будет непосредственно зависеть от выбранной единицы измерения.

К основным единицам объема относят:

1. Кубический метр- это основная единица измерения объема в системе СИ.

Кубический метр (кубометр)- это куб, у которого ребро равно одному метру (1 м).

Русское обозначение: м3.

Международное обозначение: m3.

V = 1 м ∙ 1 м ∙ 1 м = 1 м3.

Широко используется кубический метр в быту, в науке и технике, в строительстве и архитектуре, на производстве и др.

Обычно в кубических метрах измеряют расход и потребление воды и бытового газа.

В кубометрах измеряют объемы древесины и пиломатериалов, объемы различных сыпучих строительных материалов (гравий, песок и т.д.), объемы самых разнообразных жидкостей и емкостей под них и т.д.

Существуют и другие производные от метра единицы измерения объемов, которые так же являются единицами измерения системы СИ.

2. Кубический миллиметр- это куб, у которого ребро равно одному миллиметру (1 мм).

Русское обозначение: мм3.

Международное обозначение: mm3.

V = 1 мм ∙ 1 мм ∙ 1 мм = 1 мм3.

3. Кубический сантиметр- это куб, у которого ребро равно одному сантиметру (1 см).

Русское обозначение: см3.

Международное обозначение: сm3.

V = 1 ∙ 1 ∙ 1 cм = 1 см3.

В кубических сантиметрах измеряют, например, объем двигателя.

Шкала медицинского одноразового шприца выражается в кубических сантиметрах.

В медицине существует разговорное обозначение кубического сантиметра, его называют «кубик».

4. Кубический дециметр- это мера объема, равная объему куба с ребром один дециметр (1 дм).

Русское обозначение: дм3.

Международное обозначение: dm3.

V = 1 дм ∙ 1 дм ∙ 1 дм = 1 дм3.

Например, воздухопроницаемость тканей измеряют в дециметрах кубических.

Воздухопроницаемость- это способность материалов пропускать один кубический дециметр (дм3) воздуха через 1 м2 материала за одну секунду.

Этот показатель учитывают при производстве одежды, обуви, упаковочных материалов и т.д.

Например, воздухопроницаемость больше у летней одежды и обуви, чем у зимней.

5. Кубический километр представляет собой куб, у которого ребро равно одному километру (1 км).

Русское обозначение: км3.

Международное обозначение: km3.

V = 1 км ∙ 1 км ∙ 1 км = 1 км3.

Используют данную единицу измерения не часто, в основном для замеров больших объемов водных объектов.

Существуют единицы объема, которые не являются единицами Международной системы единиц СИ (их называют внесистемными единицами), однако они допускаются к применению вместе с единицами системы СИ.

Такой единицей объема является литр.

Литр (от лат.- «мера емкости»)- метрическая единица измерения объема.

Русское обозначение: л.

Международное обозначение: l.

В некоторых странах используют в качестве альтернативного варианта обозначения объема заглавную латинскую букву L.

У меня есть дополнительная информация к этой части урока!

Закрыть

Название литра произошло от старофранцузской меры объема «литрон», название которого происходит от латинского «litra»- мера емкости.

Международное обозначение данной единицы измерения установили не сразу.

Обозначение в виде строчной латинской буквы l было первоначальное и единственное обозначение литра.

Но такой символ вызывал много споров, так как его легко было перепутать с цифрой один (1).

Некоторые национальные системы мер настоятельно добивались введения другого символа для литра в виде заглавной латинской буквы L.

Однако такое обозначение для литра противоречило соглашению, принятому Международной системой единиц, в котором говорилось о том, что единицы измерения могут обозначаться заглавными буквами, только если они образованы от имени ученого.

В 1879 г. Международный комитет мер и весов официально утвердил символ «l» для обозначения литра.

И только 100 лет спустя была признана правомерность обозначения литра заглавной буквой L.

На сегодняшний день разрешены к использованию оба варианта обозначения литра.

Литр- это объем куба с ребром в 1 дм.

V = 1 л = 1 дм ∙ 1 дм ∙ 1 дм = 1 дм3.

Один литр равен одному кубическому дециметру.

Так как 1 дм = 10 см.

Следовательно, V = 1 л = 10 см ∙ 10 см ∙ 10 см = 1000 см3

Литр- одна из наиболее используемых единиц в метрической системе, часто используются в быту.

Чаще всего литрами измеряют жидкие и газообразные вещества, литрами измеряют вместимость сосудов и емкостей (например, банок, кувшинов, чайников, ведер, кастрюль и т.д.), а также объемы бытовой и кухонной техники (микроволновой печи, холодильника, электрической печи и т.д.).

На АЗС бензин измеряют литрами, в литрах же выражается объем топливного бака, объем багажного отделения и др.

Кроме самого литра используют производные от него единицы.

  • Миллилитр- это внесистемная мера объема.

Русское обозначение: мл.

Международное обозначение: ml.

Один миллилитр равен одному кубическому сантиметру:

V = 1 мл = 1 см ∙ 1 см ∙ 1 см = 1 см3

Часто используют в медицине и фармацевтике (для определения дозировки лекарственного средства, измерения объемов компонентов медицинского препарата, в лабораторных исследованиях).

В кулинарии для некоторых рецептов указывают объемы ингредиентов в миллилитрах.

  • Декалитр- внесистемная мера объема.

Русское обозначение: дал.

Международное обозначение: dal или daL.

Один декалитр равен 10 литрам (10 дм3).

  • Гектолитр- внесистемная мера объема.

Русское обозначение: гл.

Международное обозначение: hl или hL.

Один гектолитр равен 100 литрам (100 дм3).

Декалитр и гектолитр- это наиболее часто используемые меры объема в виноделии.

Порой при решении задач значения объемов выражены в различных единицах измерения.

Если единицы измерения различны, то их необходимо привести к единой мерной единице.

Чтобы перейти от одной кубической единицы к другой, необходимо знать соотношения между единицами объема.

Выясним, как единицы объема связаны между собой.

Рассмотрим пример.

Переведем один сантиметр кубический (1 см3) в кубические миллиметры.

Чтобы найти сколько в кубическом сантиметре содержится кубических миллиметров, необходимо вспомнить сколько в одном сантиметре миллиметров.

1 см = 10 мм.

Известно, что 1 см3- это куб, ребро которого равно 1 см.

Так как 1 см = 10 мм, то все ребра такого куба равны 10 мм.

Найдем объем куба с ребром 10 мм.

V = 10 мм ∙ 10 мм ∙ 10 мм = 1000 мм3 = 1 см3

Следовательно, в одном кубическом сантиметре содержится 1000 кубических миллиметров.

1 см3 = 1000 мм3

В таком случае, чтобы перевести кубические сантиметры в кубические миллиметры, нужно количество кубических сантиметров умножить на 1000.

Чтобы перевести кубические миллиметры в кубические сантиметры, необходимо количество миллиметров кубических разделить на 1000.

Следуя логике, изложенной в рассмотренном примере, можно осуществлять перевод любых единиц объема.

Для этого нужно знать и помнить соотношения единиц измерения длины, запишем их.

1 см = 10 мм

1 дм = 10 см = 100 мм

1 м = 10 дм = 100 см = 1000 мм

1 км = 1000 м

Запишем соотношения единиц объема:

Запоминать все эти соотношения нет необходимости, достаточно запомнить общий принцип перевода из одной единицы измерения в другую.

Рассмотрим несколько примеров.

Пример 1.

Выразим 12 см3 в кубических миллиметрах.

Так как 1 см3 = 10 мм ∙ 10 мм ∙ 10 мм = 1000 мм3, то число кубических миллиметров в 1000 раз больше, чем число кубических сантиметров, следовательно, умножим 12 см3 на 1000.

Решение:

12 см3 = 12 ∙ 1000 = 12000 мм3.

Ответ: 12 см3 = 12000 мм3.

Пример 2.

Выразим 12000 мм3 в кубических сантиметрах.

Так как 1000 мм3- это 1 см3, то разделив 12000 мм3 на 1000, выясним сколько квадратных сантиметров содержится в 12000 мм3.

Решение:

12000 мм3 = 12000 ÷ 1000 = 12 см3.

Ответ: 12000 мм3 = 12 см3.

Пример 3.

Объем цистерны для нефтепродуктов составляет 85 м3.

Выразим объем такой цистерны в литрах.

Решение:

Так как 1 м3 = 1000 л, то 85 м3 = 85000 л

Ответ: 85 м3 = 85000 л.

Пример 4.

Выразим 4 м3 50 дм3 в кубических дециметрах.

Так как 1 м3 = 1000 дм3, следовательно, 4 м3 = 4000 дм3.

В нашем случае 4000 дм3, да еще 50 дм3, получаем:

4 м3 50 дм3 = 4000 дм3 + 50 дм3 = 4050 дм3

Ответ: 4 м3 50 дм3 = 4050 дм3

Пройти тест
Закрыть тест

Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации

Решение практических задач по теме «Объем. Объем прямоугольного параллелепипеда.»

Объем обладает рядом свойств, перечислим их.

Свойство №1

Равные тела имеют равные объемы.

Равенство объемных фигур определяется так же, как и плоских.

Тела называются равными, если их можно совместить наложением.

Тела, которые имеют равные объемы, называют равновеликими.

V1 = V2

Свойство №2

Если тело составлено из нескольких частей или разбито на несколько частей, то объем всего тела равен сумме объемов его частей.

Рассмотрим пример, иллюстрирующий данное свойство.

Пусть прямоугольный параллелепипед, ширина которого равна 4 см, длина- 9 см, высота- 7 см, разделен на две части (на два прямоугольных параллелепипеда).

Объем первой части V1 равен 96 см3.

Объем второй части V2 равен 192 см3.

Определим объем целого прямоугольного параллелепипеда двумя способами.

1. Объем целого прямоугольного параллелепипеда найдем как сумму объемов его частей.

V = V1 + V2

V = 96 см3 + 192 см3 = 288 см3

2. Найдем объем целого прямоугольного параллелепипеда по формуле V = abh

а = 4 см- ширина

b = 9 см- длина

h = 7 см- высота

V = 4 см ∙ 9 см ∙ 7 см = 288 см3

Объем целой фигуры равен 288 см3, такой же результат был получен при сложении объемов частей, на которые прямоугольный параллелепипед был разбит.

В практической и повседневной жизни часто приходится вычислять объемы различных тел.

Рассмотрим решения нескольких практических задач

Задача №1.

Найдите объем аквариума, имеющего форму прямоугольного параллелепипеда, если длина его 5 дм, ширина 2 дм, высота 3 дм.

Найденный объем выразите в литрах.

Задача №2

Необходимо изготовить ящик вместимостью 1 м3.

Известно, что длина ящика должна быть равна 20 дм, ширины- 10 дм.

Какой должна быть его высота?

Выразим 1 м3 в кубических дециметрах.

1 м3 = 1000 дм3

Задача №3

Сколько литров воды необходимо залить в бассейн, чтобы полностью заполнить его?

Длина бассейна 2 м, ширина- 2 м и высота бассейна равна 2 м.

Пройти тест
Закрыть тест

Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации

Заключительный тест

Пройти тест