Урок 40 Получить доступ за 75 баллов Десятичная запись дробных чисел

В реальной жизни часто приходится использовать дробные величины, не всегда удается измерить и охарактеризовать величины целым числом.

В различных областях деятельности человека возникает необходимость решать практические и теоретические задачи, используя дробные значения, знать правила сложения, вычитания, умножения и деления дробей.

Однако, работать с обыкновенными дробями, которые нам уже хорошо известны, зачастую не очень удобно.

Сегодня на уроке мы рассмотрим десятичную запись дробных чисел.

Выясним, что называют десятичной дробью, как ее правильно записать и прочитать.

Научимся переводить обыкновенную дробь в десятичную и обратно.

Существуют два вида десятичных дробей обыкновенные и десятичные.

Об обыкновенной дроби нам многое уже известно.

Обыкновенные дроби делятся на правильные и неправильные.

Правильными называют дроби, в которой числитель меньше знаменателя.

Дроби, в которых числитель больше знаменателя или равен ему, называют неправильной дробью.

Неправильная дробь в свою очередь может быть записана в виде смешанного числа, которое представляет собой сумму натурального (целой части) и дробного числа (дробной части).

Обыкновенную дробь записывают с помощью двух чисел, разделенных дробной чертой (наклонной или горизонтальной).

Число, стоящее над дробной чертой, называют числителем.

Число, стоящее под дробной чертой, называют знаменателем.

Давайте выясним, а какие же дроби называют десятичными, как их правильно записывать и читать.

Обратите внимание на рисунок.

На нем изображен простейший измерительный инструмент- линейка.

С помощью линейки несложно определить линейные размеры небольших объектов.

Известно, что один сантиметр содержит десять миллиметров, т.е. 1 см = 10 мм.

Следовательно, один миллиметр- это доля сантиметра, т.е. одна десятая его часть.

В виде дроби один миллиметр можно записать так: \(\mathbf{\frac{1}{\color{blue}{10}}}\) см.

\(\mathbf{1 \ мм\ = \frac{1}{\color{blue}{10}} \ см}\)

Дробь \(\mathbf{\frac{1}{\color{blue}{10}}}\) в данном случае означает, что один сантиметр разделили на десять равных частей и взяли одну такую часть.

Рассмотрим еще одну ситуацию.

С помощью этой же линейки изобразили отрезок длиной 2 см 5 мм.

Выразим данную длину отрезка в сантиметрах.

2 см- это два целых сантиметровых отрезка.

Давайте разберемся, что представляют собой 5 мм.

5 мм- это часть сантиметра.

Так как 1 миллиметр- это десятая часть сантиметра, т.е. одна часть из десяти (\(\mathbf{\frac{1}{\color{blue}{10}}}\)), тогда 5 миллиметров представляют 5 частей из десяти (\(\mathbf{\frac{5}{\color{blue}{10}}}\)).

\(\mathbf{5 \ мм\ = \frac{5}{\color{blue}{10}} \ см}\)

Дробь \(\mathbf{\frac{5}{10}}\) в данном случае означает, что один сантиметр разделили на десять равных частей и из них взяли пять таких частей.

В итоге мы имеем два целых сантиметра, да еще пять десятых сантиметра: \(\mathbf{2\frac{5}{10}}\).

\(\mathbf{2\frac{5}{10}}\)- это смешанное число, читается оно так: «две целых пять десятых».

Число 2 показывает число целых частей, а правильная дробь \(\mathbf{\frac{5}{10}}\)- дробную часть.

Дробные числа, знаменатель которых является степенью числа 10, т.е. представлен, как единица с одним или несколькими нулями (10, 100, 1000, …, 10ⁿ, где n- это степень числа) записывают в более простой форме, без знаменателя, в виде десятичной дроби.

Такую запись числа, где целая часть числа отделяется запятой от дробной, называют десятичной записью, а само число десятичной дробью.

Запятую, которая разделяет целую и дробную часть числа называют десятичной запятой.

Десятичные дроби подобно смешанному числу содержат две части (целую и дробную).

В таком случае, длину отрезка, равную \(\mathbf{2\frac{5}{10}}\) см, можем представить в виде десятичной дроби, как 2,5 см.

Здесь число 2- это целая часть десятичной дроби, показывает число целых частей, а число 5- это числитель дробной части смешанного числа, представляет собой дробную часть десятичной дроби.

Отрезок длинной \(\mathbf{2\frac{5}{10}}\) см и длинной 2,5 см это один и тот же отрезок.

Как мы видим, форма записи этих двух чисел разная, но по своей сути они выражают одно и тоже число.

\(\mathbf{2\frac{5}{10} = 2,5}\)

Мы можем смело утверждать, что десятичные дроби- это просто форма записи обыкновенных дробей.

Как выглядит смешанное число в виде десятичной дроби теперь нам ясно, а как записать правильную обыкновенную дробь в форме десятичной дроби, ведь целая часть у правильной обыкновенной дроби отсутствует, т.е. равна нулю?

Например, правильная обыкновенная дробь \(\mathbf{\frac{5}{10}}\) в виде десятичного числа будет выглядеть следующим образом: \(\mathbf{\frac{5}{10} = 0,5}\).

Как правильно прочитать десятичную дробь?

Это совсем не сложно.

• Десятичная дробь, которой соответствует смешанное число, читается по тем же правилам, что и это смешанное число: называется целая часть, затем- дробная часть.

Пример.

Смешанное число \(\mathbf{1\frac{2}{10}}\) состоит из целой части (число 1) и дробной части (правильная дробь \(\mathbf{\frac{2}{10}}\)).

Смешанное число \(\mathbf{\color{red}{1}\color{blue}{\frac{2}{10}}}\) читается так: «одна целая две десятых».

Числу \(\mathbf{\color{red}{1}\color{blue}{\frac{2}{10}}}\) соответствует десятичная дробь 1,2.

\(\mathbf{1\frac{2}{10} = 1,2}\)

Десятичная дробь 1,2 читается так же, как соответствующее ему смешанное число: «одна целая две десятых».

• Десятичная дробь, которой соответствует правильная дробь, читается по тем же правилам, что и сама это дробь, но обязательно вначале произносятся слова «ноль целых».

У правильной обыкновенной дроби отсутствует целая часть, именно отсутствие целой части и обозначает ноль, стоящий перед десятичной запятой.

Пример.

Правильной обыкновенной дроби \(\mathbf{\frac{23}{100}}\) (двадцать три сотых) соответствует десятичная дробь 0,23, читается она следующим образом: «ноль целых двадцать три сотых».

С давних времен умение выполнять различные математические операции и вести расчеты считалось очень ценным умением.

Часто приходилось измерять различные величины: длину, ширину, площади и объемы, время, массу, выгодно вести торговые дела.

С течением времени возникала все большая потребность в точных измерениях и вычислениях.

Не всегда удавалось однозначно выразить величину одним лишь натуральным числом.

Люди вынуждены были придумать дробную систему для измерения и вычисления величин.

Человечество преодолело огромный путь, чтобы отыскать удобный вариант записи дробных чисел.

Первые знания о дробях были связаны с обыкновенными дробями, позже появились десятичные дроби.

История возникновения обыкновенных дробей берет свое начало в Древнем Египте, а десятичные дроби появились в Древнем Китае.

Часто в одной задаче или математическом выражении присутствуют сразу два вида дробей: и обыкновенные, и десятичные.

Для того чтобы верно выполнить вычисления, необходимо привести дробь к одному виду: перевести обыкновенную дробь в десятичную или наоборот.

Существует определенное правило перевода обыкновенной дроби в десятичную.

Чтобы правильно записать десятичную дробь, числитель дробной части должен иметь такое же количество цифр, сколько нулей в знаменателе дробной части.

А это значит количество цифр после запятой в десятичной дроби должно совпадать с количеством нулей, находящихся в знаменателе обыкновенной дроби.

Рассмотрим порядок действий, который позволит нам без ошибок представить смешанное число в виде десятичной дроби.

1. Записываем целую часть числа.
2. Ставим запятую.
3. После запятой, чтобы не ошибиться, поставим вспомогательные точки (можно их просто представить), каждая такая точка в последствии будет заменена на соответствующую цифру числителя переводимой обыкновенной дроби.

Этих точек должно быть ровно столько, сколько стоит нулей в знаменателе переводимой дроби.

1. Начиная с последней точки записываем числитель, числитель подставляем, начиная с последней цифры.
2. Если в записи десятичной дроби остались незаполненные точки, то вместо них необходимо написать нули.

Рассмотрим пример.

Переведем смешанное число \(\mathbf{3\frac{24}{1000}}\) в десятичную дробь.

Первым делом запишем целую часть числа \(\mathbf{\color{orange}{3}\frac{24}{1000}}\) (это число 3) и поставим десятичную запятую.

После выясним сколько десятичных знаков должно быть в дробной части десятичной дроби.

В знаменателе дробной части смешанного числа \(\mathbf{3\frac{24}{1000}}\) стоит 1000, выходит, что знаменатель правильной дроби состоит из четырех цифр: единицы и трех нулей.

Значит в десятичной дроби после запятой должны быть три цифры (временно вместо цифр поставим три вспомогательных точки).

Вместо дроби подставим числитель дробной части смешанного числа \(\mathbf{3\frac{\color{red}{24}}{1000}}\) , это число 24.

Начнем подстановку с последней (самой правой) вспомогательной точки.

На ее место запишем последнюю цифру числителя дробной части смешанного числа \(\mathbf{3\frac{2\color{blue}{4}}{1000}}\), это число 4.

Вместо второй с конца вспомогательной точки запишем вторую цифру числителя дробной части смешанного числа \(\mathbf{3\frac{\color{green}{2}4}{1000}}\), это число 2.

В записи десятичной дроби осталась одна незаполненная точка после десятичной запятой.

Однако, в числителе дробной части переводимого смешанного числа цифр не осталось.

Свободную точку заменим на нуль, получим десятичную дробь:

\(\mathbf{3\frac{24}{1000} = 3,024}\)

Так как в полученной нами десятичной дроби 3,024 стоит три цифры после десятичной запятой (что соответствует тысячным долям), то данное число читают так: «три целых двадцать четыре тысячных».

Чтобы перевести правильную обыкновенную дробь, необходимо действовать по тому же алгоритму, который мы рассмотрели выше.

В данном случае, как и прежде важно, чтобы количество цифр после запятой в десятичной дроби (т.е. в числителе переводимой дроби) совпадало с количеством нулей, находящихся в знаменателе обыкновенной дроби.

Разница в действиях состоит лишь в том, что вместо целой части обязательно записывается число 0, так как у правильной обыкновенной дроби отсутствует целая часть.

Рассмотрим на примере правило перевода правильной обыкновенной дроби в десятичную.

Переведем смешанное число \(\mathbf{\frac{36}{10000}}\) в десятичную дробь.

Первым делом запишем целую часть числа \(\mathbf{\frac{36}{10000}}\), это число 0, и поставим десятичную запятую.

После выясним сколько десятичных знаков должно быть в дробной части десятичной дроби.

В знаменателе правильной дроби \(\mathbf{\frac{36}{10000}}\) стоит 10000, получается, что знаменатель состоит из пяти цифр: единицы и четырех нулей.

Значит в десятичной дроби после запятой должны быть четыре цифры (временно вместо цифр поставим четыре вспомогательные точки).

Вместо точек подставим числитель правильной дроби \(\mathbf{\frac{\color{red}{36}}{10000}}\), это число 36.

Начнем подстановку с последней (самой правой) вспомогательной точки.

На ее место запишем последнюю цифру числителя дроби \(\mathbf{\frac{3\color{blue}{6}}{10000}}\), это число 6.

Вместо второй вспомогательной точки с конца запишем вторую цифру числителя правильной дроби \(\mathbf{\frac{\color{green}{3}6}{10000}}\), это число 3.

В записи десятичной дроби остались две свободные точки после десятичной запятой, а в числителе переводимой правильной дроби цифр не осталось.

Поэтому вместо свободных точек запишем нули, получим десятичную дробь:

\(\mathbf{\frac{36}{10000} = 0,0036}\)

В полученной десятичной дроби 0,0036 после десятичной запятой стоит четыре цифры (что соответствует десятитысячным долям), следовательно, данное число читают так: «ноль целых тридцать шесть десятитысячных».

В виде десятичной дроби можно представить неправильную дробь.

Чтобы перевести неправильную обыкновенную дробь в десятичную, необходимо лишь записать число из числителя (в том виде, в каком оно представлено), затем отделить десятичной запятой столько цифр справа, сколько нулей в знаменателе переводимой неправильной дроби.

Рассмотрим данное правило на примере.

Переведем неправильную обыкновенную дробь \(\mathbf{\frac{42893}{1\color{blue}{000}}}\) в десятичную.

Запишем число из числителя данной неправильной дроби: 42893.

Отделим десятичной запятой три цифры с конца этого числа, так как знаменатель исходной неправильной дроби содержит три нуля.

В результате получаем десятичную дробь 42,893 (сорок три целых восемьсот девяноста три тысячных).

\(\mathbf{\frac{42893}{1000} = 42,893}\)

Перевод десятичной дроби в обыкновенную.

Переводить можно не только обыкновенные дроби в десятичные, но и десятичные дроби в обыкновенные.

Рассмотрим алгоритм перевода десятичной дроби в обыкновенную.

1. Необходимо записать десятичную дробь в числитель искомой обыкновенной дроби, убрав десятичную запятую.

Если есть слева (крайние) нули, то необходимо их удалить.

2. В знаменатель записать единицу и к ней дописать столько нулей, сколько знаков находится после десятичной запятой в заданной десятичной дроби.

3. В итоге получится правильная или неправильная дробь.

Рассмотрим примеры.

Пример №1.

Переведем десятичную дробь 0,0009 в обыкновенную.

Отбросив запятую и убрав все четыре нуля, стоящие слева, получим число 9- это число запишем в числитель искомой дроби.

Затем в знаменатель запишем единицу и за ней четыре нуля (так как в исходной дроби после десятичной запятой стоит четыре цифры).

В результате получаем правильную обыкновенную дробь\(\mathbf{\frac{9}{10000}}\).

\(\mathbf{0,0009 = \frac{9}{10000}}\)

Пример №2.

Переведем десятичную дробь 8,04 в обыкновенную дробь.

Запишем данную десятичную дробь без запятой, слева перед восьмеркой нулей нет, отбрасывать нечего, следовательно, в числитель обыкновенной дроби запишем число 804.

В знаменатель запишем единицу и после нее два нуля (так как после десятичной запятой в исходной десятичной дроби находится две цифры).

В итоге получим неправильную обыкновенную дробь: \(\mathbf{\frac{804}{100}}\).

\(\mathbf{8,04 = \frac{804}{100}}\)

Если целая часть десятичной дроби отлична от нуля, то можно десятичную дробь сразу перевести в смешанное число, для этого нужно:

1. Число, стоящее перед десятичной запятой, записать как целую часть смешанного числа.
2. В числитель дробной части смешанного числа необходимо записать дробную часть десятичной дроби, отбросив все крайние нули, стоящие слева.
3. В знаменатель записать единицу, а к ней справа дописать столько нулей, сколько цифр находится после запятой в заданной десятичной дроби.

Рассмотрим пример.

Представим десятичную дробь 34,0051 в виде смешанного числа.

Запишем целую часть десятичной дроби, число 34, как целую часть смешанного числа.

После запятой в дробной части десятичной дроби находится четыре знака: 0051, отбросим два нуля стоящие слева, получим число 51.

Это число запишем в числитель дробной части смешанного числа.

В знаменатель запишем единицу, к ней справа допишем четыре нуля, в результате получим число 10000 (так как в дробной части заданной десятичной дроби стоит четыре цифры).

В итоге у нас получится число \(\mathbf{\color{red}{34}\frac{\color{green}{51}}{\color{blue}{10000}}}\).

\(\mathbf{34,0051 = 34\frac{51}{10000}}\)