Урок 19 Получить доступ за 75 баллов Основы деления

С детства нам приходится решать задачи, связанные с делением.

Хотим ли мы разделить с кем-то еду или же разделить лист бумаги на части, нам всегда приходится выполнять деление.

Сегодня вы узнаете, как математически определяется деление натуральных чисел, какие оно содержит в себе элементы.

Также мы разберем, как делить “уголком”, узнаем про то, что такое остаток, какие существуют способы его записи.

Важно будет понять, как записать деление в буквенном виде, узнать, как упростить процесс деления, применяя связанные с ним свойства.

А после мы применим все эти знания к решению уравнений и текстовых задач.

Представим, что по 3-м пачкам чая разложили поровну 75 пакетиков.

Сколько пакетиков чая будет в каждой коробке?

Для ответа на вопрос составим уравнение.

Пусть х- количество пакетиков чая в одной пачке.

Тогда в 3-х пачках будет лежать (\(\mathbf{x\cdot 3}\)) пакетиков чая.

Зная, что всего в 3-х пачках лежит 75 пакетиков, составим уравнение:

\(\mathbf{x\cdot 3 =75}\)

Известно, что только одно число при умножении на 3 даст 75, это число равняется 25-ти, значит, (\(\mathbf{x=25}\)), соответственно, 25 пакетиков чая лежит в одной пачке.

Как мы видим, мы сделали некоторое действие, обратное умножению.

Определение - действие, с помощью которого по произведению и одному из множителей можно получить другой множитель, называют делением.

Запишем то, что мы сделали проще:

\(\mathbf{75:3=25}\)

Рассмотрим еще несколько определений, которые необходимы в разговоре про деление.

Число, которое делят, называется делимым, что весьма логично, ведь его делят.

В примере выше это число 75, ведь именно его необходимо разделить.

Делителем называют то число, на которое делят.

В примере выше это число 3.

Название результата деления не столь очевидно, но его тоже надо знать.

Результат деления называется частным.

В примере выше это будет число 25, ведь именно это является результатом деления 25 на 3.

Так же, как произведением двух чисел может называться не только число, но и само выражение, частным также можно назвать выражение, состоящее из делимого, делителя и знака деления между ними.

То есть в примере выше частным можно назвать не только 25, но и выражение (\(\mathbf{75:3}\)).

Зная определение деления довольно легко проверить, правильно ли было выполнено действие.

Допустим, были известны делимое и делитель, далее было выполнено деление и получено некоторое частное.

Чтобы проверить, что частное получено верно, необходимо перемножить его и делитель.

Если получилось число, равное делимому, значит, в делении не было ошибок, в противном случае частное не удовлетворит определению и нужно будет искать ошибку.

Посмотрим на примерах.

Пример 1.

Проверим корректность выражения \(\mathbf{45:5=9}\).

Для начала, вспоминаем, что в этом выражении чем является.

Понимаем, что делимое- 45, делитель- 5, частное- 9.

Затем перемножаем частное и делитель:

\(\mathbf{9\cdot5=45}\)

Остается сравнить полученное число с делимым.

Они равны.

Значит, деление было выполнено верно.

Пример 2.

Проверим корректность выражения \(\mathbf{51:4=13}\).

В данном выражении делимое- 51, делитель- 4, частное- 13.

Перемножаем частное и делитель.

\(\mathbf{4\cdot13=52}\)

Как видно, полученное число не равно тому, что было определено как делимое.

Значит данное деление было выполнено неверно.

Выражение \(\mathbf{51:4=13}\) некорректно, так как содержит в себе неверное равенство.

После того, как становится понятно определение деления, возникает вопрос, как же собственно выполнять деление, ведь каждый раз подбирать такое частное, чтобы произведение его и делителя сошлось с делимым, может отнимать много времени.

Тут на помощь может прийти деление столбиком или же калькулятор.

И если с калькулятором все понятно, достаточно ввести в него выражение и нажать кнопку подсчета, то в случае деления уголком есть о чем поговорить.

Немного забежав вперед, обозначим, что деление уголком дает больше информации, чем деление с помощью калькулятора.

Представим, что необходимо разделить число 99 на 9.

Можно представить, что сначала делиться 90 на 9, получается, что в числе 90 10 девяток.

Разделив 9 на 9 получим единицу, которая говорит о том, что в числе 9 содержится одна девятка.

Это значит, что если в числе 90 содержится 10 девяток, а в числе 9 одна девятка, значит, в числе 99 их будет \(\mathbf{10+1=11}\)

Таким образом, не деля непосредственно 99 на 9, можно получить результат, что \(\mathbf{99:9=11}\)

Примерно на таких идеях и строится деление уголком.

Алгоритм:

1) Определить, что является делимым, а что является делителем, записать их правильно расположив относительно черты

2) Выбрать число, которое необходимо разделить на делитель

Это число совпадает с началом делимого, причем является наименьшим таким началом, которое больше делителя

3) Определить, сколько раз делитель умещается в выбранном числе

4) Записать это количество раз в частное

5) Умножить на него делитель, вычесть произведение из выбранной части делимого

6) Повторять действия, пока часть делимого не будет выбрана до конца исходного делимого

При повторении каждый раз надо добавлять по одной цифре из исходного делимого.

Звучит довольно сложно, давайте смотреть на примерах.

Пример 1: разделим 224 на 4 применяя деление уголком.

Идем по шагам.

1) Делимым является число 224, делителем- 4.

Делимое пишется слева от черты, делитель справа.

2) Выбираем число.

Есть три варианта чисел, которые являются началом числа 224, это числа 2, 22 и само число 224.

Необходимо выбрать такое число, которое будет больше делителя, то есть больше 4-х, из трех чисел, приведенных выше, такими являются два: 22 и 224.

Дальше необходимо выбрать из них наименьшее, таким будет число 22, значит, его и выбираем.

3) Определяем, сколько раз делитель помещается в выбранном числе.

В данном случае делитель будет помещаться в выбранном числе 5 раз, так как \(\mathbf{5\cdot4=20}\)

6 раз делитель встречаться не может, так как число \(\mathbf{6\cdot4=24}\) уже больше 22-х, а 4 раза не подходят, так как помещается больше, чем 4 делителя, а именно 5.

4) Делитель помещается в выбранном числе 5 раз, значит, пишем 5 в частное, которое располагается под чертой.

5) Вычитаем из выбранного числа произведение делителя и числа, которое записали в частное, то есть вычитаем из 22-х 20.

6) Так как исходное делимое еще не кончилось, дописываем к разности одну цифру из делимого.

1) Делимым становится число 24, делитель все тот же: число 4.

2) Это число уже является наименьшим началом себя, которое делится на 4, поэтому именно его и делим.

3) Число 4 6 раз помещается в число 24.

4) Пишем число 6 в частное.

5) Вычитаем из выбранного числа, то есть из 24-х, произведение числа, которое записали в частное и делителя, то есть 24, получаем 0 как разность.

6) Мы использовали все цифры из исходного делимого, значит, процесс деления закончен.

Частное записано под чертой.

Можно проверить себя, перемножив частное и делитель и сравнив полученное число с делимым.

Действительно, \(\mathbf{56\cdot4=224}\)

Представим, что в какой-то момент еще не на последнем шаге в разности появляется ноль.

В данном случае абсолютно ничего не меняется.

Надо понимать, что если делитель помещается в выбранное число 0 раз, но это и можно записать в частное, а затем уже приписывать следующую цифру.

Пример 2: Разделим 1428 на 14.

1) Делимое- 1428, делитель- 14

2) Выбираем число 14, так как это наименьшее начало числа 1428, которое больше делителя (14-ти).

3) Число 14 помещается в число 14 один раз.

4) Записываем это в частное:

5) Вычитаем из выбранного числа произведение делителя и числа, которое только что записали в частное.

6) Добавляем цифру из делимого и продолжаем процесс.

Следующую группу шагов можно описать сразу.

Мы видим, что 14 помещается в число 2 только 0 раз, соответственно, надо записать в частное 0 и из 2-х вычесть тоже 0, так как произведение любого делителя на 0 будет равно нулю.

Теперь приписываем к 2 последнюю цифру и проделываем цикл снова.

Проверяем себя: \(\mathbf{102\cdot14=1428}\)

Как видите, даже если в процессе появляется 0, это никак не меняет и не усложняет алгоритм.

Приведем еще несколько примеров без подробных пояснений. Будет полезно, если вы самостоятельно проследите действия, которые в них выполняются.

Пример 3:

Пример 4:

Пример 5:

Представим, что необходимо раздать 9 яблок 2-м людям поровну.

Мы можем дать каждому из них по 4 яблока, а еще одно яблоко останется, так как непонятно, кому его дать.

Таким образом, если 9 делить на 2, то останется 1, это число называется остатком, а процесс деления, когда появляется остаток, называется делением с остатком.

Это легче понять, если записать такое деление уголком:

Как видим, делимое записывается сверху слева от черты, в данном случае делимое- 9, делитель записывается сверху справа от черты, в данном случае делитель- 2.

Частное, как и раньше располагается под чертой под делителем, частным в данном случае будет число 4.

Также частное в делении с остатком называют неполным частным.

Остатком же является результат последней разности.

В данном случае остатком будет единица.

Про остаток нужно знать одно интересное свойство: остаток всегда меньше делителя.

Чтобы не запоминать это как аксиому, дадим некоторое объяснение.

Допустим, мы делим те же 9 яблок на 2-х человек и каждому дали по 3 яблока.

Тогда осталось еще 3 яблока.

Но это нельзя назвать остатком, ведь из этих трех яблок можно выделить 2 (по числу делителя) и раздать людям поровну.

И остаток тогда будет равен единице.

По сути если остаток выходит больше делителя, то из него выделяется делитель и число в частном увеличивается.

Рассмотрим еще одно несложное определение.

Если остаток равен нулю, то говорят, что делимое делится на делитель без остатка, также можно сказать, что делимое делится на делитель нацело.

Примеры такого деления были в прошлой главе, например, 1428 делится на 14 без остатка.

В делении уголком последняя разность была равна нулю.

Деление уголком само подсказывает, как найти делимое при делении с остатком.

Рассмотрим пример, разделим с остатком 35 на 8.

Из 35-ти (делимого) вычли 32 (делитель, умноженный на частное), и после этого остался остаток равный 3-м.

Значит, делимое равно сумме произведения делителя и частного с остатком.

Действительно, \(\mathbf{35=8\cdot4+3}\)

Иногда бывает нужно записать деление с остатков одну строку, но писать через сумму не хочется.

Тогда можно записать остаток в скобках после неполного частного.

Примеры:

\(\mathbf{13:6=2}\) (ост. 1)

\(\mathbf{17:5=3}\) (ост. 2)

\(\mathbf{161:13=12}\) (ост. 5)

В случае если нужно будет посчитать исходное делимое, надо будет также домножить неполное частное на делитель и прибавить к полученному числу остаток, записанный рядом.

Как и у любой другой математической сущности, у деления есть свойства, сейчас про них поговорим.

Но для начала стоит познакомится с буквенной записью деления, чтобы говорить про свойства было удобней.

Почти все также, как и в числовой записи: делимое стоит перед знаком деления, делитель же стоит после.

Но, как и в случае с произведением, частным называют не букву, к которой приравнивается выражение \(\mathbf{n:m}\), а само это выражение.

Как и раньше, за буквами может скрываться любое натуральное число.

Также если пишется какой-то свойство в буквенной записи, значит, эта же запись будет верна, какое бы число не подставить вместо букв (кроме случаев, когда отдельно обговариваются ограничения на числа).

Перейдем к самим свойствам.

Особняком идет известное утверждение на нуль делить нельзя.

В дальнейшем в курсе математики будут уточнения, появятся новые понятия, можно будет говорить о предположениях, чему равняется деление на нуль, но все это далеко впереди и не с натуральными числами.

Пока что факт, что на нуль делить нельзя, достаточно просто запомнить.

Представим, что нужно разделить 4 конфеты на 2-х человек, мы знаем, как это сделать. Теперь представим, что надо разделить те же 4 конфеты, но теперь всего один человек, тогда мы просто отдадим все конфеты ему.

1. При делении любого числа на 1 получается это же число.

И в буквенной записи: \(\mathbf{a:1=a}\)

Заметим, что это же свойство верно и для нуля, в самом деле \(\mathbf{0:1=0}\)

Теперь представим, что надо разделить 5 конфет на 5 человек.

В таком случае каждому достанется по одной конфете.

Такой же результат будет, если делить 7 конфет на 7 человек, 33 конфеты на 33 ученика и так далее.

2. При делении любого числа на это же число получается единица.

\(\mathbf{a:a=1}\)

Как вы можете догадаться, здесь нужно сделать поправку и сказать, что a не равно нулю, ведь делить на нуль нельзя.

Теперь представим, что надо на пять человек разделить 0 конфет.

В таком случае очевидно, что никому ничего не достанется.

3. При делении нуля на любое число получается нуль.

\(\mathbf{0:a=0}\)

Опять же, при условии что деление возможно, то есть делитель не равен нулю.

Казалось бы, зачем нужны свойства, если можно просто подбирать множители и делить “уголком”.

Но свойства иногда помогают вычислять значения выражения, даже не доходя до непосредственно самих вычислений, а если до вычислений и приходится доходить, то это значительно их упрощает.

Например, требуется вычислить значение такого выражения:

\(\mathbf{(156\cdot41+23+49:7):(13-13)}\)

Заметим, что после знака деления выражение в скобках равняется нулю: \(\mathbf{13-13=0}\)

А значит, деление невозможно и вычислить значение всего выражения не представляется возможным.

Или же надо найти значение выражения:

\(\mathbf{0:(14-43\cdot76\cdot4)}\)

Зная порядок действий, начать стоит с выражения в скобках.

Но можно заметить, что выражение представляет из себя частное, а делимое равно нулю, следовательно и все выражение будет равно нулю.

\(\mathbf{0:(14-43\cdot76\cdot4)=0}\)

Попрактикуемся в применении свойств в тесте:

В начале урока уже было сказано, как можно проверить правильность найденного частного.

Для этого необходимо умножить частное на делитель и проверить, равняется ли полученное число делимому.

Теперь представим, что уже достоверно известно, что деление было посчитано верно.

Значит, произведение частного и делителя точно будет равно делимому.

А теперь представим, что известно, что деление было посчитано верно, известен делитель и частное, а делимое неизвестно.

Но ведь известно, что если деление верное, то делимое равно произведению частного и делителя.

Следовательно, чтобы найти неизвестное делимое, необходимо только посчитать произведение частного и делителя.

Теперь запишем это языком формул.

Было уравнение: \(\mathbf{x:12=3}\)

В нем х- неизвестное делимое, 12- известный делитель, а 3- известное частное.

Тогда х будет равен произведению 12-ти (делителя) и 3-х (частного)

\(\mathbf{x=12\cdot3}\)

Получаем \(\mathbf{x=36}\)

Теперь научимся находить неизвестный делитель.

Представим ситуацию, что надо разделить 8 конфет на 4 человек.

Все достаточно просто - получится, что каждому человеку необходимо выдать по 2 конфеты.

Теперь представим такую ситуацию: известно, что конфет 8, и каждому человеку раздали по 2 конфеты, и хочется узнать, какому количеству человек эти конфеты раздали.

Получится, что для этого нужно разделить 8 конфет на кучки по 2 конфеты и посчитать количество этих кучек.

Иными словами, надо просто разделить 8 на 2 и получим 4, что и должны были получить.

Таким образом, чтобы по известному делимому и частному найти неизвестный делитель, необходимо делимое разделить на частное.

Если имеем уравнение \(\mathbf{8:x=2}\)

То х в нем выражается так: \(\mathbf{x=8:2}\)

Также деление, как операция, обратная умножению, помогает решать уравнения с умножением.

Представим, что известно, что произведение двух чисел равно 20-ти, при этом один из множителей равен 5-ти и требуется найти второй множитель.

Вспомним определение деления.

Действие, с помощью которого по произведению и одному из множителей находят другой множитель, называют делением.

Следовательно, чтобы найти неизвестный множитель по известному множителю и произведению, надо разделить произведение на известный множитель.

Посмотрим, как это будет в предложенном выше примере.

Итак, имеем уравнение: \(\mathbf{x\cdot5=20}\)

Выражаем х: \(\mathbf{x=20:5}\)

И вычисляем его: \(\mathbf{x=4}\)

В задачах на делимое самым важным является уловить тот момент, в который что-то на что-то делится. Также важно понять, что будет являться делимым, что будет являться делителем и является ли частное тем результатом, что действительно нужен.

Рассмотрим такую задачу.

Задача 1.

На металлоперерабатывающий завод утром привезли 200 центнеров металлолома.

После рабочего дня 20 центнеров металлолома остались не обработанными.

Переработанный рассыпали по одинаковым мешкам поровну и увезли на машинах.

На первой машине уехало 25 мешков, на второй- 30 мешков, на третьей- 35 мешков.

Вопрос, сколько центнеров переработанного металла погрузили на вторую машину.

Объяснение решения:

Пойдем с конца, отталкиваясь от того, что необходимо найти.

Надо найти массу металла на второй машине.

Известно, что на ней увезли 30 мешков.

Значит, если бы была известна масса одного мешка, задача была бы решена.

Теперь возник вопрос, как найти массу одного мешка.

Известно, что по мешкам рассыпали весь переработанный металл.

Также известно, что все эти мешки увезли на трех машинах, количество мешков на каждой из них тоже известно.

Значит, можно поделить массу переработанного металла на количество мешков и получить массу одного мешка.

Собственно, здесь и появляется деление.

Теперь, когда идея решения понятная, перейдем к самому решению.

Решение:

1) \(\mathbf{200-20=180}\) (цт) металла переработали за день

2) \(\mathbf{25+30+35=90}\) (мешков) всего было упаковано за день

3) \(\mathbf{180:90=2}\) (цт) металла было в каждом мешке

4) \(\mathbf{2\cdot30=60}\) (цт) металла увезли на второй машине.

Ответ: 60 центнеров.

Также иногда в задачах нужно не просто делить, а решать уравнения с помощью деления, посмотрим на одну из таких.

Задача 2.

Имеется шестиугольник, про него известно, что 4 его стороны имеют длину по 3 см, оставшиеся 2 стороны- по х сантиметров, а весь периметр шестиугольника равен 20 см.

Требуется найти длину одной из неизвестных сторон.

Объяснение решения:

В данном задаче сразу в условии идет намек на то, что нужно составить уравнение, соответственно, и решение будет идти по такой схеме.

Решение:

х- длина неизвестной стороны

\(\mathbf{2x}\)- сумма длин неизвестных сторон

\(\mathbf{2x+3\cdot4}\)- сумма длин всех сторон, то есть периметр

Зная, что периметр шестиугольника равен 20 сантиметрам, составим и решим уравнение:

\(\mathbf{2x+3\cdot4=20}\)

\(\mathbf{2x+12=20}\)

\(\mathbf{2x=20-12}\)

\(\mathbf{2x=8}\)

В этом месте как раз необходимо один неизвестный множитель, зная другой множитель и произведение, такой тип уравнений как раз разбирался в предыдущей главе.

\(\mathbf{x=8:2}\)

\(\mathbf{x=4}\)

Проверяем, что найдено то, что нужно.

х и являлся длиной неизвестной стороны, значит найденное значение идет в ответ.

Ответ: 4 сантиметра.

Иногда приходится решать задачи на использование какого-то ресурса, который можно израсходовать не полностью.

Задача 3.

На выпуск кузова для одного автомобиля уходит 500 кг металла. Сколько кузовов можно будет выпустить, имея 5625 кг металла? Сколько килограмм металла останется?

Пояснение решения:

В данном случае делить необходимо массу металла на массу, необходимую для выпуска одного кузова.

При этом чтобы понять, сколько металла останется, делить необходимо с остатком.

Решение:

1) \(\mathbf{5625:500=11}\) (ост. 125) (кузовов) можно будет выпустить.

Ответ: 11 кузовов, 125 кг.

Базовые правила умножения всем известны: есть таблица умножения, ускоряющая умножение однозначных чисел, есть умножение столбиком для больших чисел.

Также в современном мире всегда под рукой есть калькулятор в телефоне, решающий такую проблему.

Однако иногда, находясь в магазине, делая работы по ремонту или пересчитывая цены в другой стране в свою валюту, приходится умножать так часто, что открывать калькулятор утомительно, в такие моменты и пригождается навык умножения в уме.

И тут, помимо таблицы умножения и умножения столбиком, полезно знать еще некоторые способы.

Сегодня расскажем про 2 из наиболее популярных приемов.

1) Умножение на 5, 50, 500 и так далее.

Можно заметить, что умножить на 5, это все равно как умножить на 10, а затем поделить на 2.

Умножать на 10 достаточно просто, делить на два четные числа (а при умножении на 10 число получится четным) тоже достаточно просто, поэтому такой способ вполне рабочий, посмотрим на примере.

Умножим 31 на 5.

Первым действием умножаем 31 на 10, получаем 310:

\(\mathbf{31\cdot 10=310}\)

Затем делим полученное число на 2, получаем 155:

\(\mathbf{310:2=155}\)

Аналогично можно сделать умножение на 50, надо только сначала умножить на 5 обозначенным выше способом, а затем умножить на 10.

Умножим 17 на 50.

Сначала умножаем на 10, затем делим на 2, а потом снова умножаем на 10.

\(\mathbf{(17\cdot10 :2)\cdot 10=(170:2)\cdot10=85\cdot10=850}\)

Конечно, можно не умножать на 10 дважды, а просто один раз умножить на 100, а затем разделить на 2:

\(\mathbf{17\cdot100:2=1700:2=850}\)

2) Примерно так же можно умножать на 25, 250 и так далее.

Заметим факт, что \(\mathbf{25=100:4}\).

Используем это, чтобы умножить 42 на 25.

Для этого умножим 42 на 100, затем разделим на 4:

\(\mathbf{42\cdot25=42\cdot100:4=4200:4=1050}\)

Чтобы умножить на 250, нужно умножать уже не на 100, а на 1000, а затем уже делить на 4.

Умножим 37 на 250.

Сначала домножаем на 1000, затем делим на 4.

\(\mathbf{37\cdot250=37\cdot1000:4=37000:4=9250}\)

В следующих уроках вы также узнаете способы, как упростить подсчеты.