Урок 37 Получить доступ за 75 баллов Деление и дроби

Сегодня на уроке речь пойдет о хорошо уже известной вам арифметической операции деления.

Вы уже имеете общее представление о делении натуральных чисел, знаете, как называются компоненты данной математической операции, и по каким правилам находится каждое из них.

До сих пор при решении различных задач на деление мы находили частое чисел, где делимое было большее делителя.

Давайте попробуем разобраться, возможно ли выполнять деление меньшего натурального числа на большее, выясним, что в таком случае будет получаться, и как данное действие правильно записывать.

Разберем решение уравнений, содержащих дроби.

Рассмотрим решение текстовых задач с использованием обыкновенных дробей.

В жизни нам часто приходится что-то делить или чем-то делиться.

Например, в детском саду дети нередко делят игрушки; чтобы пицца или праздничный торт достались каждому гостю, мы делим его на кусочки; с друзьями мы всегда рады поделиться яблоком, мороженным, конфетами, шоколадкой и др.

Так, если нам придется поделить два яблока на двоих, то это для нас не составит большого труда.

Каждому, в таком случае, достанется по одному яблоку.

Математически данное действие запишем в виде равенства: 2 ÷ 2 = 1.

Рассмотрим ситуацию посложней.

Допустим у нас есть две груши и их нужно разделить между четырьмя друзьями.

Как же нам угостить каждого и не обидеть никого?

На первый взгляд это кажется невозможным (число 2 не делится нацело на 4).

Однако выход есть, разрежем первую и вторую грушу на четверти (т.е. каждую грушу разрежем на четыре равные части).

В итоге у нас получится 8 равных частей- 8 долей груши.

Каждая из этих частей- это \(\mathbf{\frac{1}{4}}\) часть груши.

Всем четырем желающим попробовать фрукт достанется по \(\mathbf{\frac{1}{4}}\) от каждой груши.

Таким образом каждый из друзей получит по две доли груши, т.е.\(\mathbf{\frac{1}{4} + \frac{1}{4}}\).

Сложим две дроби с одинаковым знаменателем, получим:

\(\mathbf{\frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1 + 1}{4} = \frac{2}{4}}\)

В итоге каждый друг получит\(\mathbf{\frac{2}{4}}\) груши.

Дробь \(\mathbf{\frac{2}{4}}\) образовалась при делении двух (яблок) на четыре (части).

В результате, никого не обидев, нам удалось разделить две груши на четверых желающих их попробовать.

Рассмотрим еще одну, казалось бы, неразрешимую ситуацию.

Разделим поровну две одинаковые плитки шоколада на троих друзей.

Как же это осуществить?

Шоколадных плиток две, а друзей трое (число 2 нацело не разделить на 3).

Давайте разломим каждую плитку шоколада на 3 равные части.

В результате у нас получится 6 равных частей- 6 долей шоколада.

Каждая такая доля шоколадной плитки представляет собой \(\mathbf{\frac{1}{3}}\) плитки.

Угостим каждого друга \(\mathbf{\frac{1}{3}}\) части от каждой шоколадной плитки.

В таком случае каждому из друзей достанется по две доли шоколадной плитки, т.е.\(\mathbf{\frac{1}{3} + \frac{1}{3}}\).

Сложим две дроби с одинаковым знаменателем, получим:

\(\mathbf{\frac{1}{3} + \frac{1}{3} = \frac{1 + 1}{3} = \frac{2}{3}}\)

В итоге каждый друг получит\(\mathbf{\frac{2}{3}}\) шоколадной плитки.

Дробь \(\mathbf{\frac{2}{3}}\) образовалась при делении двух (шоколадных плиток) на три (части).

Так мы смогли, никого не обидев, разделить две шоколадные плитки на троих желающих попробовать шоколад.

Обобщая рассмотренные выше примеры, мы можем заметить, что обыкновенная дробь \(\mathbf{\frac{m}{n}}\) представляет собой математическую операцию деления m объектов на n частей.

Мы получили прямую связь между обыкновенной дробью и арифметической операцией деления.

С помощью обыкновенной дроби можно записать частное двух любых натуральных чисел.

Дробную черту (горизонтальную или наклонную), которая отделяет числитель от знаменателя, применяют как знак деления.

Знак деления и дробная черта представляет одно и тоже арифметическое действие- деление, т.е. m ÷ n и \(\mathbf{\frac{m}{n}}\) одно и то же.

Следовательно,m ÷ n и \(\mathbf{\frac{m}{n}}\) равны.

Результат деления двух натуральных чисел может быть натуральным числом или дробным числом.

• Если деление выполняется нацело, то частное является натуральным числом.

Пример №1.

\(\mathbf{90 \div 5 = \frac{90}{5} = 45}\)

\(\mathbf{12 \div 4 = \frac{12}{4} = 3}\)

\(\mathbf{26 \div 13 = \frac{26}{13} = 2}\)

Пример №2.

Любое натуральное число можно представить в виде неправильной дроби, в которой числитель любое натуральное число, а знаменатель равен единице.

\(\mathbf{2 \div 1 = \frac{2}{1} = 2}\)

\(\mathbf{24 \div 1 = \frac{24}{1} = 24}\)

\(\mathbf{1234 \div 1 = \frac{1234}{1} = 1234}\)

• Если числитель не делится на знаменатель, то частное является дробным числом.

Пример №1.

\(\mathbf{1 \div 2 = \frac{1}{2}}\)

\(\mathbf{4 \div 12 = \frac{4}{12}}\)

\(\mathbf{13 \div 26 = \frac{13}{26}}\)

Пример №2.

Четыре яблока разделили на восьмерых человек.

Сколько яблок достанется каждому?

Решение:

Общее количество яблок (четыре) разделим на количество частей (восемь).

Деление m объектов на n частей можно представить в виде обыкновенной дроби \(\mathbf{\frac{m}{n}}\).

В результате получаем: \(\mathbf{m \div n = \frac{m}{n} = \frac{4}{8}}\) (яблока) достанется каждому.

Нам известно, что одну и ту же обыкновенную дробь можно представить разными способами.

Разделить целое на восемь частей и взять четыре, будет тоже самое, что разделить это же целое на две части и взять одну.

Таким образом получаем \(\mathbf{\frac{4}{8} = \frac{1}{2}}\).

Дробь \(\mathbf{\frac{1}{2}}\) означает по своей сути половину чего-либо, следовательно, каждому достанется по одной половинке яблока.

Ответ: \(\mathbf{\frac{4}{8} = \frac{1}{2}}\) (яблока).

Рассмотрим несколько примеров решение уравнений и текстовых задач на нахождение неизвестного компонента арифметической операции деления.

Каждый компонент математической операции деления имеет свое название.

Взаимосвязь компонентов арифметической операции деления нам хорошо известна.

В общем виде деление мы можем записать следующим образом:

Делимое- это число, которое делят.

Делитель- это число, на которое делят делимое.

Частное- результат арифметической операции деления (число, которое получается в результате деления одного числа на другое).

Частное двух чисел можно записать в виде обыкновенной дроби, где числитель- это делимое, знаменатель- это делитель, а знак деления- это дробная черта.

Часто, решая задачи и уравнения, приходится находить неизвестный компонент операции деления.

Вспомним, по каким правилам можно найти каждый компонент деления.

Применим данные знания при решении текстовых задач и решении уравнений, содержащих обыкновенные дроби.

Правила нахождения неизвестных компонентов операции деления едино для любой формы записи частного двух чисел.

1. Нахождение неизвестного частного, если известны делимое и делитель.

Частное- это результат, полученный при выполнении деления, очевидно, что частное находят с помощью данной арифметической операции.

Зная делимое и делитель, можно найти частное, для этого необходимо делимое разделить на делитель.

Рассмотрим пример.

Двенадцать пирожных стоят 300 рублей.

Сколько стоит одно пирожное?

Решение:

300 руб.- стоимость двенадцати пирожных (делимое).

12 шт.- общее количество пирожных (делитель).

Цена одного пирожного (частное)- ?

Чтобы найти частное, необходимо делимое разделить на делитель.

\(\mathbf{\frac{300}{12} = 25}\) (руб.) стоит одно пирожное.

Ответ: 25 (руб.)

2. Нахождение неизвестного делимого, если известны делитель и частное.

Правило: чтобы найти неизвестное делимое, необходимо частное умножить на делитель (или наоборот делитель умножить на частное).

Пример №1.

Решите уравнение \(\mathbf{\frac{x}{5} = 80}\).

Выражение, стоящее в левой части уравнения, является частным двух чисел.

Неизвестное х (числитель дроби)- делимое.

Найдем значение х, при котором уравнение обратится в верное равенство.

Так как числитель дроби- неизвестное делимое, следовательно, воспользуемся правилом нахождения неизвестного делимого.

Чтобы найти неизвестное делимое (х), необходимо частное (80) умножить на делитель (5).

\(\mathbf{\frac{x}{5} = 80}\)

х = 80 • 5

х = 400

Проверка: в исходное уравнение \(\mathbf{\frac{x}{5} = 80}\) вместо неизвестного х нужно подставить найденное значение х = 400.

\(\mathbf{\frac{400}{5} = 80}\)

400 ÷ 5 = 80

80 = 80

Получили верное равенство, следовательно, корень уравнения найден верно.

Ответ: х = 400.

Решим текстовую задачу на нахождение неизвестного делимого алгебраическим способом.

Взаимосвязь компонентов математических операций применяют для решения текстовых задач.

Решить задачу алгебраическим способом- значит найти ответ на требование задачи, путем составления уравнения.

При составлении уравнения учитывают соотношения и взаимосвязи между величинами, которые могут быть даны в условии задачи или вытекать из смысла этой задачи.

Пример №2.

Сыну восемь лет. Он младше своего отца в четыре раза.

Определите возраст отца.

Решение:

Пусть х (лет) возраст отца.

Тогда \(\mathbf{\frac{x}{4}}\) (лет) возраст сына.

Зная, что сыну 8 лет, составим уравнение.

\(\mathbf{\frac{x}{4} = 8}\)

Решим полученное уравнение.

Выражение, стоящее в левой части уравнения- это частное двух чисел.

х- неизвестное делимое.

Найдем неизвестное делимое (х), для этого необходимо найти произведение частного (8) и делителя (4).

\(\mathbf{\frac{x}{4} = 8}\)

х = 8 • 4

х = 32 (года) возраст отца.

Ответ: х = 32 (года).

3. Нахождение неизвестного делителя, если известны делимое и частное.

Правило: чтобы найти неизвестный делитель, необходимо делимое разделить на частное.

Пример №1.

Решите уравнение \(\mathbf{\frac{252}{x} = 4}\).

Выражение, стоящее в левой части уравнения, является частным двух чисел.

Неизвестное х (знаменатель дроби)- это неизвестный делитель.

Найдем значение х, при котором уравнение обратится в верное равенство.

Так как знаменатель дроби- неизвестный делитель, то воспользуемся правилом нахождения неизвестного делителя.

Чтобы найти неизвестный делитель (х), необходимо делимое (252) разделить на частное (4).

\(\mathbf{\frac{252}{x} = 4}\)

х = 252 ÷ 4

х = 63

Проверка: в исходное уравнение \(\mathbf{\frac{252}{x} = 4}\) вместо неизвестного х нужно подставить найденное значение х = 63.

\(\mathbf{\frac{252}{63} = 4}\)

252 ÷ 63 = 4

4 = 4

Получили верное равенство, следовательно, корень уравнения найден верно.

Ответ: х = 63.

Решим текстовую задачу на нахождение неизвестного делителя.

Пример №2.

96 шоколадных конфет разложили в подарочные коробки.

В каждую коробку положили одинаковое количество конфет, получили 12 коробок.

Сколько конфет положили в каждую коробку?

Решение:

Пусть х (конф.) в одной коробке.

Тогда \(\mathbf{\frac{96}{x}}\) (кор.) с конфетами получилось.

Зная, что всего получили 12 коробок конфет, составим уравнение.

\(\mathbf{\frac{96}{x} = 12}\)

Решим полученное уравнение.

Левая часть уравнения представляет собой частное двух чисел.

Неизвестная х, стоящая в знаменателе дроби- это неизвестный делитель.

Чтобы найти неизвестный делитель (х), необходимо делимое (96) разделить на частное (12).

\(\mathbf{\frac{96}{x} = 12}\)

х = 96 ÷ 12

х = 8 (конф.) в одной коробке.

Так как в каждую коробку положили одинаковое количество конфет, то в каждой подарочной коробке окажется 8 шоколадных конфет.

Ответ: х = 8 (конф.)

Пример №1.

\(\mathbf{\frac{245}{10} - \frac{215}{10} = \frac{245 - 215}{10} = \frac{30}{10}}\)

Так как дробная черта- это знак деления, то \(\mathbf{\frac{30}{10} = 30 \div 10 = 3}\).

Пример №2.

Решите уравнение \(\mathbf{\frac{x}{5} + \frac{5}{5} = 3}\).

Первое и второе слагаемое имеют одинаковый знаменатель, следовательно, уравнение можно записать в виде:

\(\mathbf{\frac{x + 5}{5} = 3}\)

Выражение, стоящее в левой части уравнения, является частным.

За неизвестное примем целое выражение х + 5.

х + 5- это неизвестное делимое.

Чтобы найти неизвестное делимое, необходимо найти произведение частного и делителя.

\(\mathbf{\frac{x + 5}{5} = 3}\)

х + 5 = 3 • 5

х + 5 = 15

Получили простое уравнение с неизвестным слагаемым.

Чтобы найти неизвестное слагаемое (х), необходимо из суммы (15) вычесть известное слагаемое (5).

х = 15 - 5

х = 10

Проверка: подставим в исходное уравнение \(\mathbf{\frac{x}{5} + \frac{5}{5} = 3}\) найденное значение неизвестной х = 10.

\(\mathbf{\frac{10}{5} + \frac{5}{5} = 3}\)

\(\mathbf{\frac{10 + 5}{5} = 3}\)

\(\mathbf{\frac{15}{5} = 3}\)

3 = 3

Полученное равенство верно, следовательно, корень уравнения найден верно.

Ответ: х = 10.

Пример №3.

Решим задачу алгебраическим способом.

Купили 4 мороженных на палочке и 4 мороженных в стаканчике, причем за четыре мороженных на палочке заплатили в 2 раза больше, чем за четыре мороженных в стаканчике.

Общая стоимость одного мороженного в стаканчике и одного мороженного на палочке составляет 120 рублей.

Сколько стоит одно мороженное в стаканчике?

Сколько стоит одно мороженное на палочке?

Решение:

Пусть х (руб.)- стоят 4 мороженных в стаканчике.

Тогда 2х (руб.)- стоят 4 мороженных на палочке.

\(\mathbf{\frac{x}{4}}\)- стоит одно мороженное в стаканчике.

\(\mathbf{\frac{2x}{4}}\)- стоит одно мороженное на палочке.

Зная, что общая стоимость одного мороженного в стаканчике и одного мороженного на палочке составляет 120 рублей, составим уравнение.

\(\mathbf{\frac{x}{4} + \frac{2x}{4} = 120}\)

Так как дроби имеют одинаковый знаменатель, уравнение запишем в виде:

\(\mathbf{\frac{x + 2x}{4} = 120}\)

Выражение, стоящее в левой части уравнения, является частным.

За неизвестное примем целое выражение х + 2х.

х + 2х (числитель дроби)- это неизвестное делимое.

Так как первое и второе слагаемое содержит одинаковую буквенную часть, то сложим их коэффициенты и умножим на буквенную часть.

х + 2х = (1 + 2) • х = 3х

Исходное уравнение примет вид:

\(\mathbf{\frac{3x}{4} = 120}\)

В данном уравнении 3х- неизвестное делимое.

Чтобы найти неизвестное делимое (3х), необходимо частное (120) умножить на делитель (4).

3х = 120 • 4

3х = 480

Получили простое уравнение, в котором неизвестен множитель.

Чтобы найти неизвестный множитель, необходимо произведение разделить на известный множитель.

х = 480 ÷ 3

х = 160 (руб.) стоят четыре мороженных в стаканчике.

Известно, что одно мороженное в стаканчике стоит \(\mathbf{\frac{x}{4}}\)(руб.), подставим вместо х найденное его значение (х = 160).

\(\mathbf{\frac{x}{4} = \frac{160}{4} = 40}\) (руб.) стоит одно мороженное в стаканчике.

Известно, что \(\mathbf{\frac{2x}{4}}\) (руб.) стоит одно мороженное на палочке, подставим вместо х найденное его значение (х = 160).

\(\mathbf{\frac{2x}{4} = (2 \cdot x) \div 4 = (2 \cdot 160) \div 4 = 320 \div 4 = 80}\) (руб.) стоит одно мороженное на палочке.

Ответ: 40 (руб.), 80 (руб.)