Урок 45 Получить доступ за 75 баллов Деление десятичных дробей
На этом уроке мы продолжим изучать десятичные дроби и математические действия с ними.
Сегодня речь пойдет о делении десятичных дробей.
Сформулируем правило деления десятичной дроби на натуральное число.
Научимся делить натуральные числа без остатка.
Рассмотрим быстрый и удобный способ деления десятичной дроби на 10, 100, 1000 и т.д.
Применим полученные знания при решении различных задач.
Деление десятичной дроби на натуральное число
Решим простую задачу на деление.
15,3 литра компота разлили поровну в 5 банок.
Сколько литров компота налили в каждую банку?
Запишем кратко условие задачи.
В 5 банках- 15,3 л компота.
В 1 банке- ? л компота.
Так как в каждую банку налили одинаковое количество компота, то, узнав сколько литров компота налили в одну банку, определим сколько компота находится в каждой банке.
Чтобы узнать сколько литров компота в одной банке, необходимо общий объем компота разделить на количество банок, в которые его разлили.
Разделим десятичную дробь 15,3 на 5.
Что значит разделить десятичную дробь на натуральное число?
Разделить десятичную дробь на натуральное число- это значит найти такую дробь, которая при умножении на это натуральное число дает делимое.
Рассмотрим правило деления десятичной дроби на натуральное число столбиком (уголком).
Деление десятичной дроби практически не отличается от умножения натуральных чисел, главное правильно определить место десятичной запятой в полученном частном.
Чтобы разделить десятичную дробь на натуральное число необходимо:
- Разделить целую часть десятичной дроби на натуральное число по правилу деления уголком (как делят натуральные числа).
- После того, как целая часть будет разделена, в неполном частном необходимо поставить десятичную запятую.
- Продолжить деление: выполнить деление дробной части десятичной дроби по правилу деления уголком, не обращая внимание на десятичную запятую (как делят натуральные числа).
Используя данный алгоритм, разделим 15,3 на 5.
Для нашей задачи получаем:
Начнем деление с целой части десятичной дроби.
Выберем в делимом наименьшее неполное делимое, которое делится на 5- это число 15.
Разделим неполное делимое на делитель.
Разделим 15 на 5, получится число 3 запишем его в частное.
Деление целой части закончено (в целой части знаков больше нет), поставим десятичную запятую в частном.
Найдем остаток от промежуточного деления: вычтем из неполного делимого произведение делителя и найденного неполного частного.
Получим: 15 – (5 ∙ 3) = 15 – 15 = 0
Остаток от деления получился равным нулю.
Далее мы будем делить дробную часть десятичной дроби, не обращая внимание на десятичную запятую.
Сносим число 3, но так как 3 на 5 не делится, в частное после десятичной запятой запишем нуль.
Чтобы дальше продолжить деление, необходимо в делимом справа дописать дополнительный один нуль (это действие не изменит дробь), а затем этот нуль снесем к тройке.
Получим следующее промежуточное делимое- это число 30.
Разделим 30 на делитель 5, в частном получим 6 сотых долей.
Найдем остаток от промежуточного деления.
30 – (5 ∙ 6) = 30 – 30 = 0
В остатке получили нуль, в делимом знаков больше нет, деление закончено.
В итоге получаем: 15,3 ÷ 5 = 3,06 (л) компота налили в каждую банку.
Ответ: 3,06 (л).
Могут возникнуть случаи, когда целая часть делимого меньше делителя или равна нулю.
Решим простую задачу.
Кусок ленты длиной 2,4 м разделили на 4 равные части.
Определите, какова длина каждой части.
Ленту разрезали на одинаковые части, следовательно, если найдем длину одной части, станет известна длина каждой части.
Разделим десятичную дробь 2,4 на 4 уголком.
Начнем деление с целой части десятичной дроби.
В целой части делимого стоит число 2.
Число 2 на 4 не делится записываем в частное нуль целых и ставим десятичную запятую, так как деление целой части десятичной дроби на этом закончено.
Определим остаток от промежуточного деления: 2 – (4 ∙ 0) = 2 – 0 = 2.
Продолжаем деление, к остатку сносим 4 десятых, образуется неполное делимое 24.
Неполное делимое 24 разделим на делитель 4, получаем число 6, запишем его в частное после запятой.
Найдем остаток от промежуточного деления: 24 – (4 ∙ 6) = 24 – 24 = 0.
В остатке получили нуль, в делимом знаков больше нет, деление закончено.
В результате получаем: 2,4 ÷ 4 = 0,6 (м) длина каждой части ленты.
Ответ: 0,6 (м).
Деление натуральных чисел без остатка
На одном из уроков мы выяснили, что любая обыкновенная дробь (правильная и неправильная)- это ничто иное, как математическая операция деления.
С помощью обыкновенной дроби можно записать частное любых двух натуральных чисел.
- Так, если в обыкновенной дроби знаменатель равен числителю, то дробь равна единице.
\(\mathbf{\frac{m}{n} = 1}\), где m = n
Рассмотрим простой пример.
Для гостей разрезали пирог на шесть равных частей.
Каждый гость съел по кусочку, в результате пирог закончился, не осталось ни одного куска.
В таком случае дробь \(\mathbf{\frac{6}{6}}\) будет показывать, что целое (весь пирог) разделили на шесть равных частей, а потом все эти шесть частей съели.
В любой обыкновенной дроби дробная черта означает знак деления, получаем:
\(\mathbf{\frac{6}{6} = 6 \div 6}\)
Так как в нашем примере делимое (числитель) равно делителю (знаменателю), получаем:
\(\mathbf{\frac{6}{6} = 6 \div 6 = 1}\)
Что представляет собой неправильная обыкновенная дробь нам тоже хорошо известно.
Числитель в неправильной дроби всегда больше знаменателя.
Рассмотрим пример.
Семиметровую ленту разрезали на 5 равных частей.
Определите какова длина каждой части.
Чтобы узнать длину каждой части, необходимо длину всей ленты разделить на 5.
\(\mathbf{\frac{7}{5} = 7 \div 5}\)
Разделим столбиком (уголком) 7 на 5.
Выделим в делимом наименьшее неполное делимое, которое делится на 5.
В нашем случае это само число 7.
Разделим неполное делимое на делитель.
Разделим 7 на 5 получим 1- это неполное частное.
Найдем остаток от промежуточного деления: вычтем из делимого произведение делителя и неполного частного.
7 – (5 ∙ 1) = 7 – 5 = 2.
Получим в остатке число 2.
Раньше на данном этапе мы бы остановили процесс деления.
Но сейчас деление мы можем довести до конца, т.е. разделить 7 на 5 без остатка.
Для этого необходимо разделить 2 единицы, оставшиеся в остатке, на 5 частей.
После того, как мы нашли целую часть (т.е. деление целых частей закончили), в частном после единицы поставим десятичную запятую и приступим к нахождению дробной части.
Чтобы продолжить деление, необходимо делимое натуральное число представить в виде десятичной дроби: в делимом справа поставить десятичную запятую, после запятой дописать один нуль (это действие не изменит число), а затем этот нуль снести к остатку.
Получаем следующее промежуточное делимое- это число 20.
Теперь число 20 легко разделить на делитель 5.
20 ÷ 5 = 4
Запишем полученное число 4 в частное после десятичной запятой.
Умножим делитель на найденное число 4.
5 ∙ 4 = 20
Произведение запишем под неполным делимым.
Найдем остаток от промежуточного деления: 20 – (5 ∙ 4) = 20 – 20 = 0.
Получим в остатке нуль, в делимом знаков больше нет, а это значит деление столбиком завершено.
В итоге получим следующий результат: 7 ÷ 5 = 1,4 (м) длина каждой части ленты.
Ответ: 1,4 (м).
- Рассмотрим случай, когда частное представлено правильной обыкновенной дробью.
В таком случае делимое (числитель) меньше делителя (знаменателя).
Рассмотрим пример.
Два друга поровну поделили апельсин, разрезав его на две части.
Определим сколько апельсина достанется каждому из друзей?
Такую простую задачу мы решали не один раз.
Один апельсин, поделенный на две части, можно представить в виде правильной обыкновенной дроби.
½ апельсина достанется каждому из друзей.
Однако, зная, что дробная черта- это знак деления, разделим единицу на 2.
Выполним деление уголком.
Выделим в делимом наименьшее неполное делимое, которое делится на 2.
В нашем случае такое число отсутствует.
Невозможно 1 разделить на 2, поэтому в частное запишем нуль и поставим десятичную запятую.
Умножим делитель 2 на неполное частное 0.
2 ∙ 0 = 0
Запишем полученное произведение под делимым, вычитанием найдем остаток.
Чтобы продолжить деление, необходимо делимое натуральное число представить в виде десятичной дроби: в делимом справа поставить десятичную запятую, после запятой дописать один нуль (это действие не изменит число), а затем этот нуль снести к остатку.
Получаем промежуточное делимое- это число 10.
Приступим к нахождению дробной части.
Для этого 10 разделим на 2.
10 ÷ 2 = 5
Запишем полученное число 5 в частное после запятой.
Умножим делитель на найденное число 5.
2 ∙ 5 = 10
Произведение запишем под неполным делимым.
Найдем остаток от промежуточного деления: 10 – (5 ∙ 2) = 10 – 10 = 0.
Получим в остатке нуль, в делимом знаков больше нет, а это значит деление столбиком 1 на 2 можно считать завершенным.
В итоге получим следующий результат: 1 ÷ 2 = 0,5 (ап.) получит каждый из друзей.
Ответ: 0,5 (ап.).
Правило деления десятичной дроби на 10, 100, 1000 и т.д.
Выясним, как легко и быстро разделить десятичную дробь на 10, 100, 1000 и т.д.
Для того чтобы сформулировать правило деления десятичной дроби на 10, 100, 1000 и т.д., рассмотрим три примера.
Пример №1.
Выразим в метрах длину 834,5 дециметров.
Один дециметр в 10 раз меньше метра, следовательно, чтобы перевести величину из дециметров в метры, необходимо количество дециметров разделить на 10.
Разделим десятичную дробь 834,5 на 10 столбиком.
Начнем деление с целой части десятичной дроби.
Выделим в делимом неполное делимое.
Выберем наименьшее число, которое делится на 10- это число 83.
Разделим неполное делимое на делитель.
Разделим 83 на 10, получится число 8 запишем его в частное.
Найдем остаток от промежуточного деления: 83 – (10 ∙ 8) = 83 – 80 = 3.
Получим в остатке число 3.
Продолжим делить целую часть дробного числа 834,5.
К остатку от промежуточного деления сносим число 4.
Получаем следующее промежуточное делимое- это число 34.
Разделим 34 на делитель 10, в частном получим в разряде десятков число 3.
Найдем остаток от промежуточного деления: 34 – (10 ∙ 3) = 34 – 30 = 4.
Так как остаток 4 на 10 не делится, в целой части знаков больше нет, т.е. деление целой части дробного числа закончено, поставим десятичную запятую в частном.
Продолжим деление десятичной дроби 834,5 далее.
Выполним деление дробной части десятичной дроби по правилу деления уголком, как делят натуральные числа, не обращая внимание на десятичную запятую в делимом.
В итоге получаем: 834,5 дм = 834,5 ÷ 10 = 83,45 м.
Пример №2.
Выразим 834,5 сантиметров в метрах.
Один сантиметр в 100 раз меньше метра, следовательно, чтобы перевести величину из сантиметров в метры, необходимо количество сантиметров разделить на 100.
Разделим десятичную дробь 834,5 на 100 столбиком.
Начнем деление с целой части десятичной дроби.
Выделим в делимом неполное делимое.
Выберем наименьшее число, которое делится на 100- это число 834.
Разделим неполное делимое на делитель.
Разделим 834 на 100, получится число 8 запишем его в частное.
Найдем остаток от промежуточного деления: 834 – (100 ∙ 8) = 834 – 800 = 34.
Получим в остатке число 34.
Так как остаток 34 на 100 не делится, в целой части знаков больше нет, т.е. деление целой части дробного числа закончено, поставим десятичную запятую в частном.
Продолжим деление десятичной дроби 834,5 далее.
Выполним деление дробной части десятичной дроби по правилу деления уголком, как делят натуральные числа, не обращая внимание на десятичную запятую в делимом.
В результате получаем: 834,5 см = 834,5 ÷ 100 = 8,345 м.
Пример №3.
Выразим 834,5 миллиметров в метрах.
Один миллиметр в 1000 раз меньше метра, следовательно, чтобы перевести величину из миллиметров в метры, необходимо количество миллиметров разделить на 1000.
Разделим столбиком десятичную дробь 834,5 на 1000.
Чтобы разделить десятичную дробь 834,5 на 1000, необходимо разделить сначала целую часть этой десятичной дроби.
834 на 1000 не делится, записываем в частное нуль.
Деление целой части на этом закончено, следовательно, поставим в частное после нуля десятичную запятую и продолжим деление столбиком, как делят натуральные числа, не обращая внимание на десятичную запятую в делимом.
В результате получаем: 834,5 мм = 834,5 ÷ 1000 = 0,8345 м.
Обратим внимание на полученные равенства.
834,5 ÷ 10 = 83,45
834,5 ÷ 100 = 8,345
834,5 ÷ 1000 = 0,8345
Отметим некоторую закономерность: при делении десятичной дроби на 10, 100, 1000 набор цифр и порядок их следования остается неизменным, а десятичная запятая меняет свое положение в числе.
При уменьшении десятичной дроби в 10 раз, запятая переносится на один десятичный знак.
При уменьшении десятичной дроби в 100 раз, запятая переносится на два десятичных знака.
При уменьшении десятичной дроби в 1000 раз, запятая переносится на три десятичных знака.
Существует правило, которое позволяет легко и быстро разделить любую десятичную дробь на 10, 100, 1000 и т.д.
Правило: чтобы разделить любую десятичную дробь на 10, 100, 1000 и т.д., необходимо перенести в этой дроби запятую на столько знаков влево, сколько нулей стоит после единицы в делителе.
Поясним:
- Так как в числе 10 после единицы стоит один нуль, значит, при делении десятичной дроби на 10, нужно запятую сдвинуть влево на одну цифру.
- Так как в числе 100 после единицы стоит два нуля, значит, при делении десятичной дроби на 100, нужно запятую сдвинуть влево на две цифры.
- Так как в числе 1000 после единицы стоит три нуля, при делении десятичной дроби на 1000, нужно запятую сдвинуть влево на три цифры.
Умножим 123,4 на 1000, для этого нужно запятую перенести на три знака влево.
Однако, для переноса запятой влево не хватает цифр.
Если при делении десятичной дроби на 10, 100, 1000 и т.д. не хватает знаков для переноса запятой, то необходимо в этой дроби слева приписать столько нулей, сколько требуется (данное действие не изменит заданную десятичную дробь).
В нашем случае добавим слева один нуль.
Только после этого перенесем запятую влево на три цифры.
Решим несколько простых задач.
Задача №1.
За 10 килограммов картофеля заплатили 564 рубля.
Сколько стоит один килограмм картофеля?
Задача №2.
15800 метров поезд двигался со скоростью 100 км/ч.
За какое время он прошел этот участок пути?
Ответ запишите в минутах.
По условию известны следующие величины:
S- пройденный путь.
V- скорость движения автомобиля.
Неизвестно t- время движения.
Решение данной задачи будет выглядеть так.
Задача №3.
Маша загадала число.
Если это число увеличить в 1000 раз, то получится 2345,6.
Какое число загадала Маша?
Пусть х- это число, которое загадала Маша.
При увеличении задуманного числа в 1000 раз, получится выражение х ∙ 1000.
Зная, что в результате получится число 2345,6 составим уравнение.
х ∙ 1000 = 2345,6
Получили простое уравнение, в котором неизвестен множитель.
Чтобы найти неизвестный множитель, необходимо произведение разделить на известный множитель.
х ∙ 1000 = 2345,6
х = 2345,6 ÷ 1000
Чтобы разделить десятичную дробь на 1000, необходимо перенести в этой дроби десятичную запятую на три знака влево.
х = 2,3456
Ответ: число 2,3456 задумала Маша.
В бесплатной версии урока недоступны:
- Видео
- Изображения
- Дополнительная информация
- Таблицы
- Тесты