Урок 34 Получить доступ за 50 баллов Сравнение дробей

Ранее нами были изучены обыкновенные дроби, а также основное свойство дроби.

Также, вам, наверное, известно, что натуральные числа можно сравнивать, и вы возможно уже задавались таким вопросом.

Если обыкновенные дроби, как и натуральные числа, представляют собой оценку количества чего-либо, можно ли их сравнивать?

Можно!

За время этого урока мы узнаем, как сравнивать обыкновенные дроби.

Познакомится со способам сравнения дробей с одинаковым знаменателем.

Познакомимся со способом сравнения дробей с одинаковым числителем.

А также мы рассмотрим универсальные способы сравнения обыкновенных дробей.

Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipisicing elit. Adipisci autem beatae consectetur corporis dolores ea, eius, esse id illo inventore iste mollitia nemo nesciunt nisi obcaecati optio similique tempore voluptate!

Adipisci alias assumenda consequatur cupiditate, ex id minima quam rem sint vitae? Animi dolores earum enim fugit magni nihil odit provident quaerat. Aliquid aspernatur eos esse magnam maiores necessitatibus, nulla?

Эта информация доступна зарегистрированным пользователям

Сравнение дробей с одинаковым знаменателем

Рассмотрим, как можно сравнивать дроби с одинаковым знаменателем на примере.

Давайте сравним следующие дроби с одинаковым знаменателем \(\mathbf{\frac{3}{7}}\), \(\mathbf{\frac{5}{7}}\), \(\mathbf{\frac{1}{7}}\), разделив отрезок на 7 равных частей.

Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipisicing elit. Adipisci autem beatae consectetur corporis dolores ea, eius, esse id illo inventore iste mollitia nemo nesciunt nisi obcaecati optio similique tempore voluptate!

Adipisci alias assumenda consequatur cupiditate, ex id minima quam rem sint vitae? Animi dolores earum enim fugit magni nihil odit provident quaerat. Aliquid aspernatur eos esse magnam maiores necessitatibus, nulla?

Эта информация доступна зарегистрированным пользователям

Теперь, если мы будем сравнивать наши дроби как длины частей отрезка, то мы увидим, что:

\(\mathbf{\frac{1}{7}\lt\frac{3}{7}\lt\frac{5}{7}}\)

Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipisicing elit. Adipisci autem beatae consectetur corporis dolores ea, eius, esse id illo inventore iste mollitia nemo nesciunt nisi obcaecati optio similique tempore voluptate!

Adipisci alias assumenda consequatur cupiditate, ex id minima quam rem sint vitae? Animi dolores earum enim fugit magni nihil odit provident quaerat. Aliquid aspernatur eos esse magnam maiores necessitatibus, nulla?

Эта информация доступна зарегистрированным пользователям

Подобные рассуждения верны не только в случае деления отрезка на равные части и сравнения длин.

Если представить, что у нас есть торт, и мы разделили его на несколько равных частей, то чем больше частей торта мы возьмем, тем больше торта нам достанется.

Для любых других примеров подобные рассуждения будут приводить к одному и тому же результату.

Сформулируем его в виде правила.

Из двух дробей с одинаковым знаменателем меньше та дробь, у которой числитель меньше.

И наоборот, из двух дробей с одинаковым знаменателем больше та дробь, у которой числитель больше.

В случае если у дробей с одинаковым знаменателем числители равны, то и дроби считаются равными.

Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipisicing elit. Adipisci autem beatae consectetur corporis dolores ea, eius, esse id illo inventore iste mollitia nemo nesciunt nisi obcaecati optio similique tempore voluptate!

Adipisci alias assumenda consequatur cupiditate, ex id minima quam rem sint vitae? Animi dolores earum enim fugit magni nihil odit provident quaerat. Aliquid aspernatur eos esse magnam maiores necessitatibus, nulla?

Эта информация доступна зарегистрированным пользователям

Сравнение дробей с одинаковым числителем

Не составляет труда и сравнение дробей с одинаковым числителем.

Представьте, что вы на свой день рождения приготовили 3 пиццы и поровну делите их между своими гостями.

Чем больше гостей на вашем празднике, тем меньше кусков пиццы им достанется.

Так если к вам пришло 6 гостей, то каждый получит по \(\mathbf{\frac{3}{6}}\) от всех пицц, а если пришло 7 гостей, то каждый получит по \(\mathbf{\frac{3}{7}}\) от всех пицц.

Получается:

\(\mathbf{\frac{3}{6}\lt\frac{3}{7}}\)

Аналогичные рассуждения верны и для других дробей с одинаковым числителем.

Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipisicing elit. Adipisci autem beatae consectetur corporis dolores ea, eius, esse id illo inventore iste mollitia nemo nesciunt nisi obcaecati optio similique tempore voluptate!

Adipisci alias assumenda consequatur cupiditate, ex id minima quam rem sint vitae? Animi dolores earum enim fugit magni nihil odit provident quaerat. Aliquid aspernatur eos esse magnam maiores necessitatibus, nulla?

Эта информация доступна зарегистрированным пользователям

Давайте разрежем один и тот же круг на разное число одинаковых частей и раскрасим в каждом случае ровно 2 части.

Видно, что чем больше разрезов мы сделали, тем меньше получаются кусочки, а значит, и два кусочка вместе будут составлять меньшею часть круга.

Из таких наблюдений можно сделать вывод, что:

Из двух дробей с одинаковым числителем меньше та дробь, у которой знаменатель больше.

И наоборот, из двух дробей с одинаковым числителем больше та дробь, у которой знаменатель меньше.

В случае если у дробей с одинаковым числителем знаменатели равны, то и дроби считаются равными.

Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipisicing elit. Adipisci autem beatae consectetur corporis dolores ea, eius, esse id illo inventore iste mollitia nemo nesciunt nisi obcaecati optio similique tempore voluptate!

Adipisci alias assumenda consequatur cupiditate, ex id minima quam rem sint vitae? Animi dolores earum enim fugit magni nihil odit provident quaerat. Aliquid aspernatur eos esse magnam maiores necessitatibus, nulla?

Эта информация доступна зарегистрированным пользователям

Универсальный способ сравнения дробей. Приведение к общему знаменателю

Возникает вопрос, как сравнивать дроби, у которых разные и числители, и знаменатели.

 Предположим нам надо сравнить \(\mathbf{\frac{3}{4}}\) и \(\mathbf{\frac{2}{3}}\)

Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipisicing elit. Adipisci autem beatae consectetur corporis dolores ea, eius, esse id illo inventore iste mollitia nemo nesciunt nisi obcaecati optio similique tempore voluptate!

Adipisci alias assumenda consequatur cupiditate, ex id minima quam rem sint vitae? Animi dolores earum enim fugit magni nihil odit provident quaerat. Aliquid aspernatur eos esse magnam maiores necessitatibus, nulla?

Эта информация доступна зарегистрированным пользователям

Давайте разделим круг на 12 равных частей.

Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipisicing elit. Adipisci autem beatae consectetur corporis dolores ea, eius, esse id illo inventore iste mollitia nemo nesciunt nisi obcaecati optio similique tempore voluptate!

Adipisci alias assumenda consequatur cupiditate, ex id minima quam rem sint vitae? Animi dolores earum enim fugit magni nihil odit provident quaerat. Aliquid aspernatur eos esse magnam maiores necessitatibus, nulla?

Эта информация доступна зарегистрированным пользователям

Заметим, что теперь четверть круга состоит из 3 частей, а значит, взять \(\mathbf{\frac{3}{4}}\) круга это все равно что взять \(\mathbf{\frac{9}{12}}\) круга.

Действительно:

\(\mathbf{\frac{3}{4}=\frac{3\cdot3}{4\cdot3}=\frac{9}{12}}\)

Также, заметим, что теперь треть круга состоит из 4 частей, а значит, взять \(\mathbf{\frac{2}{3}}\) все равно что взять \(\mathbf{\frac{8}{12}}\) круга.

Действительно:

\(\mathbf{\frac{2}{3}=\frac{2\cdot4}{3\cdot4}=\frac{8}{12}}\)

Значит:

\(\mathbf{\frac{2}{3}=\frac{8}{12}\lt\frac{9}{12}=\frac{3}{4}}\)

Описанный выше пример является иллюстрацией к правилу сравнения дробей приведением к общему знаменателю.

Метод заключается в том, что нам нужно, воспользовавшись основным свойством дроби, домножить числитель и знаменатель каждой из двух дробей таким образом, чтобы их знаменатели совпали.

После этого мы сможем сравнить дроби, воспользовавшись уже известным нам правилом сравнения дробей с одинаковым знаменателем.

Еще один пример:

\(\mathbf{\frac{3}{8}=\frac{18}{48}\lt\frac{40}{48}=\frac{5}{6}}\)

Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipisicing elit. Adipisci autem beatae consectetur corporis dolores ea, eius, esse id illo inventore iste mollitia nemo nesciunt nisi obcaecati optio similique tempore voluptate!

Adipisci alias assumenda consequatur cupiditate, ex id minima quam rem sint vitae? Animi dolores earum enim fugit magni nihil odit provident quaerat. Aliquid aspernatur eos esse magnam maiores necessitatibus, nulla?

Эта информация доступна зарегистрированным пользователям

Универсальный способ сравнения дробей. Приведение к наименьшему общему знаменателю

До этого мы рассмотрели наивный способ приведения дробей к общему знаменателю.

В нем мы в качестве общего знаменателя выбирали произведение знаменателей двух дробей.

Этот способ рабочий, но иногда приводит к громоздким вычислениям.

Так, например, если нам надо сравнить дроби \(\mathbf{\frac{3}{24}}\) и \(\mathbf{\frac{7}{48}}\), мы можем в качестве общего знаменателя выбрать \(\mathbf{24\cdot48}\), а можем просто домножить числитель и знаменатель первой дроби на 2, приведя таким образом дроби к общему знаменателю 48.

Рассмотрим снова сравнение дробей \(\mathbf{\frac{3}{8}}\) и \(\mathbf{\frac{5}{6}}\).

Ранее для сравнения этих дробей, мы приводили их к общему знаменателю \(\mathbf{6\cdot8=48}\), однако, гораздо проще привести их к наименьшему общему знаменателю 24.

\(\mathbf{\frac{3}{8}=\frac{9}{24}\lt\frac{20}{24}=\frac{5}{6}}\)

Такой способ сравнения дробей называется приведение к наименьшему общему знаменателю.

 

Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipisicing elit. Adipisci autem beatae consectetur corporis dolores ea, eius, esse id illo inventore iste mollitia nemo nesciunt nisi obcaecati optio similique tempore voluptate!

Adipisci alias assumenda consequatur cupiditate, ex id minima quam rem sint vitae? Animi dolores earum enim fugit magni nihil odit provident quaerat. Aliquid aspernatur eos esse magnam maiores necessitatibus, nulla?

Эта информация доступна зарегистрированным пользователям

В бесплатной версии урока недоступны:

  • Видео
  • Изображения
  • Дополнительная информация
  • Таблицы
  • Тесты
Получить доступ