Урок 34 Получить доступ за 75 баллов Сравнение дробей
Ранее нами были изучены обыкновенные дроби, а также основное свойство дроби.
Также, вам, наверное, известно, что натуральные числа можно сравнивать, и вы возможно уже задавались таким вопросом.
Если обыкновенные дроби, как и натуральные числа, представляют собой оценку количества чего-либо, можно ли их сравнивать?
Можно!
За время этого урока мы узнаем, как сравнивать обыкновенные дроби.
Познакомится со способам сравнения дробей с одинаковым знаменателем.
Познакомимся со способом сравнения дробей с одинаковым числителем.
А также мы рассмотрим универсальные способы сравнения обыкновенных дробей.
Сравнение дробей с одинаковым знаменателем
Рассмотрим, как можно сравнивать дроби с одинаковым знаменателем на примере.
Давайте сравним следующие дроби с одинаковым знаменателем \(\mathbf{\frac{3}{7}}\), \(\mathbf{\frac{5}{7}}\), \(\mathbf{\frac{1}{7}}\), разделив отрезок на 7 равных частей.
Теперь, если мы будем сравнивать наши дроби как длины частей отрезка, то мы увидим, что:
\(\mathbf{\frac{1}{7}\lt\frac{3}{7}\lt\frac{5}{7}}\)
Подобные рассуждения верны не только в случае деления отрезка на равные части и сравнения длин.
Если представить, что у нас есть торт, и мы разделили его на несколько равных частей, то чем больше частей торта мы возьмем, тем больше торта нам достанется.
Для любых других примеров подобные рассуждения будут приводить к одному и тому же результату.
Сформулируем его в виде правила.
Из двух дробей с одинаковым знаменателем меньше та дробь, у которой числитель меньше.
И наоборот, из двух дробей с одинаковым знаменателем больше та дробь, у которой числитель больше.
В случае если у дробей с одинаковым знаменателем числители равны, то и дроби считаются равными.
Сравнение дробей с одинаковым числителем
Не составляет труда и сравнение дробей с одинаковым числителем.
Представьте, что вы на свой день рождения приготовили 3 пиццы и поровну делите их между своими гостями.
Чем больше гостей на вашем празднике, тем меньше кусков пиццы им достанется.
Так если к вам пришло 6 гостей, то каждый получит по \(\mathbf{\frac{3}{6}}\) от всех пицц, а если пришло 7 гостей, то каждый получит по \(\mathbf{\frac{3}{7}}\) от всех пицц.
Получается:
\(\mathbf{\frac{3}{6}\lt\frac{3}{7}}\)
Аналогичные рассуждения верны и для других дробей с одинаковым числителем.
Давайте разрежем один и тот же круг на разное число одинаковых частей и раскрасим в каждом случае ровно 2 части.
Видно, что чем больше разрезов мы сделали, тем меньше получаются кусочки, а значит, и два кусочка вместе будут составлять меньшею часть круга.
Из таких наблюдений можно сделать вывод, что:
Из двух дробей с одинаковым числителем меньше та дробь, у которой знаменатель больше.
И наоборот, из двух дробей с одинаковым числителем больше та дробь, у которой знаменатель меньше.
В случае если у дробей с одинаковым числителем знаменатели равны, то и дроби считаются равными.
Универсальный способ сравнения дробей. Приведение к общему знаменателю
Возникает вопрос, как сравнивать дроби, у которых разные и числители, и знаменатели.
Предположим нам надо сравнить \(\mathbf{\frac{3}{4}}\) и \(\mathbf{\frac{2}{3}}\)
Давайте разделим круг на 12 равных частей.
Заметим, что теперь четверть круга состоит из 3 частей, а значит, взять \(\mathbf{\frac{3}{4}}\) круга это все равно что взять \(\mathbf{\frac{9}{12}}\) круга.
Действительно:
\(\mathbf{\frac{3}{4}=\frac{3\cdot3}{4\cdot3}=\frac{9}{12}}\)
Также, заметим, что теперь треть круга состоит из 4 частей, а значит, взять \(\mathbf{\frac{2}{3}}\) все равно что взять \(\mathbf{\frac{8}{12}}\) круга.
Действительно:
\(\mathbf{\frac{2}{3}=\frac{2\cdot4}{3\cdot4}=\frac{8}{12}}\)
Значит:
\(\mathbf{\frac{2}{3}=\frac{8}{12}\lt\frac{9}{12}=\frac{3}{4}}\)
Описанный выше пример является иллюстрацией к правилу сравнения дробей приведением к общему знаменателю.
Метод заключается в том, что нам нужно, воспользовавшись основным свойством дроби, домножить числитель и знаменатель каждой из двух дробей таким образом, чтобы их знаменатели совпали.
После этого мы сможем сравнить дроби, воспользовавшись уже известным нам правилом сравнения дробей с одинаковым знаменателем.
Еще один пример:
\(\mathbf{\frac{3}{8}=\frac{18}{48}\lt\frac{40}{48}=\frac{5}{6}}\)
Универсальный способ сравнения дробей. Приведение к наименьшему общему знаменателю
До этого мы рассмотрели наивный способ приведения дробей к общему знаменателю.
В нем мы в качестве общего знаменателя выбирали произведение знаменателей двух дробей.
Этот способ рабочий, но иногда приводит к громоздким вычислениям.
Так, например, если нам надо сравнить дроби \(\mathbf{\frac{3}{24}}\) и \(\mathbf{\frac{7}{48}}\), мы можем в качестве общего знаменателя выбрать \(\mathbf{24\cdot48}\), а можем просто домножить числитель и знаменатель первой дроби на 2, приведя таким образом дроби к общему знаменателю 48.
Рассмотрим снова сравнение дробей \(\mathbf{\frac{3}{8}}\) и \(\mathbf{\frac{5}{6}}\).
Ранее для сравнения этих дробей, мы приводили их к общему знаменателю \(\mathbf{6\cdot8=48}\), однако, гораздо проще привести их к наименьшему общему знаменателю 24.
\(\mathbf{\frac{3}{8}=\frac{9}{24}\lt\frac{20}{24}=\frac{5}{6}}\)
Такой способ сравнения дробей называется приведение к наименьшему общему знаменателю.
В бесплатной версии урока недоступны:
- Видео
- Изображения
- Дополнительная информация
- Таблицы
- Тесты