Урок 42 Бесплатно Сравнение дробей

Ранее нами были изучены обыкновенные дроби, а также основное свойство дроби.

Также, вам, наверное, известно, что натуральные числа можно сравнивать, и вы возможно уже задавались таким вопросом.

Если обыкновенные дроби, как и натуральные числа, представляют собой оценку количества чего-либо, можно ли их сравнивать?

Можно!

За время этого урока мы узнаем, как сравнивать обыкновенные дроби.

Познакомится со способам сравнения дробей с одинаковым знаменателем.

Познакомимся со способом сравнения дробей с одинаковым числителем.

А также мы рассмотрим универсальные способы сравнения обыкновенных дробей.

Сравнение дробей с одинаковым знаменателем

Рассмотрим, как можно сравнивать дроби с одинаковым знаменателем на примере.

Давайте сравним следующие дроби с одинаковым знаменателем \(\mathbf{\frac{3}{7}}\), \(\mathbf{\frac{5}{7}}\), \(\mathbf{\frac{1}{7}}\), разделив отрезок на 7 равных частей.

Теперь, если мы будем сравнивать наши дроби как длины частей отрезка, то мы увидим, что:

\(\mathbf{\frac{1}{7}\lt\frac{3}{7}\lt\frac{5}{7}}\)

Подобные рассуждения верны не только в случае деления отрезка на равные части и сравнения длин.

Если представить, что у нас есть торт, и мы разделили его на несколько равных частей, то чем больше частей торта мы возьмем, тем больше торта нам достанется.

Для любых других примеров подобные рассуждения будут приводить к одному и тому же результату.

Сформулируем его в виде правила.

Из двух дробей с одинаковым знаменателем меньше та дробь, у которой числитель меньше.

И наоборот, из двух дробей с одинаковым знаменателем больше та дробь, у которой числитель больше.

В случае если у дробей с одинаковым знаменателем числители равны, то и дроби считаются равными.

Пройти тест
Закрыть тест

Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации

Сравнение дробей с одинаковым числителем

Не составляет труда и сравнение дробей с одинаковым числителем.

Представьте, что вы на свой день рождения приготовили 3 пиццы и поровну делите их между своими гостями.

Чем больше гостей на вашем празднике, тем меньше кусков пиццы им достанется.

Так если к вам пришло 6 гостей, то каждый получит по \(\mathbf{\frac{3}{6}}\) от всех пицц, а если пришло 7 гостей, то каждый получит по \(\mathbf{\frac{3}{7}}\) от всех пицц.

Получается:

\(\mathbf{\frac{3}{6}\lt\frac{3}{7}}\)

Аналогичные рассуждения верны и для других дробей с одинаковым числителем.

Давайте разрежем один и тот же круг на разное число одинаковых частей и раскрасим в каждом случае ровно 2 части.

Видно, что чем больше разрезов мы сделали, тем меньше получаются кусочки, а значит, и два кусочка вместе будут составлять меньшею часть круга.

Из таких наблюдений можно сделать вывод, что:

Из двух дробей с одинаковым числителем меньше та дробь, у которой знаменатель больше.

И наоборот, из двух дробей с одинаковым числителем больше та дробь, у которой знаменатель меньше.

В случае если у дробей с одинаковым числителем знаменатели равны, то и дроби считаются равными.

Пройти тест
Закрыть тест

Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации

Универсальный способ сравнения дробей. Приведение к общему знаменателю

Возникает вопрос, как сравнивать дроби, у которых разные и числители, и знаменатели.

 Предположим нам надо сравнить \(\mathbf{\frac{3}{4}}\) и \(\mathbf{\frac{2}{3}}\)

Давайте разделим круг на 12 равных частей.

Заметим, что теперь четверть круга состоит из 3 частей, а значит, взять \(\mathbf{\frac{3}{4}}\) круга это все равно что взять \(\mathbf{\frac{9}{12}}\) круга.

Действительно:

\(\mathbf{\frac{3}{4}=\frac{3\cdot3}{4\cdot3}=\frac{9}{12}}\)

Также, заметим, что теперь треть круга состоит из 4 частей, а значит, взять \(\mathbf{\frac{2}{3}}\) все равно что взять \(\mathbf{\frac{8}{12}}\) круга.

Действительно:

\(\mathbf{\frac{2}{3}=\frac{2\cdot4}{3\cdot4}=\frac{8}{12}}\)

Значит:

\(\mathbf{\frac{2}{3}=\frac{8}{12}\lt\frac{9}{12}=\frac{3}{4}}\)

Описанный выше пример является иллюстрацией к правилу сравнения дробей приведением к общему знаменателю.

Метод заключается в том, что нам нужно, воспользовавшись основным свойством дроби, домножить числитель и знаменатель каждой из двух дробей таким образом, чтобы их знаменатели совпали.

После этого мы сможем сравнить дроби, воспользовавшись уже известным нам правилом сравнения дробей с одинаковым знаменателем.

Еще один пример:

\(\mathbf{\frac{3}{8}=\frac{18}{48}\lt\frac{40}{48}=\frac{5}{6}}\)

Пройти тест
Закрыть тест

Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации

Универсальный способ сравнения дробей. Приведение к наименьшему общему знаменателю

До этого мы рассмотрели наивный способ приведения дробей к общему знаменателю.

В нем мы в качестве общего знаменателя выбирали произведение знаменателей двух дробей.

Этот способ рабочий, но иногда приводит к громоздким вычислениям.

Так, например, если нам надо сравнить дроби \(\mathbf{\frac{3}{24}}\) и \(\mathbf{\frac{7}{48}}\), мы можем в качестве общего знаменателя выбрать \(\mathbf{24\cdot48}\), а можем просто домножить числитель и знаменатель первой дроби на 2, приведя таким образом дроби к общему знаменателю 48.

Рассмотрим снова сравнение дробей \(\mathbf{\frac{3}{8}}\) и \(\mathbf{\frac{5}{6}}\).

Ранее для сравнения этих дробей, мы приводили их к общему знаменателю \(\mathbf{6\cdot8=48}\), однако, гораздо проще привести их к наименьшему общему знаменателю 24.

\(\mathbf{\frac{3}{8}=\frac{9}{24}\lt\frac{20}{24}=\frac{5}{6}}\)

Такой способ сравнения дробей называется приведение к наименьшему общему знаменателю.

 

У меня есть дополнительная информация к этой части урока!

Закрыть

Наименьший общий знаменатель двух дробей равен наименьшему общему кратному знаменателей этих дробей.

Наименьшее общее кратное двух натуральных чисел - это наименьшее натуральное число, делящееся нацело на каждое из двух заданных чисел.

Для нахождения наименьшего общего кратного нужно разложить каждое из двух чисел в произведение простых множителей.

Затем нужно выделить общую часть в разложении на простые множители.

Тогда наименьшим общим кратным двух чисел будет частное произведения исходных чисел и общей части в разложении на простые множители.

Рассмотрим на примере:

Найдем наименьшее общее кратное чисел 12 и 8.

Разложим каждое из них в произведение простых множителей.

\(\mathbf{12=2\cdot2\cdot3=4\cdot3}\)

\(\mathbf{12=2\cdot2\cdot2=4\cdot2}\)

Общая часть в разложении:

\(\mathbf{2\cdot2=4}\)

Тогда наименьшее общее кратное:

\(\mathbf{\frac{12\cdot8}{4}=\frac{(4\cdot3)\cdot(4\cdot2)}{4}=4\cdot3\cdot2=24}\)

Таким действием мы по сути избавляемся от дублирования общей части.

В итоге мы получаем число, являющееся произведением общей части на каждую из двух уникальных частей в разложении на простые множители, а значит, найденное таким образом число действительно будет делится на каждое из двух исходных чисел.

Пройти тест
Закрыть тест

Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации

Заключительный тест

Пройти тест