Урок 8 Получить доступ за 75 баллов Решение задач

Как и любая другая наука, математика нужна не как отдельная от реальности сущность, которую интересно изучать или обучать ей других людей.

Математика служит другим наукам, помогая решать самые разные задачи, что вы увидите в курсах физики, химии и других.

Но даже в более простых задачах, с которыми может столкнуться обычный рабочий или менеджер, математика необходима.

И сегодня как раз речь пойдет о решении задач.

Довольно часто приходится измерять те или иные предметы, начиная с мебели, заканчивая природными объектами, например, горами или реками.

Например, рассмотрим такую задачу.

Высота Эмпайр-стейт-билдинг до крыши 381 метр.

При этом на крыше установлен шпиль высотой 62 метра.

Какова общая высота сооружения?

В данном случае надо сначала понять, что спрашивается.

Вся высота сооружения - это высота от земли до самой верхней точки, в данном случае это будет верхняя точка шпиля.

Представив себе или нарисовав картинку, как показана выше, становится понятно, что для получения ответа достаточно сложить высоту до крыши и высоту шпиля, так что задача решается в одно действие.

Решение:

1) \(\mathbf{381+62=443}\) (метра) высота сооружения

И можем записывать ответ.

Ответ: 443 метра.

Конечно, задачи зачастую бывают с большим количеством действий, рассмотрим одну из таких.

Известно, что высота Эвереста 8848 м над уровнем моря.

Высота горы Лхоцзе на 332 метра меньше высоты Эвереста.

Требуется найти высоту горы Чогори, если известно, что она на 95 метров выше Лхоцзе.

Можно решать задачу по действиям.

В таком случае первым действием необходимо найти высоту горы Лхоцзе. Для этого из высоты Эвереста необходимо вычесть 332.

1) \(\mathbf{8848-332=8516}\) (метров) высота Лхоцзе

Вторым действием необходимо прибавить к найденному значению 95, чтобы получить высоту Чогори.

2) \(\mathbf{8516+95=8611}\) (метров) высота Чогори

И запишем ответ.

Ответ: 8611 метров.

Но также решение можно записать одним выражением, ведь мы знаем, что сначала надо вычесть, а потом прибавить.

Тогда оно будет выглядеть так.

\(\mathbf{8848-332+95=8516+95=8611}\) (метров) высота Чогори

Ответ, как и ожидалось, получился таким же.

Хоть скорость и является понятием физическим, довольно часто приходится решать задачи, связанные с ней как в математике, так и в реальной жизни.

Скорости измеряются в разных единицах. Наиболее популярной величиной в разговоре про транспорт являются километры в час (км/ч).

Если известно, что объект движется со скоростью 1 км/ч, это значит, что за 1 час объект преодолеет путь равный 1-му километру.

За 2 часа такой объект пройдет 2 километра и так далее.

Если, например, объект движется со скоростью 10 км/ч, это означает, что за час он пройдет 10 километров, за 2 часа 20 км, и так далее.

Запишем формулы, связывающие путь, скорость и время.

Формулы может быть сложно запоминать, поэтому можно запомнить такой треугольник, содержащий в себе те же формулы.

Попрактикуемся.

Пример 1.

Объект двигался со скоростью 3 км/ч 5 часов, какой путь он прошел?

Применим формулу для нахождения расстояния через скорость и время.

\(\mathbf{3\cdot5=15}\) (км)- длина пути.

Пример 2.

Объект проделал путь 32 км за 4 часа. С какой скоростью двигался объект, если предположить, что скорость была постоянной?

Применим формулу для нахождения скорости через время и путь.

\(\mathbf{32:4=8}\) (км/ч)- с такой скоростью двигался объект.

Пример 3.

Объект двигался со скоростью 60 км/ч и проделал путь 180 км, сколько времени ушло на это?

Применим формулу для нахождения времени через путь и скорость.

\(\mathbf{180:60=3}\) (ч)- столько времени занял путь.

Также иногда используются не километры в час, а метры в секунду(м/с), например, эту единицу используют для обозначения скорости ветра.

При этом все формулы остаются верны, с тем лишь учетом, что если скорость измеряется в метрах в секунду, то время должно измеряться в секундах, а путь в метрах.

Теперь, когда мы разобрались с единицами измерения и основными формулами, рассмотрим несколько задач на скорости и перемещения.

Задача 1

Допустим, ученик двигается в школу и знает несколько моментов.

Во-первых, известно, что до школы идти 5 км.

Во-вторых, скорость ученика- 4 км/ч.

До урока остается 1 час.

Вопрос, успеет ли ученик на урок? Если он не успеет, то сколько ему останется идти до школы?

Для начала нужно узнать, где окажется ученик через час.

Для этого необходимо умножить скорость ученика на его скорость.

1) \(\mathbf{4\cdot1=4}\) (км) пройдет ученик за 1 час.

Зная, что до школы ему идти 5 км, можно сделать вывод, что ученик на урок не успеет.

Тогда остается вопрос, сколько ученику останется идти?

Для этого нам надо из того, сколько ученику надо было идти в начале пути, вычесть то, сколько он уже прошел.

2) \(\mathbf{5-4=1}\) (км) останется пройти ученику.

Вопросов в задаче была два, так что и ответ будет состоять из двух.

Ответ: нет, 1 км.

Задача 2

Туристы летели на самолете 2 часа со скоростью 150 км/ч, затем 5 часов ехали на грузовике со скоростью 40 км/ч, а после 3 часа шли пешком со скоростью 6 км/ч, вопрос, какой путь проделали туристы?

В данной задаче весь путь можно разбить на три части соответственно способу перемещения.

Далее можно посчитать путь, пройденный на каждом этапе, используя формулу нахождения пути по скорости и времени, а после сложить эти пути и получить суммарный путь.

1) \(\mathbf{2\cdot150=300}\) (км) туристы пролетели на самолете

2) \(\mathbf{5\cdot40=200}\) (км) туристы проехали на грузовике

3) \(\mathbf{3\cdot6=18}\) (км) туристы прошли пешком

Остается лишь сложить найденные величины.

4) \(\mathbf{300+200+18=518}\) (км) общая длина пути

Ответ: 518 км.

Задача 3

Грузовой автомобиль прошел путь от одного города до другого за 8 часов, а легковой за 6 ч.

Найдите скорость легкового автомобиля, если известно, что скорость грузовика равна 60 км/ч.

Сразу найти ответ не получится, так как мы знаем только время, за которое двигался легковой автомобиль, путь же нам неизвестен.

Чтобы понять, как решать такие задачи, надо пытаться находить все, что можно, используя текущие данные.

Например, известно время, за которое двигался грузовой автомобиль, а также известна его скорость.

А значит, можно найти путь между двумя городами по формуле нахождения пути через скорость и время.

1) \(\mathbf{60\cdot8=480}\) (км)- длина пути между городами

Теперь мы можем найти скорость легкового автомобиля, так как известны два параметра: длина пути и время, за которое он этот путь преодолел.

2) \(\mathbf{480:6=80}\) (км/ч)- скорость легкового автомобиля

Ответ: 80 км/ч.

Это довольно распространенный класс задач.

Основная их суть в том, что есть некоторый субъект, который совершает действия, будь то рабочий, производящий детали, завод, выпускающий продукцию, грузовик, перевозящий грузы и так далее.

Этот объект работает какое-то время и нам интересно, сколько за это время субъект успел сделать.

Заметим, насколько этот класс задач похож на задачи про скорость.

Рассмотрим такую задачу.

Задача 1

Рабочий производит 13 деталей в час. Сколько деталей он сделает за смену длиной в 8 часов?

В данном случае производительность рабочего можно принимать как скорость.

Время же временем и останется.

Итоговое количество деталей можно понимать как аналогию пути.

В таком случае, если для нахождения пути необходимо было умножить скорость на время, то в таких задача необходимо умножать производительность на время.

1) \(\mathbf{13\cdot8=104}\) (детали) произведет рабочий за смену.

Ответ: 104 детали

Рассмотрим еще задачи, чтобы все точно стало понятно.

Задача 2

Завод выпустил за 9 месяцев 189 927 автомобилей. Сколько автомобилей завод выпускает в месяц?

В данной задаче уже даны время и общий объем производства.

Требуется найти производительность.

Значит, необходимо разделить общий объем на время работы заводы.

1) \(\mathbf{189 927:9=21 103}\) (автомобиля) завод производит в месяц

Ответ: 21 103 автомобиля.

Задача 3

Грузовик перевозит 4 т груза за один раз.

За месяц он совершает 15 рейсов.

Сколько груза перевозит грузовик за месяц?

В данном случае время не дано как какое-то количество месяцев, часов, секунд.

Но нам дано количество действий.

Его мы и можем использовать.

1) \(\mathbf{4\cdot15=60}\) (т) груза перевозит грузовик за месяц.

Ответ: 60 т.

Также в задачах на производительность очень часто субъект может быть не один.

То есть может встать вопрос, сколько деталей производят несколько станков, несколько рабочих и так далее.

Задача 4

Первый рабочий обслуживал 3 станка, изготавливающих по 15 деталей в час каждый.

Второй рабочий обслуживал 6 станков, изготавливающих по 10 деталей в час каждый.

Сколько всего деталей произвели два рабочих, проработав по 6 часов?

План решения задачи такой: найти, сколько деталей производит в час первый рабочий, сколько производит в час второй рабочий, из этого посчитать, сколько в час производят оба рабочих, а затем посчитать, сколько они произведут за 6 часов.

Чтобы найти, сколько производит первый рабочий в час, необходимо умножить производительность одного станка, который он обслуживает, на количество станков.

1) \(\mathbf{3\cdot15-45}\) (деталей) в час производит первый рабочий

Аналогично посчитаем для второго рабочего.

2) \(\mathbf{6\cdot10=60}\) (деталей) в час производит второй рабочий

Теперь сложим эти величины и получим, сколько в час производят оба рабочих.

3) \(\mathbf{45+60=105}\) (деталей) в час производят оба рабочих

Известно время, известна производительность двух рабочих, остается посчитать объем производства.

4) \(\mathbf{105\cdot6=630}\) (деталей) рабочие произведут за 6 часов.

Остается записать ответ.

Ответ: 630 деталей.

Сегодня мы затронули такую тему, как производительность, и рассмотрели самый простой случай, в котором каждый субъект не зависит от других.

В реальности ситуация значительно сложнее.

Представим себе простейшую кондитерскую фабрику.

Даже там мы имеем конвейер, где все начинается с того, что должны привезти достаточное количество ингредиентов и расходных материалов, дальше идет много стадий производства, а в конце готовую продукцию должны также хорошо увезти, чтобы было место, куда складывать новую продукцию.

Конвейер очень часто может быть невидимым.

Если мы посмотрим на проекты, над которыми работают архитекторы или программисты, то увидим, что там тоже идет многоступенчатый процесс.

Проблемой таких процессов может стать то, что если случилась проблема на каком-то конкретном этапе, то встает весь конвейер, ведь на всех предыдущих этапах некуда передать результат работы, а на всех последующих этапах нечего обрабатывать.

Тут мы приходим к понятию ограничений.

Например, если станок по заморозке конфет может пропустить через себя только 500 конфет в минуту, не получится выпускать 600 конфет в час, даже если на всех остальных этапах станки будут готовы производить больше.

Это достаточно логичная мысль, но теорию управления, основанную на поиске и управлении ограничениями, разработал только в 1980-х годах израильский экономист Элияху Голдратт.

Человек был достаточно разносторонним, имел степень бакалавра по физике, магистра по философии, а работал позже менеджером в компаниях по разработке программного обеспечения, как раз занимаясь оптимизацией производства.

При желании можно найти и почитать его книги, чтобы понять, как организовывать свою работу или же работу в команде.