Урок 14 Бесплатно Свойства сложения и вычитания натуральных чисел

Арифметические операции сложения и вычитания часто используют при решении различных задач.

В любой задаче существуют условия (данные) и искомые величины.

Величины в задаче связаны некоторыми условиями.

Определив связи между величинами, можно легко и быстро справиться с решением любой задачи.

Сегодня урок будет посвящен решению текстовых задач на сложение и вычитание.

Вспомним, из каких составных частей состоит задача.

Познакомимся с различными видами простых и составных арифметических задач на сложение и вычитание натуральных чисел.

Разберем решение некоторых задач, научимся переводить текстовые условия на математический язык и язык арифметических операций.

Продолжим совершенствовать вычислительные навыки сложения и вычитания.

Текстовые арифметические задачи

Выполнение арифметических действий и решение задач одна из главных составляющих математики.

С первых лет жизни ребенок сталкивается с разнообразными задачами: выбор игрушки, распределение долек шоколада или конфет между друзьями, соотношение стульев за столом или столовых приборов с количеством гостей на празднике и т.д.

Чем старше человек становится, тем больше и сложнее задачи приходится решать.

В широком смысле понятие «задача»- это некая проблемная ситуация, которая требует соответствующего решения.

В математике задачей называют вопрос, сформулированный словами, ответ на который можно получить с помощью различных арифметических операций.

Математическая задача- это задача, в которой объектом исследования являются математические объекты (математические понятия, теоремы, правила, вычислительные операции, геометрические фигуры и др.)

Существуют различные методы решения текстовых задач: арифметический, геометрический, практический, логический, алгоритмический, комбинированный.

Подробней рассмотрим арифметический метод решения задач.

Решить задачу арифметическим методом- значит решить ее с помощью различных арифметических операций, выполнив определенные условия, удовлетворяющие требованиям задачи.

Арифметические задачи- это словесные задачи, решаемые путем прямых рассуждений и по действиям, с помощью арифметических операций.

В структуре арифметической задачи выделяют две части.

Условие (связанные между собой числовые данные).

Вопрос (содержит искомую (неизвестную) величину).

У меня есть дополнительная информация к этой части урока!

Закрыть

Для успешного решения текстовых задачи необходимо выполнять определенные этапы.

Выделим основные этапы решения арифметических задач:

1. Внимательно прочитать задачу.

2. Понять смысл задачи (выделить величины (данные), входящие в задачу).

3. Проанализировать задачу (выяснить взаимосвязи между величинами).

4. Определить вопрос (выделить искомые величины).

5. Составить план решения (краткую запись).

6. Описать решение математическими операциями (поясняя каждое действие).

7. Выполнить проверку задачи (проверить соответствует ли решение условию и смыслу задачи, найден ли ответ на поставленный вопрос).

8. Записать ответ задачи

Пользуясь основными свойствами и правилами математических операций, проводят проверку вычислений.

Обычно проводят проверку обратными арифметическими операциями: сложение проверяют вычитанием, вычитание- сложением.

Проверка результата сложения натуральных чисел вычитанием основано на связи между компонентами арифметической операции сложения.

Известно, чтобы найти неизвестное слагаемое, необходимо из суммы чисел вычесть известное слагаемое.

Получаем, чтобы проверить сложение, необходимо из суммы двух натуральных чисел вычесть одно из слагаемых, если в остатке получится другое слагаемое, следовательно, сложение выполнено верно.

Рассмотрим пример, подтверждающий данное правило.

Пусть у нас в ящике с игрушками есть 2 мяча красного цвета и 1 мяч голубого цвета.

Возьмем эти мячи из ящика и сложим вместе.

Общее количество мячей получится равным: 2 + 1 = 3

Первое слагаемое = 2 мяча

Второе слагаемое = 1 мяч

Сумма (общее количество мячей) = 3 мяча

Если из общего количества мячей отложим обратно в ящик 2 красных мяча, то останется только один голубой.

Сумма (общее количество мячей) = 3 мяча

Первое слагаемое = 2 мяча

Математически опишем данную ситуацию с помощью разности 3 - 2 = 1 (получили второе слагаемое = 1 мяч).

Аналогично, если из общего числа мячей отложим один голубой мяч, то останется 2 красных мяча.

Сумма (общее количество мячей) = 3 мяча

Второе слагаемое = 1 мяч

Это действие опишем равенством: 3 - 1 = 2 (получили первое слагаемое = 2 мяча).

Проверка результата вычитания чисел сложением основывается на связи компонентов вычитания.

Известно, что уменьшаемое равно сумме вычитаемого и разности.

Следовательно, чтобы проверить вычитание, необходимо вычитаемое сложить с остатком (разностью), если в сумме получается уменьшаемое, то вычитание выполнено верно.

Рассмотрим пример, иллюстрирующий данное свойство.

Допустим в коробке лежало 7 елочных игрушек.

Из коробки взяли 3 игрушки, после чего в коробке осталось 4 игрушки.

Уменьшаемое (общее количество) = 7 елочных игрушек.

Вычитаемое = 3 игрушки.

Разность = 4 игрушки.

Это действие описывается равенством: 7 - 3 = 4

Если после этого мы положим обратно на место 3 игрушки (т.е. добавим их к четырем игрушкам, которые там уже лежали), то у нас окажется исходное количество игрушек, равное 7.

Вычитаемое = 3 игрушки.

Разность = 4 игрушки.

Данное действие описывается равенством 4 + 3 = 7 (получили уменьшаемое- исходное количество игрушек).

Результат вычитания можно проверить не только с помощью операции сложения, но и с помощью вычитания.

Для этого нужно от уменьшаемого отнять разность, если получится вычитаемое, то операция вычитания была выполнена верно.

Данное правило рассмотрим на примере.

Допустим есть 3 яблока, среди которых 2 зеленых и 1 красное яблоко.

Если отложить 2 зеленых яблока в сторону, то останется 1 красное.

Уменьшаемое (общее количество яблок) = 3 яблока.

Вычитаемое = 2 (количество зеленых яблок).

Разность = 1 (оставшееся количество яблок)

При этом получим:

3 - 2 = 1

Если отложить от общего количества яблок 1 красное яблоко, то останется только 2 зеленых.

Уменьшаемое (общее количество яблок) = 3 яблока.

Вычитаемое = 1 (количество красных яблок).

Разность = 2 (оставшееся количество яблок)

Данное действие описывается разностью:

3 - 1 = 2.

Задачи делят на прямые и косвенные.

Прямые задачи- это задачи, в которых вопрос подсказывает действия.

Косвенные (обратные) задачи- это задачи, в которых вопрос напрямую не отражает ситуацию.

Все задачи в зависимости от числа арифметических действий, которые необходимо выполнить для их решения, делят на простые и составные.

Простая задача- это задача в одно действие, т.е. для ее решения необходимо выполнить одно арифметическое действие.

Составная задача- задача в несколько действий, связанных между собой.

Сложная задача состоит из нескольких простых.

Для составных задач нет четкой классификации, деления на определенные группы.

Рассмотрим классификацию простых задач на сложение и вычитание.

 

Задачи на сложение

Задачи на вычитание

Задачи на нахождение суммы и разности

(задачи, которые раскрывают содержание конкретной арифметической операции)

Задачи на нахождение суммы

Задача на нахождение разности (на нахождения остатка)

Задачи на нахождение неизвестного компонента арифметической операции

(задачи, которые раскрывают связь между компонентами арифметических операций)

Задачи на нахождение неизвестного уменьшаемого

Задачи на нахождение слагаемого (первого или второго)

 

Задачи на нахождение вычитаемого

Задачи раскрывающие отношение между величинами (числами)

Задачи на увеличение на несколько единиц

Задачи на уменьшение на несколько единиц

 

Задачи на разностное сравнение (больше на…, меньше на…)

Пройти тест
Закрыть тест

Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации

Задачи, решаемые с помощью сложения

Рассмотрим на примерах каждый тип простой арифметической задачи на сложение.

1. Задачи на нахождение суммы (определение общего количества объектов после их объединения).

В книжном шкафу стояли книги.

С одной полки взяли 11 книг, а с другой 14.

Сколько всего книг взяли из шкафа?

Общее количество книг, которые взяли из шкафа определим с помощью арифметической операции сложения.

Решение:

Из условия задачи известны первое и второе слагаемое:

Первое слагаемое- 11 книг, которые взяли с первой полки.

Второе слагаемое- 14 книг, которые взяли со второй полки.

Изобразим схематичный рисунок к задаче.

Найдем сумму двух известных слагаемых:

11 + 14 = 25 (книг) взяли из шкафа.

Выполним проверку: чтобы проверить сложение, необходимо из суммы двух натуральных чисел вычесть одно из слагаемых, если в остатке получится другое слагаемое, следовательно, сложение выполнено верно.

25 - 11 = 14 (книг) взяли со второй полки.

Решение верно.

Ответ: 25 книг.

2. Задачи на нахождение неизвестного уменьшаемого.

Когда с ветки сорвали 10 груш, на ней осталось висеть еще две.

Сколько груш было на ветке?

Решение:

Изобразим рисунок для данной задачи в виде схемы.

Вычитаемое- 10 груш сорвали (уменьшили общее количество на 10 груш).

Разность- 2 груши (остаток груш на ветке).

Неизвестно исходное количество груш (количество груш на ветке, которое уменьшали)- уменьшаемое.

Известно правило, чтобы найти уменьшаемое, нужно к разности прибавить вычитаемое.

Таким образом с помощью операции сложения найдем исходное количество груш на ветке.

10 + 2 = 12 (груш) висело на ветке.

Выполним проверку: чтобы проверить сложение, необходимо из суммы двух натуральных чисел вычесть одно из слагаемых, если в остатке получится другое слагаемое, следовательно, сложение выполнено верно.

12 - 2 = 10 (груш) сорвали с ветки.

Решение верно.

Ответ: 12 груш.

3. Задачи на увеличение на несколько единиц.

У человека одно сердце, а у кальмара их на 2 больше.

Сколько сердец у кальмара?

Решение:

Из условия задачи известно, что у кальмара больше сердец чем у человека, значит у кальмара их столько же как у человека и еще 2.

Схематично изобразим условия задачи

Задача решается сложением всякий раз, когда одно число нужно увеличить на какое-нибудь другое число или, когда к одному числу нужно добавить другое.

1 + 2 = 3 (сердца) у кальмара.

Ответ: 3 сердца.

Пройти тест
Закрыть тест

Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации

Задачи, решаемые с помощью вычитания

1. Задачи на нахождение разности.

В мешке было 5 кг сахара.

Для приготовления варенья из мешка взяли 3 кг 200 г.

Сколько сахара осталось в мешке?

Решение:

Известно, что разность- это число, составляющее остаток при вычитании.

Разность двух натуральных чисел- это результат вычитания меньшего числа из большего.

Чтобы найти разность, нужно от уменьшаемого отнять вычитаемое.

Изобразим с помощью схемы условие задачи.

Запишем кратко условие задачи:

5 кг сахара (первоначальная масса сахара в мешке)- уменьшаемое.

3 кг 200 г сахара (на это значение уменьшили первоначальное количество сахара в мешке)- вычитаемое.

Неизвестно сколько сахара осталось в мешке, т.е. разность- ?

Складывать и вычитать можно только величины с одинаковыми единицами измерения (величины с одинаковыми наименованиями).

У меня есть дополнительная информация к этой части урока!

Закрыть

В текстовых задачах часто величины выражаются в определенных единицах измерения.

(величины имеют конкретные наименования).

Именованные числа- это числа, полученные при измерении величин и названные единицами измерения.

Именованные числа бывают простые и составные.

Простое именованное число- это число, в которое входит только одна единица измерения.

Например, 20 кг, 45 м, 5 ч, 10 л и т.д.

Составное именованное число- это число, в которое входит несколько единиц измерения.

Например, 20 кг 400 г, 45 м 20 см, 5 ч 12 мин и т.д.

Чтобы сложить или вычесть составные именованные числа:

1. можно числа привести к единой единице измерения и выполнить необходимую арифметическую операцию.

5 кг - 3 кг 200 г = ?

1 кг = 1000 г.

5 кг = 5000 г.

3 кг = 3000 г.

Получим: 5000 - (3000 + 200) = 5000 - 3000 - 200 = 2000 - 200 = 1800 г

2. можно именованные числа складывать и вычитать по именованиям.

Действия выполняются подобно поразрядному сложению (вычитанию) чисел «столбиком».

Слагаемые в таком случае записывают одно под другим так, чтобы одноименные числа находились в одном вертикальном столбце.

Начинать сложение нужно с наименьшего наименования, переходя от меньших мер к более крупным, до тех пор, пока не получится полной суммы.

Если при сложении образуются меры следующего наименования, целые единицы старшего наименования переносятся и добавляются к соответствующему старшему наименованию, а остаток записывается под чертой в исходной мере, для которой выполнялась операция сложения.

Чтобы вычесть именованные числа «столбиком», нужно под уменьшаемым записать вычитаемое, причем числа одного наименования друг под другом.

Если значение меры уменьшаемого меньше соответствующего значения меры вычитаемого (вычитание невозможно), то занимают единицу у большего (следующего) наименования.

Заняв одну единицу у старшего наименования, переводят ее в значение меньшего именования.

Полученное значение добавляют к соответствующей мере уменьшаемого, из которой нельзя было вычесть и продолжают вычисление.

Вычитание выполняют от маленьких мер к более крупным.

Вычитание продолжают до тех пор, пока не получится полная разность

Вычислим для нашей задачи разность: 5 кг - 3 кг 200 г = ?

Не имея в уменьшаемом граммы, запишем в этом наименовании нули.

Так как из 0 вычесть 2 невозможно, займем единицу у килограммов.

Переведем 1 килограмм в граммы: 1 кг = 1000 г.

Из 1000 г вычтем 200 г, получим 800 г, запишем полученное значение в столбце наименования граммы.

Число с точкой уменьшаем на единицу, так как единица была «занята».

5 - 1 = 4

Из 4 кг вычитаем 3 кг, получаем 1 кг, записываем данное значение под чертой в столбце килограммов.

Итоговое значение разности равно 1 кг 800 г.

Выполним проверку:

Если вычитаемое сложить с полученной разностью, то должно получиться уменьшаемое.

5 кг сахара было в мешке.

Решение верно.

Ответ: 1 кг 800 г.

2. Задачи на нахождение слагаемого.

В двух книгах 43 сказки.

В первой книге 20 сказок.

Сколько сказок во второй книге?

Решение:

Изобразим рисунок для данной задачи в виде схемы.

Запишем кратко условия задачи.

Общее количество сказок в двух книгах- сумма = 43 сказки.

Известно, что

Сумма = Первое слагаемое + Второе слагаемое.

Первое слагаемое (количество сказок в первой книге) = 20 сказок.

Второе слагаемое (количество сказок во второй книге) = ?

Чтобы найти неизвестное слагаемое, надо из суммы вычесть известное слагаемое.

Получаем:

43 - 20 = 23 (сказки) во второй книге.

Выполним проверку:

Чтобы проверить вычитание, нужно вычитаемое сложить с разностью, если получится в результате уменьшаемое, то вычитание выполнено верно.

23 + 20 = 43 (сказок) общее количество сказок в двух книгах.

Решение выполнено верно.

Ответ: 23 сказки.

3. Задачи на нахождение вычитаемого.

В автобусе ехало 26 человек.

Когда несколько человек вышли, осталось 19 пассажиров.

Сколько человек вышли?

Решение:

Изобразим рисунок для данной задачи в виде схемы.

Запишем кратко условия задачи и выясним зависимость величин.

26 человек- общее количество пассажиров (в задаче оно уменьшается)- уменьшаемое.

19 человек- оставшееся количество пассажиров (остаток от общего количества)- разность.

Пассажиров, которые вышли, найдем с помощью вычитания: от уменьшаемого (исходного числа пассажиров) отнимем разность (оставшихся в автобусе людей).

Получаем:

26 - 19 = (20 + 6) - (10 + 9) = 10 + 10 + 6 - 10 - 9 = 10 - 9 + 6 = 1 + 6 = 7 (человек) вышли из автобуса.

Выполним проверку:

Чтобы проверить вычитание, нужно вычитаемое сложить с разностью, если получится в результате уменьшаемое, то вычитание выполнено верно.

19 + 7 = (10 + 9) + 7 = 10 + 9 + 7 = 10 + 16 = 26 (человек) общее количество пассажиров.

Решение выполнено верно.

Ответ: 7 человек.

4. Задачи на уменьшение на несколько единиц.

Вася поймал 6 рыб, а Сережа на 2 меньше.

Какое количество рыб поймал Сережа?

Решение:

Изобразим условия задачи.

Таким образом можно сказать, что Сережа поймал столько же рыб, как и Вася, но без двух рыб.

Так как Вася поймал 6 рыб, а Сережа столько же, но на 2 меньше, значит от 6 отнимем 2.

6 - 2 = 4 (рыбины) поймал Сережа.

Ответ: 4 рыбины.

5. Задачи на разностное сравнение.

Рассмотрим задачу, в которой требуется найти разницу между двумя количествами (числами) и ответить на вопрос «на сколько больше…? или на сколько меньше…?».

Чтобы узнать, на сколько одно число отличается от другого, необходимо из большего числа вычесть меньшее.

Масса среднего куриного яйца 50 г, а масса перепелиного яйца 10 г.

На сколько масса перепелиного яйца меньше чем масса куриного?

Решение:

Изобразим условие задачи

Чтобы найти на сколько одно яйцо легче (меньше) другого, необходимо

50 г - 10 г = 40 г

На 40 г перепелиное яйцо легче куриного.

Значит, куриное яйцо тяжелее (больше) перепелиного на 40 г.

Ответ: на 40 г.

Пройти тест
Закрыть тест

Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации

Решение составных текстовых арифметических задач на сложение и вычитание

Решая составную задачу, ее разбивают на несколько простых задач, последовательное решение которых позволяет найти верный ответ на поставленный вопрос.

В первый день собрали 52834 кг картофеля, что на 10000 кг меньше, чем во второй день.

В третий день собрали на 2000 кг меньше, чем во второй день.

Сколько картофеля собрали за эти три дня?

При подсчете все значения масс округлите до тысяч.

Ответ запишите в тоннах.

У меня есть дополнительная информация к этой части урока!

Закрыть

Порой в задачах нет необходимости находить точные значения или не всегда это удается сделать.

Приборы и измерительные инструменты не могут показывать абсолютно точные значения, всегда существует некоторая погрешность.

Поэтому часто приходится иметь дело с приближенными значениями величин.

Например, дыня весит 6 кг 45 г, в таком случае вес дыни можно принять равным 6 кг.

Получаем приближенное значение с недостатком.

Допустим дыня весит 6 кг 927 г, вес дыни можно было бы считать приближенно равным 7 кг- это приближенное значение с избытком.

Для получения приближенного значения необходимо заменить число его ближайшим «круглым» числом.

Нам известно, что круглое число- это число с нулем или с несколькими нулями на конце.

Натуральные числа округляют до определенного разряда (десятков, сотен, тысяч и т.д.), начиная от правого разряда к более высокому.

При округлении числа до десятков в разряде единиц ставят нули, при округлении до сотен нули ставят в разряде единиц и разряде десятков и т.п.

При этом в разряде, до которого по условию округляют, цифра не меняется, если в предшествующем разряде стоят цифры 1,2,3,4, а если стоят цифры 5,6,7,8,9, то к цифре в разряде, до которого округляют, прибавляют единицу.

Знак равно «» называют знаком приближенного равенства

Решение:

Для нашей задачи округлим значения масс до тысяч, т.е. до четвертого разряда.

Округлим число 52834.

Для этого заменим три последние цифры нулями.

Так как цифра третьего разряда 8, то цифра четверного разряда 2 увеличивается при округлении на единицу, т.е. 2 + 1 = 3

52834 кг ≈ 53000 кг

Получаем для нашей задачи, что в первый день собрали примерно 53000 килограммов картофеля.

Выясним, какие вопросы содержит данная задача.

Чтобы определить количество собранного картофеля за три дня, необходимо знать сколько было собрано картофеля каждый день.

Сначала выясним сколько тон собрали во второй день.

Когда будет известно количество выкопанного картофеля во второй день, можно узнать сколько картофеля выкопали в третий день.

1. Чтобы узнать сколько картофеля собрали во второй день, необходимо решить простую задачу на увеличение числа на некоторое число.

Если в первый день собрали меньше, чем во второй день, следовательно, во второй день собрали больше, чем в первый.

Значит, во второй день собрали на 10000 кг больше чем во второй.

Сложим 10000 кг и 53000 кг.

53000 + 10000 = 63000 (кг) собрали во второй день.

2. Чтобы определить сколько картофеля собрали в третий день, надо решить простую задачу на уменьшение числа на некоторое число.

Из условия известно, что в третий день собрали на 2000 кг меньше, чем во второй день.

Так как первым действием выяснили, что во второй день собрали 63000 кг, получим:

63000 - 2000 = 61000 (кг) собрали в третий день.

3. Определим количество собранного картофеля за три дня.

Необходимо сложить весь картофель, который собрали в первый, второй и третий день.

53000 + 63000 + 61000 = 177000 (кг) картофеля собрали за три дня.

Выразим ответ в тоннах:

1т = 1000 кг

177000 кг = 177 т

Ответ: 177 т.

Пройти тест
Закрыть тест

Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации

Заключительный тест

Пройти тест