Урок 3 Бесплатно Отрезок. Длина отрезка

Начнем знакомство с одним из разделов математики, который называется геометрия.

Слово геометрия древнегреческого происхождения, оно означает «землемерие» («гео»- земля, «метрео»- измерять).

Геометрия- древняя наука, возникла в результате практической деятельности человека: строительство зданий и дорог, установление земельных наделов и определение их размеров.

Становление данной науки происходило тысячелетиями.

В настоящее время геометрия- наука, занимающаяся изучением геометрических фигур, их свойствами, размерами и преобразованиями.

Сегодня обратим внимание на основные, базовые геометрические фигуры такие как точка и отрезок.

Узнаем, что называют ломаной линией, какие геометрические фигуры называют многоугольниками, рассмотрим их основные элементы и характеристики.

Научимся сравнивать, находить длины отрезков.

Познакомимся с различными единицами измерения отрезков.

Рассмотрим свойства измерения длин отрезков.

Отрезок

Геометрическая фигура- это математическая модель, в которой рассматривается только форма и размер, не обращая внимания на иные свойства и состояния (цвет, из какого материала изготовлены, в каком состоянии находятся).

Как здания складываются из кирпичиков, так и сложные геометрические фигуры состоят из базовых фигур.

Одной такой элементарной фигурой является точка.

Точка- это неделимая фигура, не имеет частей и размеров (высоты, радиуса, длины и т.д.), направления и других характеристик.

В реальности моделью, которая дает представление о точке, может стать, например, след, оставленный острием карандаша, или отверстие на бумаге от швейной иглы.

Слово «точка» с латинского языка означает мгновенное касание, укол.

Точку принято рассматривать как некоторое место в пространстве или на плоскости.

Принято обозначать точки заглавными латинскими буквами (А, В, С и т.д.).

Две точки на плоскости можно соединить бесконечным множеством линий.

Самой короткой линией, соединяющей две точки на плоскости, будет прямая, проведенная по линейке через эти две точки.

Кратчайшая линия между двумя точками называется отрезком.

Любые две точки можно соединить только одним отрезком.

Отрезок- это часть прямой линии, ограниченная двумя точками.

Точки, ограничивающие отрезок, называются концами отрезка.

Отрезок обозначают указанием имен его концов.

Рассмотрим пример:

Через точки А и В с помощью линейки провели прямую.

А и В- концы отрезка.

Так как отрезок обозначают именами точек, получим отрезок АВ или ВА.

Пишут и говорят так: «Отрезок АВ» или «Отрезок ВА».

В названии отрезка не важно в каком порядке указываются его концы.

Отрезок АВ и ВА- это один и тот же отрезок.

Отрезок можно построить с помощью линейки.

Для этого необходимо к отмеченным на плоскости точкам приложить линейку и провести прямую от одного конца отрезка до другого.

Чтобы с помощью линейки начертить отрезок, который длиннее чем сама линейка, нужно поступить следующим образом:

Между точками А и В отметить точку С.

Затем передвинем линейку так, чтобы левый конец линейки оказался около точки С, по правому концу линейки отложить точку D.

Последовательно соединив концы отрезков, получится отрезок AD, который длиннее чем линейка.

У меня есть дополнительная информация к этой части урока!

Закрыть

Давайте разберемся, как могут располагаться точки по отношению к отрезку:

1. Точка лежит на отрезке.

Говорят: «Точка G принадлежит отрезку ».

Записывают это так: G ∈ AB

Пример:

2. Точка не лежит на отрезке.

Говорят: «Точка  не принадлежит отрезку ».

Записывают это так: R AB

Пример:

Пройти тест
Закрыть тест

Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации

Длина отрезка

Каждый отрезок имеет определенную длину, значение которой является числом.

Длина в геометрии- это величина, которая характеризует протяженность.

Длина отрезка- это расстояние между концами отрезка.

Так как каждый отрезок имеет длину, отрезки можно измерять и сравнивать.

Существует несколько способов сравнения отрезков.

1. Приблизительный способ сравнения.

Данный способ сравнения применяют только в том случае, когда длины отрезков явно отличаются.

Пример: Даны два отрезка АВ и ЕР

Очевидно, что отрезок АВ длиннее отрезка ЕР, значит, АВ > ЕР

2. Совмещение отрезков- более точный способ сравнения отрезков.

Метод заключается в следующем: совмещаются два отрезка друг с другом так, чтобы совпали их концы с одной стороны.

По расположению других концов относительно друг друга можно оценить какой из отрезков длиннее, а какой короче.

Если при наложении отрезков друг на друга длины отрезков совпадут, то отрезки равны (отрезки в этом случае будут равными фигурами).

Если при наложении отрезков друг на друга один из отрезков будет составлять часть второго, то первый отрезок является короче второго (т.е. длина первого меньше длины второго).

Пример: Даны два отрезка АВ и ОЕ

Сравним данные отрезки методом совмещения отрезков.

Совместим левый конец А отрезка АВ и левый конец О отрезка ОЕ.

Можно заметить, что отрезок ОЕ составляет часть отрезка АВ.

Значит, отрезок ОЕ короче отрезка АВ.

Данный метод удобен, если есть возможность перемещать отрезки, совмещать один с другим.

3. Сравнение отрезков с помощью измерителя.

Если нет возможности перемещать сравниваемые отрезки, то можно использовать промежуточный измеритель.

В математике для этих целей используют специальный чертежный инструмент, который называется циркулем.

Чтобы сравнить отрезки с помощью циркуля, необходимо совместить концы отрезка с ножками циркуля.

Не меняя раствор циркуля, приложить его ко второму отрезку и сравнить.

  1. Если ножки циркуля совпадают с концами сравниваемого отрезка, то отрезки считаются равными.
  2. Если отрезок выходит за пределы расставленных ножек циркуля, то он больше исходного отрезка.
  3. Если же отрезок находится между концами измерителя, то сравниваемый отрезок меньше исходного.

Если нет возможности сравнить отрезки наложением и нет циркуля под рукой, то в качестве измерителя можно использовать нитку.

В таком случае нужно нитку приложить к исходному отрезку, на нитке по отрезку сделать замер, затем нитку приложить ко второму отрезку, оценить расположение замера на нитке по отношению к исследуемому отрезку, сделать вывод.

Пример:

Пусть даны три отрезка СD, АЕ, BG

Сравним эти отрезки с помощью циркуля.

Соединим ножки циркуля с концами С и D отрезка СD.

Приложим циркуль с заданным раствором к отрезку АЕ.

Концы измерителя совпали с точками отрезка АЕ, значит, отрезки CD и AE равны: (CD = AE).

Приложим циркуль с заданным раствором к отрезку BG.

Отрезок выходит за концы измерителя, т.е. является частью отрезка BG, следовательно, отрезок BG длиннее отрезка СD: (BG > СD).

Все рассмотренные способы сравнения длины отрезков проводят без определения значения длины сравниваемых отрезков.

4. Существует еще один способ сравнения длины отрезков путем измерения их длинны.

Для этого необходимо сначала измерить длину каждого отрезка, далее сравнить полученные значения их длины и сделать вывод.

Большим будет являться тот отрезок, длина которого больше.

Соответственно, если длины измеряемых отрезков равны, то и отрезки равны.

У меня есть дополнительная информация к этой части урока!

Закрыть

Ломаная линия

Если последовательно соединить отрезки так, чтобы конец одного отрезка являлся началом следующего (при этом соседние отрезки не лежат на одной прямой), то образуется геометрическая фигура, которая называется ломаной линией.

Отрезки, из которых состоит ломаная линия, называют звеньями.

Концы отрезков называют вершинами ломаной.

Самые крайние вершины ломаной называют концами ломаной

Обозначение ломаной линии составляют из названий вершин этой ломаной, называя их по порядку.

Длиной ломаной называется сумма длин всех ее звеньев.

Рассмотрим пример:

На рисунке изображена ломаная линия АBCDE.

Вершины ломаной АBCDE: А, B, C, D, Е.

Звенья ломаной АBCDE: AB, BC, CD, DE.

A и E- концы ломаной.

Найдем длину ломаной АВСDE:

АВСDE = AB+ BC+ CD+ DE = 2 см + 3 см + 4 см + 5 см = 14 см

Ломаная, концы которой совмещаются, называется замкнутой

Многоугольником называется фигура, ограниченная замкнутой ломаной линией, звенья которой не пересекаются.

Отрезки (звенья) ломаной линии называют сторонами многоугольника.

Общие точки двух отрезков (сторон) многоугольника называют его вершинами.

Каждая пара сторон многоугольника, сходящиеся в одной точке, образуют углы многоугольника.

Количество сторон и количество углов в многоугольнике совпадают.

Вершины, стороны и углы многоугольника обозначаются аналогично ломаной линии.

Многоугольник принято обозначать и называть по его вершинам, начиная с любой вершины и называя их последовательно, в любом порядке.

Рассмотрим пример:

На рисунке изображен многоугольник АBCDEF.

Вершины многоугольника АBCDEF: А, B, C, D, Е, F.

Стороны многоугольника АBCDEF: AB, BC, CD, DE, EF, FA.

Любые многоугольники можно сравнить: два многоугольника называются равными, если они совпадают при наложении.

Зная длину каждой стороны многоугольника, можно найти периметр этого многоугольника.

Периметр многоугольника- это сумма длин всех сторон.

Периметр многоугольника принято обозначать заглавной латинской буквой Р

Найдем периметр многоугольника АBCDEF (изображенного на рисунке):

РАВСDEF = AB+ BC+ CD+ DE+ EF+ FA = 2 см + 3 см + 2 см + 2 см + 3 см + 2 см = 14 см.

Существует огромное множество различных видов многоугольников.

Обычно многоугольники различают по числу сторон и углов.

Например: пятиугольник имеет 5 углов и 5 сторон, шестиугольник- 6 углов и 6 сторон.

Многоугольник с наименьшим числом вершин, сторон и углов называют треугольником.

Треугольник- плоская геометрическая фигура, которая состоит из трех точек, не лежащих на одной прямой, и трех отрезков, соединяющих эти точки.

Треугольник часто обозначают символом «Δ» и тремя заглавными латинскими буквами, которые обозначают его вершины.

Рассмотрим пример:

На рисунке изображен треугольник АBC (Δ АBC).

А, В, С- вершины треугольника АBC.

Отрезки AB, BC, АC- стороны треугольника АBC.

Периметр треугольника- это сумма длин трех его сторон.

Найдем периметр треугольника АBC (изображенного на рисунке):

РАВС = AB+ BC+ АС = 4 см + 6 см + 3 см = 13 см.

Пройти тест
Закрыть тест

Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации

Измерение длины отрезка

В действительности часто приходится иметь дело с различными реальными объектами, а не с отрезками.

Говоря о ширине, высоте, толщине и т.д., мы имеем в виду длину какого-либо отрезка.

Давайте разберемся, что значит найти длину отрезка.

Измерить отрезок- значит найти его длину, т.е. определить расстояние между концами этого отрезка.

Для измерения длины отрезков применяют различные измерительные инструменты, сантиметровая линейка является простейшим из них.

По краю такой линейки нанесены деления (шкала), обозначающие сантиметры и их десятые части- миллиметры, что позволяет количественно оценить длину.

Чтобы измерить длину отрезка, необходимо:

  1. Приложить край линейки к отрезку
  2. Нулевую отметку шкалы делений линейки совместить с левым концом отрезка
  3. Результат измерения определить по шкале линейки: деление, которое совпадет с правым концом отрезка, будет означать длину отрезка

Рассмотрим пример:

Дан отрезок АВ.

Измерим его длину сантиметровой линейкой.

Нулевую точку шкалы линейки совместим с концом А отрезка АВ.

При этом конец В совпадет с делением шкалы линейки 4 см, значит, длина отрезка АВ равна 4 см. (АВ = 4 см.)

Этот способ измерение длины отрезка основан на сравнении этого отрезка с отрезком, длина которого принимается равной единице (единичным отрезком).

Измерить отрезок- это значит подсчитать сколько единичных отрезков содержится в нем.

Если за единичный отрезок, например, принять сантиметр, то для определения длины заданного отрезка необходимо узнать, сколько раз в данном отрезке помещается сантиметров.

Рассмотрим пример:

На рисунке изображены три отрезка.

Отрезок ОЕ- единичный отрезок = 1 см.

В отрезке АВ единичный отрезок ОЕ помещается 3 раза, в отрезке CD- 5 раз.

Это значит, что длина отрезка АВ = 3 единичных отрезка = 3 см. (говорят: «Отрезок АВ равен 3 см»).

Длина отрезка СD = 5 единичных отрезков = 5 см. (говорят: «Отрезок СD равен 5 см»).

Конечно, возможна ситуация, когда отрезок, принятый за единицу измерения, укладывается нецелое число раз в измеряемом отрезке, т.е. получается остаток.

В таком случае единичный отрезок (сантиметр в нашем случае) делят на десять равных частей (миллиметры) и определяют сколько в остатке измеряемого отрезка укладывается этих маленьких делений- миллиметров.

У меня есть дополнительная информация к этой части урока!

Закрыть

Для измерения длины используют различные единицы измерения.

Первые меры длины были очень неточными.

Значительные расстояния мерили днями пути (количеством дней и ночей), шагами, тростями, полетом стрелы, конной ездой и т.д.

Например, существовала в Японии мера длины «лошадиный башмак», которая была равна пути, в течении которого изнашивалась соломенная подошва, привязанная к копытам лошади.

На Руси большие расстояния по суше измеряли в верстах (1 верст = 1067 м).

Самая большая мера длины в Европе была миля, она равнялась тысяче двойных шагов (1 миля = 1478,7 м)

У большинства народов меры длины были основаны на размерах различных частей тела.

Например, вершок- самая маленькая старорусская мера длины, равная верхней фаланге указательного пальца руки.

Пядь- это расстояние между растянутыми большим и указательным пальцами оной руки

Локоть- длина руки от локтевого сгиба до кончика среднего пальца.

Использовались и другие старорусские меры длины, основанные на размерах частей тела: прямая маховая сажень, косая маховая сажень, аршин, пясть.

В Англии, например, распространены были такие меры длины, как:

Дюйм- длина сустава большого пальца и составляет 2,54 см.

Фут- в переводе с английского «нога» равен 12 дюймам.

Ярд- длина от кончика носа английского короля Генриха I до конца среднего пальца его вытянутой руки.

Конечно, все перечисленные меры длины и многие другие были весьма приблизительными.

С развитием международных торговых отношений увеличилась потребность в точных измерениях и счете.

Появилась потребность искать новые универсальные способы измерения величин.

В конце XVIII века французские ученые определили эталонную единицу длины- метр (с греческого языка- «мера»).

Вместе с метром образовалась метрическая система мер.

Эта система постепенно вытеснила национальные системы различных стран.

Метрическая система мер включает сам метр и другие производные от метра единицы длины, которые получаются из метра умножением/ делением на 10, 100, 1000 и т.д.

Мы часто сталкиваемся с такими единицами длины как миллиметр, сантиметр, дециметр, километр и т.д.

Приставки милли-, санти-, деци- и другие обозначают соответствующую часть метра.

Между единицами длины метрической системы существуют такие отношения:

1 сантиметр = 10 миллиметров

1 дециметр = 10 сантиметров = 100 миллиметров

1 метр = 10 дециметров = 100 сантиметров = 1000 миллиметров

1 километр = 1000 метров

Пройти тест
Закрыть тест

Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации

Свойства длины отрезков. Решение задач

Разберемся, что называют суммой и разностью отрезков.

Задача 1

Пусть даны два отрезка СD = 5 см и АВ = 3 см.

Найдите сумму СD+АВ = ?

Решение:

Чтобы найти сумму отрезков СD и АВ, нужно расположить данные отрезки последовательно друг за другом, длина полученного отрезка будет являться суммой двух данных.

СD+ АВ = 5 см + 3 см = 8(см) сумма отрезков АВ и СD

Ответ: (см)

Вывод: чтобы найти сумму отрезков, нужно сложить их длины.

 

Задача 2

Пусть даны два отрезка АВ = 5 см и СD = 3 см.

Найдите разность АВ - СD = ?

Решение:

Чтобы найти разность отрезков АВ и СD, нужно от левого конца большего отрезка отложить длину меньшего отрезка.

Длина отрезка, расположенного между правыми концами первого и второго отрезка, будет разностью двух исходных отрезков.

АВ - СD = 5 см - 3 см = 2(см) разность отрезков АВ и СD

Ответ: 2 (см)

Вывод: чтобы найти разность двух отрезков, нужно из длины большего отрезка вычесть длину меньшего.

 

Задача 3

Точка С- середина отрезка АВ.

Отрезок АВ равен 1 м 42 см.

Найдите длину отрезка АС и выразите ее в сантиметрах.

Точка С принадлежит отрезку AB и делит его на равные части, значит:

АС = СВ

1м = 100 см

АВ = 1 м 42 см = 142 см

Чтобы найти середину отрезка, нужно его длину разделить на два.

АС = СВ = АВ ÷ 2 = 142 ÷ 2 = 71 (см) длина отрезка АС

Ответ: 71 (см).

У меня есть дополнительная информация к этой части урока!

Закрыть

1. Точка, лежащая на отрезке, делит отрезок на две части (два отрезка).

Длина отрезка при этом равна сумме длин этих двух отрезков.

АС+СВ = АВ

2. Если точка С, лежащая на отрезке, делит отрезок на две равные части, то длины этих частей равны.

АС = СВ

 

Точку С называют серединой отрезка или центром отрезка.

3. Если несколько точек разбивают отрезок на части, то длина отрезка равна сумме длин всех частей, на которые он разбивается.

AB + BC + CD + DE = AE

Пройти тест
Закрыть тест

Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации

Дополнительная информация

Геометрические иллюзии и обман зрения

Иллюзией называют неправильное, искаженное восприятие реальной картины мира.

Существуют различные иллюзии: слуховые, осязательные, иллюзии движения, иллюзии- перевертыши и т.д.

Геометрическая иллюзия- это оптический обман нашего мозга, который выражается в том, что видимые отношения элементов фигур не совпадает с фактическими.

Рассмотрим некоторые иллюзии связанны с искажением зрительного восприятия: иллюзии размера и контраста.

1. Иллюзия Болдуина.

Предмет кажется больше его реальной величины благодаря соседству с крупными объектами.

Отрезки №1 и №2 абсолютно раны.

2. Иллюзия Франца Мюллера-Лайера.

Стрелки и окружности на концах отрезков создают иллюзию искажения длины.

Происходит перенесения свойств целой фигуры на ее отдельные части.

Равные по длине отрезки воспринимаются неодинаковыми.

3. Иллюзия железнодорожных путей.

Верхний голубой отрезок кажется длиннее, но на самом деле оба отрезка имеют равную длину.

4. Отрезки АВ и СD равны

5. Иллюзия кинескопа.

Окна на картинке одинакового размера

6. Вертикально-горизонтальная иллюзия.

Линия №1 воспринимается длиннее линии №2.

Заключительный тест

Пройти тест