Урок 22 Получить доступ за 75 баллов Пропорции

Чтобы узнать название темы урока, обратите внимание на картинку.

Попробуйте отгадать ребус.

На этом уроке вы узнаете, что называют пропорцией, выведете основное свойство пропорции и с помощью него научитесь решать задачи и уравнения.

Слово «пропорция» (proportio) в переводе с латинского - соразмерность, отношение частей (соотношение).

В IV веке до н.э. древнегреческий математик Евдокс Книдский дал определение пропорции, состоящей из величин любой природы, а не только из натуральных величин.

Пропорции применяли с древности при решении различных задач.

Древние греки использовали пропорцию и ее свойство для строительства сооружений, при создании произведений искусства (скульптуры, статуи), в ремесленническом деле и др.

Соблюдение пропорций, определенных соотношений, активно используется и в настоящее время в архитектуре, искусстве, музыке, при решении физических задач.

В географии и моделировании пропорциональные зависимости применяют при создании уменьшенной копии реального объекта.

В швейных технологиях - для изменения размеров выкройки изделия до нужного размера.

В химии для проведения успешной реакции рассчитывают пропорциональное отношение химических веществ.

В медицине и фармацевтике используют пропорции при изготовлении лекарственных препаратов.

В кулинарии, например, с помощью пропорции можно рассчитать рецепт одного и того же блюда для разного количества гостей.

Разберем, что же такое пропорция в математическом понимании.

Возьмем два отношения: \(\mathbf{\frac{36}{9}}\) и \(\mathbf{\frac{12}{3}}\) и эти отношения равны, так как \(\mathbf{36\div9=4}\) и \(\mathbf{12\div3=4}\), значит \(\mathbf{\frac{36}{9}= \frac{12}{3}}\)

Равенство двух отношений называют пропорцией.

С помощью букв запишем пропорцию из двух отношений так: \(\mathbf{a\div b= c\div d }\) или \(\mathbf{\frac{a}{b}= \frac{c}{d}}\).

Эту математическую запись читают так: «Отношение a к b равно отношению c к d» или «a так относится к b, как c относится к d».

Все члены пропорции не равны нулю: \(\mathbf{a\neq 0, b\neq 0, c\neq 0, d\neq 0}\).

Если внимательно посмотреть на пропорцию \(\mathbf{{a}\div{b}= {c}\div{d}}\), то можно заметить будто величины a и d стоят по краям равенства, а величины b и c в середине пропорции, в связи с этим легко запомнить, что:

Числа a и d называют крайними членами пропорции.

Числа b и c называют средними членами пропорции.

Теория отношений и пропорции изложена в «Началах» древнегреческого математика Эвклида (3 век до н.э.), в этом же труде было подробно описано и доказано основное свойство пропорции.

Давайте рассмотрим, какими же свойствами обладает пропорция и каким правилам подчиняется.

Пропорция, в которой произведение крайних членов равно произведению средних членов, является верной пропорцией.

Обратное утверждение так же является истинным.

Если произведение крайних членов равно произведению средних членов, то пропорция верна.

Данное свойство пропорции - это основное свойство пропорции.

Найдем произведение крайних членов пропорции \(\mathbf{a\div b= c\div d }\) и произведение средних членов этой пропорции, получим: \(\mathbf{a\cdot d= c\cdot b }\).

Пример

Дана пропорция \(\mathbf{\frac{3}{5}= \frac{6}{10}}\), где числа 3, 10 - это крайние члены этой пропорции, 5, 6 - это средние члены пропорции.

По основному свойству пропорции

\(\mathbf{3\cdot 10= 5\cdot 6 = 30 }\), значит пропорция \(\mathbf{\frac{3}{5}= \frac{6}{10}}\) верная.

Если в верной пропорции поменять местами средние члены или крайние члены, то получатся новые верные пропорции.

Дополнительный материал

Пропорция обладает рядом других интересных свойств.

Так как члены пропорции отличны от нуля, то справедливо следующее: если в пропорции перевернуть отношения, то в результате получится тоже верная пропорция.

\(\mathbf{\frac{a}{b}= \frac{c}{d}}\)перевернем отношения и получим \(\mathbf{\frac{b}{a}= \frac{d}{c}}\)

Пример

\(\mathbf{\frac{12}{2}= \frac{6}{1}}\)  перевернем отношения и получим \(\mathbf{\frac{2}{12}= \frac{1}{6}}\)  , проверим полученное равенство.

По основному свойству пропорции \(\mathbf{2\cdot 6= 12\cdot 1 = 12 }\)

Новая пропорция \(\mathbf{\frac{2}{12}= \frac{1}{6}}\) является верной.

При решении задач иногда используют правило увеличения и уменьшения пропорции.

Если есть пропорция \(\mathbf{\frac{a}{b}= \frac{c}{d}}\), то равенство сохранится в следующих случаях:

Увеличение пропорции: \(\mathbf{\frac{a + b}{b}= \frac{c + d}{d}}\),

Уменьшение пропорции: \(\mathbf{\frac{a - b}{b}= \frac{c - d}{d}}\).

Пропорция обладает еще одним свойством: нахождение пропорции сложением или вычитанием членов пропорции.

Если есть пропорция \(\mathbf{\frac{a}{b}= \frac{c}{d}}\), то справедливо

составление пропорции сложением \(\mathbf{\frac{a + c}{b + d}= \frac{a}{b} = \frac{c}{d}}\)

составление пропорции вычитанием \(\mathbf{\frac{a - c}{b - d}= \frac{a}{b} = \frac{c}{d}}\)

Применяя основное свойство пропорции, можно найти неизвестный член этой пропорции.

Решить пропорцию - это значит найти средний или крайний член пропорции.

Для решения пропорции с неизвестным крайним членом, при условии, что все остальные члены пропорции определены, необходимо умножить средние члены пропорции и полученный результат разделить на известный крайний член пропорции.

Пример 1

\(\mathbf{\frac{a}{2}= \frac{6}{1}}\)

решите пропорцию, найдя значение крайнего члена пропорции (a).

\(\mathbf{a = \frac{2 \cdot 6}{1}= 12}\)

Подставьте значение крайнего члена (а) в пропорцию

\(\mathbf{\frac{12}{2} = \frac{6}{1}= 6}\) получили верную пропорцию.

Для решения пропорции с неизвестным средним членом, при условии, что все остальные члены пропорции определены, необходимо умножить крайние члены пропорции и полученный результат разделить на известный средний член пропорции.

Пример 2

\(\mathbf{\frac{12}{b}= \frac{6}{1}}\) решим пропорцию, найдем значение среднего члена пропорции (b)

\(\mathbf{b = \frac{12 \cdot 1}{6}= 2}\)

Подставим значение среднего члена (b) в пропорцию

\(\mathbf{\frac{12}{2} = \frac{6}{1}= 6}\)  получили верную пропорцию.

Часто для решения пропорции используют способ «крест-накрест».

Чтобы вычислить неизвестный член пропорции, нужно перемножить известные члены пропорции, находящиеся на диагональной линии, а затем разделить результат на оставшееся известное число, находящееся на диагональной линии с неизвестным членом пропорции.

Пример 3

\(\mathbf{\frac{8}{2}= \frac{x}{8}}\) , где x- неизвестный член пропорции,

\(\mathbf{8 \cdot 8 = 64}\) перемножили известные значения членов пропорции, находящиеся по диагонали в этой пропорции.

Полученный результат делим на известный член, находящийся по диагонали с неизвестным.

\(\mathbf{x = 64 \div 2 = 32}\)

Получили пропорцию \(\mathbf{\frac{8}{2} = \frac{32}{8}= 4}\), пропорция верна

К решению пропорции сводятся многие математические задачи и уравнения.

Рассмотрим некоторые из них.

Задача 1

Решите уравнение \(\mathbf{\frac{y}{1,5}= \frac{4}{3}}\)

Решение:

Найдем неизвестный член пропорции y, применив основное свойство пропорции.

Составим уравнение и решим его

\(\mathbf{3 \cdot y = 1,5 \cdot 4}\)

\(\mathbf{y = \frac{1,5 \cdot 4}{3}}\)

\(\mathbf{y = \frac{6}{3}}\)

\(\mathbf{y = 2}\)

Ответ: \(\mathbf{y = 2}\)

Задача 2

На товар была сделана скидка 150 рублей, что составляет 15% от первоначальной цены товара.

Чему равна первоначальная цена товара?

Решение:

В задачах на проценты целое принимают за 100% или 1.

Неизвестную величину обозначают буквой (чаще всего x или y).

Величины в задаче должны быть приведены в одинаковые единицы измерения.

Модель решения задач с процентами при помощи пропорции можно представить в виде таблицы:

Или с помощью логической схемы

В результате пропорция получается такого вида:

Исходя из вышеизложенного, решение задачи будет выглядеть так:

Пусть x (рублей) - первоначальная цена товара, она составляет 100%.

Часть от целого (первоначальной цены) = 15%

Составим условную запись задачи:

x (руб.) - 100%

150 (руб.) - 15%

Составим пропорцию:\(\mathbf{\frac{x}{150}= \frac{100}{15}}\)

По основному свойству пропорции решим уравнение.

\(\mathbf{x = \frac{150 \cdot 100}{15}}\)

\(\mathbf{x = 1000 \ (руб.)}\) первоначальная цена товара.

Ответ: \(\mathbf{x = 1000 \ (руб.)}\)

Задача 3

За 5 кг Муки заплатили 195 рублей. Какова стоимость 3 кг этой муки?

Решение:

Пусть x (рублей)- стоимость 3 кг муки.

Составим условную запись задачи.

5 (кг)- 195 (руб)

3 (кг)- x (руб)

Составим пропорцию: \(\mathbf{\frac{5}{3}= \frac{195}{x}}\)

По основному свойству пропорции решим уравнение:

\(\mathbf{x = \frac{3 \cdot 195}{5}}\)

\(\mathbf{x = 117 \ (руб.)}\)  стоят 3 кг муки.

Ответ: \(\mathbf{x = 117 \ (руб)}\)