Урок 3 Получить доступ за 75 баллов Признаки делимости на 9 и на 3

В этом уроке мы познакомимся с признаками делимости на 3 и на 9, узнаем, как по внешнему виду определить, делится ли ваше число на каждое из них.

Признаки делимости на 3 и на 9 облегчают решение задач, особенно на олимпиадах и при решении экзаменационных задач в 9 и 11 классах.

Такие полезные факты сокращают время решения заданий и легко запоминаются.

Пусть у нас есть 153 конфеты. Нужно раздать их троим детям поровну, используя только признак делимости.

Число 153 можно разложить на 1 сотню, 5 десятков и 3 единицы.

Разделим сначала нашу сотню конфет. Каждый ребенок получит по 33 конфеты, и в остатке одна.

Теперь разделим один десяток конфет на троих. Имеем по 3 конфеты у каждого, и одна в остатке. Значит, для наших пяти десятков каждому ребёнку по 15 (3•5) конфет, и в остатке 5 (1•5) конфет.

По аналогии поступим с количеством конфет в единицах - тут всем достанется 1 конфета.

Мы не смогли разделить 1 конфету из сотен, 5 конфет из десятков. То есть в сумме получим  1 + 5 = 6 конфет, которые можно разделить по 2 конфеты каждому.

В итоге каждому ребёнку получится по 33 + 15 + 1 + 2 = 51 конфете.

Значит, число 153 делится без остатка на 3, а 1 + 5 + 3 - это сумма цифр этого числа.

Мы на примере посмотрели, как используется признак делимости на 3.

Если сумма цифр числа делится на 3, то и число делится на 3.

Если сумма цифр числа не делится на 3, то и число не делится на 3.

Пример 1

Выберите среди чисел 75432, 2772825, 5402070 те, которые делятся на 3.

Решение:

По признаку делимости на 3 нужно найти сумму цифр каждого числа и дальше работать с нею.

Для первого: 7 + 5+ 4+ 3+ 2 = 21,а 21 : 3 = 7, то есть сумма цифр делится на 3, значит, и наше число делится на 3

Для второго: 2 + 7 + 7 + 2 + 8 + 2 + 5 = 33, а 33 : 3 = 11, то есть сумма цифр делится на 3, значит, и наше число делится на 3

Для третьего: 5 + 4 + 0 + 2 + 0 + 7 + 0 = 18, а 18 : 3 = 6, то есть сумма цифр делится на 3, значит, и наше число делится на 3

Пример 2

Замените звёздочки в числах 2*5, 31*, *15, на необходимые цифры, чтобы эти числа стали делиться на 3.

Решение:

Возьмем первое число 2*5. Из признака делимости мы знаем, что нужно, чтобы сумма цифр числа делилась на 3. Значит, 2 + 5 + * должно делиться на 3.

Сумма известных цифр равна 7, значит, вместо звездочки можно взять, например, 2.

Тогда сумма станет 9, и она делится на 3, значит, и получившееся число 225 будет делиться на 3.

Кроме двойки подходят цифры: 5, 8, так как они отличаются от 1 на 3 и 6 каждая.

Возьмем второе число 31*. Сумма первых цифр равна 4, значит, вместо звездочки минимум надо брать 2, чтоб в сумме было 6.

Тогда сумма цифр будет делиться на 3 и само число, 312, будет делиться тоже.

Кроме двойки брать можно и другие цифры, прибавляя по 3: 5 или 8.

Получившиеся числа 315 или 318 будут делиться на 3.

Берём последнее число *15. Сумма последних двух цифр - 6, уже делится на 3. Значит нужно брать вместо первой цифры такие, которые делятся на 3. Это 3, 6 или 9.

Получившиеся числа 315, 615, 915 будут делиться на 3 без остатка.

Разделим 729 ручек поровну на 9 учеников, не вычисляя, а только применяя признаки делимости суммы и произведения.

В числе 729 содержится 7 сотен, 2 десятка и 9 единиц.

Если делить поровну на 9 учеников одну сотню ручек, то каждый получит по 11 ручек и 1 ручка останется. Значит, на семь сотен по 77 ручек каждому, и 7 останется.

Если делить поровну на 9 учеников один десяток ручек, то каждый получит по 1 ручке и 1 ручка останется. А от 2 десятков каждый получит по 2 (1•2) ручки, и останется 2 ручки.

Если делить поровну на 9 учеников количество ручек в единицах, то все получат по одной ручке.

Неразделёнными останутся 7 ручек от сотен, 2 ручки от десятков. Всего неразделёнными остались  7 + 2 = 9 ручек, которые делятся поровну на 9 детей.

Ещё по 1 ручке каждому, поэтому каждый получит по 77 + 2 + 1 + 1 = 81  ручке.

Значит, число 729 делится без остатка на 9, а 7 + 2- это сумма, делящаяся на сумму цифр этого числа, без остатка.

Мы рассмотрели пример того, как работает признак делимости на 9.

Если сумма цифр числа делится на 9, то и число делится на 9.

Если сумма цифр числа не делится на 9, то и число не делится на 9.

Пример 1

В каждом стойле коровника 9 коров. Может ли быть, что всего в коровнике 136 коров? 873 коровы?

Решение:

Используем признак делимости на 9 при решении задачи.

Для первого числа сумма цифр 1 + 3 + 6 = 10, значит, число не делится на 9, так как сумма цифр не делится на 9.

136 коров не может быть в коровнике.

Для второго числа сумма цифр 8 + 7 + 3 = 18, делится на 9. Значит, и 873 делится на 9.

873 коровы могут быть в коровнике.

Пример 2

Какие цифры вместо звездочек нужно поставить в числа 34*, *75, чтобы получившиеся  числа делилась на 9?

Решение:

Для первого числа 34* сумма первых двух цифр равна 3 + 4 = 7

Нужно взять такую цифру, чтобы сумма делилась на 9, например, возьмём 2

7 + 2 = 9, значит, получившееся число 342 делится на 9 без остатка

Кроме двойки другие цифры взять не получится, ведь нужно либо прибавлять к двойке 9, либо отнимать от нее 9. Всегда будет получаться число, а не цифра.

Для второго числа *75 сумма последних двух цифр равна 7 + 5 = 12

Аналогично предыдущему, подбираем цифру, чтобы получившаяся сумма делилась на 9

Такой цифрой будет 6, число получится 675

Существует множество признаков делимости, которые изучают в школе или не изучают вообще.

Некоторые из них сложны, некоторые очень просты.

Мы разберем с вами еще пару признаков, которые часто нужны, чтобы решать задачки на олимпиадах по математике. Это признаки делимости на 7 и на 11

Число делится на 7 тогда, когда утроенное число десятков, сложенное с цифрой в разряде единиц, делится на 7.

Например, 154.

В нём 15 десятков и 4 единицы. 154 делится на 7, так как на 7 делится \(\mathbf{15\cdot3+4=49}\)

Или, 1001.

В нем 100 десятков и 1 единица. 1001 делится на 7, так как на 7 делятся 

$$\mathbf{100 \cdot 3 + 1 = 301,\quad 30 \cdot 3 +1 = 91,\quad 9 \cdot 3 + 1 = 28,\quad 2 \cdot 3 + 8 = 14,\quad 1 \cdot 3 + 4 = 7}$$

Число делится на 11 тогда и только тогда, когда на 11 делится сумма чисел, образующих группы по две цифры (начиная с единиц).

Например, 103785 делится на 11, так как на 11 делятся 10 + 37 + 85 = 132 и 01 + 32 = 33